Творческий проект по математике

1. Творческийпроект по математике Руководитель проекта Кривченкова Светлана Викторовна “ПРОИЗВОДНАЯ” Подготовила студентка группы 2Т-03 Мосеева Елена

2. Содержание • История развития производной……………………………………… • Производная в трудах великих математиков……………………… • Введение понятия производной……………………………………… • Физический, геометрический смысл производной………………… • Производная функции………………………………………………….. • Правила нахождения производной………………………………….. • Формулы дифференцирования. Таблица производных…………. • Нахождение производной по формуле……………………………… • Производная суммы, произведения, частного……………………… • Производная степенной функции…………………………………….. • Дифференцирование тригонометрических функций………………. • Дифференцирование обратных тригонометрических функций… Мосеева Елена Александровна

3. Содержание • Производная сложной функции……………………………………….. • Вторая производная и её физический смысл………………………….. • Касательная. Уравнение касательной………………………………. • Производные высших порядков. Формула Лейбница…………….. • Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение. Правило Лопиталя………………………………………………………………….. • Логарифмическое дифференцирование……………………………. • Дифференцирование функций, заданных параметрически……… • Дифференцирование неявных функций…………………………….. • Применение производной……………………………………………… • Сборник задач……………………………………………………………. Мосеева Елена Александровна

4. История развития производной О происхождении терминов и обозначений Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением.Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialisнового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении нового метода. Мосеева Елена Александровна

5. Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения у', f `. Такое название отражает смысл понятия: функция f`(х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функциюфлюксией, а саму функцию —флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношениии обозначал производную как - Мосеева Елена Александровна

6. Это обозначение также часто встречается всовременной литературе.Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия пределаи бесконечно малой. Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например, Δх, мы устремляем значения к «границе» f' (х0). Термин «предел» ввел Ньютон. Мосеева Елена Александровна

7. Из истории дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль но и сумел найти максимум функции f(x) = x2(a — х) ,применяя при этомпредельные переходы. Мосеева Елена Александровна

8. Эпизодически понятие касательной (связано с понятием производной) встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи(1500-1557) здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже уДекарта, французского математика Роберваля (1602—1675), английского ученого Д. Грегори (1638— 1675), в работах И. Барроу (1630—1677) и, наконец, И. Ньютона.Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать учеников Лейбница — братьев Бернулли. Мосеева Елена Александровна

9. А.Лопиталь (1661 — 1704), который учился у Бернулли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малыхдля исследования кривых линий», способствовавший распространению новых ме­тодов. Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа. Как и в случае многих других разделов математики, неоценим вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом (1777—1855). Мосеева Елена Александровна

10. Производная в трудах великих математиков Иоганн Бернулли (1667- 1748) Мосеева Елена Александровна

11. ИОГАНН БЕРНУЛЛИ (1667—1748), младший брат Якоба Бернулли, профессор математики с1695 в Гронингенском (Голландия), а с 1705 в Базельском университете. Почётный член Петербургской Академии наук, в изданиях которой опубликовал 9 работ. Иоганн Бернулли был деятельным сотрудником Лейбница в разработкедифференциального и интегрального исчислений, в областикоторых им был сделан ряд открытий (учение о показательных функциях; правило раскрытия неопределённостей вида 0/0, несправедливо носящее имя Лопиталя; интегрирование рациональных дробей; квадратура и спрямление различных кривых) Иоганну принадлежит также первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений. Конспект лекций, прочитанных им Лопиталю по дифференциальному исчислению, лёг в основу написанного последним «Анализа бесконечномалых» (1687). Курс интегрального исчисления Иоганна был издан в 1742. Иоганн Бернулли продвинул далее разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Мосеева Елена Александровна

12. Производная в трудах великих математиков Якоб Бернулли (1654 – 1705) Мосеева Елена Александровна

13. ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (1654—1705)— профессор математики Базельского университета с 1687. Ознакомившись в этом же году с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению (1684), вскоре блестяще применил новые идеи к выводу формулы радиусакривизны плоской кривой, к изучению логарифмической спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии, упругой линии и других кривых,встречающихся в математике и механике. Ему, между прочим, принадлежит термин «интеграл». Совместно с братом, Якоб положил начало вариационному исчислению. Мосеева Елена Александровна

14. Производная в трудах великих математиков Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) Мосеева Елена Александровна

15. ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ. В 1736 г. в итальянском городе Турине, входившем тогда в состав Сардинского королевства, в семье военного казначея Лагранжа родился одиннадцатый ребенок, получивший при крещении имя Жозеф Луи. Когда мальчик вырос, его отдали в артиллерийскую школу, которая готовила военных специалистов, владеющих теорией артиллерийской стрельбы. Для успешного овладения этой теорией требовалась хорошая математическая подготовка, поэтому математика занимала видное место в процессе обучения. Выявившиеся выдающиеся математические способности Жозефа Луи позволили ему не только успешно окончить артиллерийскую школу Турина, но уже в возрасте 19 лет занять в ней место профессора математики. Первый том ее трудов увидел свет в 1759 г. Значительная часть работ, печатавшихся в этом издании, принадлежала самому Лагранжу. Среди различных вопросов, занимавших его в то время, выделялся один, разработке которого он уделял особенное внимание. Исследование этого вопроса привело к замечательным результатам, лежащим в основе вариационного исчисления. Прочитанный им курс математического анализа был опубликован впоследствии в двух книгах (1797, 1801 гг.) и содержал попытку обоснования математического анализа, в основах которого содержались в то время значительные неясности и пробелы (общепринятое сегодня обоснование было дано знаменитым французским математиком О. Л. Коши в 1821 г.). Лагранж обогатил своим творчеством почти все области тогдашней математики Ему принадлежат фундаментальные результаты по алгебре (в частности, его работы по теории алгебраических уравнений послужили исходной точкой для исследований Э. Галуа), теории чисел (например, им была доказана теорема о том, что любое целое положительное число есть сумма не более чем четырех квадратов целых чисел), теории вероятностей, дифференциальным уравнениям, исчислению конечных разностей, комбинаторике, эллиптическим интегралам, различным вопросам математического естествознания. Во Франции Лагранж пережил Великую революцию, времена Директории, Консульства и, наконец, наполеоновскую Империю. Бурные исторические события нашли слабое отражение в его биографии. Сменявшие друг друга правительства с постоянным глубоким уважением относились к величайшему математику страны. Умер Жозеф Луи Лагранж в 1813 г. Мосеева Елена Александровна

16. Производная в трудах великих математиков Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1726) Мосеева Елена Александровна

17. ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646-1716) Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки»,. Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воп­лощена в жизнь в нашем веке). Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремилея рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энер гии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии). Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном. Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика (см. Зна­ки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики ВиетаДекарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например = (равенство), (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоб и Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа. Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы. Мосеева Елена Александровна

18. Производная в трудах великих математиков Лопиталь Гийом Франсуа (1661—1704),французский математик. Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу которого были положены лекции швейцарского учёного Бернулли. Лопиталь исследовал ряд трудных задач математического анализа, в частности дал одно из решений знаменитой задачи о брахистохроне. Мосеева Елена Александровна

19. Производная в трудах великих математиков Исаак Ньютон (1643 – 1727) Мосеева Елена Александровна

20. ИСААК НЬЮТОН (1643-1727) В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринитиколледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже»,-писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты. Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи напроведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задачметод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбницаназывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основыматематического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел.Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях. Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прбавляется, в 1669 г. он получает физикоматематическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук). В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора. Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике. Мосеева Елена Александровна

21. Производная в трудах великих математиков Пьер Ферма (1601 – 1665) Мосеева Елена Александровна

22. Пьер Ферма.Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции, был выходцем из «третьего сословия», изучал юридические науки и состоял советником тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубокий отпечаток на все дальнейшее развитие теории чисел, геометрии и математического анализа. С наибольшей силой гений Ферма проявился в математике. Так, еще до Декарта и в более совершен ной форме он построил систему аналитической геометрии, открыл общий метод для определения мак-симумов, минимумов и касательных, существенно развил метод Архимеда и применил его для опреде­ления площадей, объемов и длин дуг. Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г. Мосеева Елена Александровна

23. Введение понятия производной Задача. Пусть задан закон механического движения, например, Требуется найти скорость движения в момент времени to (мгновенную скорость). График движения представлен на рис.1. "Растянем мгновение" и рассмотрим движение на малом промежутке времени . Мосеева Елена Александровна

24. Мосеева Елена Александровна

25. Пусть приращение аргумента стремится к нулю , тогда средняя скорость изменения функции будет стремиться к мгновенной скорости: В математике часто рассматривается мгновенная скорость изменения функции в точкех0 и поэтому этой скорости дали специальное имя - производная и обозначение – Производной функциив точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится кнулю: Производной функции f в точке хо называется число, к которому стремится разностное отношение пристремящемся к нулю. Производная функциив точке х0 обозначается Мосеева Елена Александровна

26. Физический и геометрический смысл производной Производная- это скорость измене­ния функции в фиксированной точке. Мосеева Елена Александровна

27. На атом промежутке график движения "выглядит" почти как отрезок, а это означает, что движение на этом промежутке можно считать равномерным. Тогда скорость движения на этом участке с большой степенью достоверности характеризуется средней скоростью и находится как отношение пройденного пути к затраченному времени: Будем уменьшать промежуток времени. Тогда средняя скорость будет стремиться к мгновенной скорости:при Таким образом: Обобщим предыдущую задачу и ее решение на случай, если задана функция и требуется найти скорость изменения функции в точке х0 (мгновенную скорость изменения функции). Рассмотрим изменение функции на промежутке [Х0; Х] (рис.3), изменение функции на этом промежутке равно Средняя скорость изменения функции на этом промежутке равна отношению приращения функции к приращению аргумента: Мосеева Елена Александровна

28. Посмотрим на полученные результаты с точки зрения геометрии (рис. 4) Отношениеесть тангенс угла А, а значит и угла наклона секущей АВ, т.е. угловой коэффициент прямой, проходящей через точку и точку . При секущая стремится к касательной, проведенной к кривой в точке А и к секущей, стремящейся к касательной. Отсюда угловой коэффициент касательной равен Геометрический смысл производной: производная - это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной (фиксированной) точке. Мосеева Елена Александровна

29. Производная функции Производной функции в заданной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к 0 Физический смысл:производная – это скоррость изменения функции в заданной точке Геометрический смысл: производная – это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в заданной точке Мосеева Елена Александровна

30. Правила нахождения производной Опираясь на определение, можно рекомендовать следующий план нахождения производной функции y = f(x): 1) Фиксируем значение х,находим f (х). 2) Даем аргументу х приращение, находим 3) Вычисляем приращение функции 4)Составляем отношение 5)Находим предел отношения при Пример. Найти производную функции у = х3. f(x) = x3. Мосеева Елена Александровна

31. Формулы дифференцирования.Таблица производных Операцию отыскания производной называют дифференцированием. • Например, (2x —3)' = 2; (x10)' = 10x9, Мосеева Елена Александровна

32. Нахождение производной по формуле Найдем производную функции f(x) = kx+b (k и bпостоянны) в точке х0. Поскольку k — постоянная, постоянное число при любом , и, значит Итак, (kx + b)' = k. Функцию, имеющую производную в точке x0,называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1— множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому число получим новую функцию с областью определения D1 .Эта функция называется производной функцииy = f(x) и обозначается или у'. Нахождение производной данной функции называется дифференцированием. Полагая в формуле (kx+b)' = k,что k = 0, b= С,где С — произвольная постоянная, получаем, что , т. е. производная постоянной равна нулю. Мосеева Елена Александровна

33. Производные суммы,произведения и частного Теорема 1.Производная суммы двух функций равна сумме их производных: (1) Рассмотрим функцию у = и (x)+v(x). Возьмем какое-нибудь значение аргумента х (из области определения функции) и дадим ему приращение : Тогда u (х) и v (x) получат приращения и и примут значения и Их сумматакже получит приращение и примет значе­ние : Так как y = u + v, то Разделим обе части этого ра­венства на и перейдем к пределу при Так как предел суммы равен сумме пределов,то Мосеева Елена Александровна

34. Значит, y' = u' + v', т. е. (u + v)'= и'+ v'. Теорема 1 распространяется на случай любого числа слагаемых, т. е. имеет место равенство (u1 + u2 + ... + un)' = u'1+u'2 + ... + un. (2) Пример 1. Найти производную функции у = х3 + х2. Мы знаем, что (х3)' = 3x2, (х2)' = 2х. Воспользовавшись доказанной теоремой о производной суммы, получаем (x3 + х2)' = (х3)' + (х2)' = Зx2 + 2х. Мосеева Елена Александровна

35. Теорема 2.Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (Сu)' = Сu'.(3) Пример 2. Найти производную функции у=5х3. Так как (х3)' = 3х2, а постоянный множитель можно вынести за знак производной, то (5x3)' = 5 (х3)' = 5·Зх2 = 15x2. Аналогичная формула справедлива для любого числа слагаемых: (5) Выражение называют линейной комбинацией функций Поэтому формула (5) дает правило дифференцирования линейной комбинации функций. Пример 3. Найти производную функции По правилу дифференцирования линейной комбинации имеем Мосеева Елена Александровна

36. Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу: (6) Аналогичным образом дифференцируется произведение большего числа функций. Например, для трех множителей имеем Значит, чтобы найти производную произведения трех функций, нужно найти производные всех множителей, умножить каждую из них на произведение остальных множителей и полученные выраже­ния сложить. Пример 4. Найти производную функции у = х2(5х — 4) и вычислить (1) По формуле (6) получаем Так как (х2)' = 2х, а (5x – 4)'= 5, то Тот же результат получится, если сначала раскрыть скобки, а потом выполнить дифференцирование. В самом деле, имеем и, следовательно, подставляя вместо х значение 1, находим: Мосеева Елена Александровна

37. Теорема 4.Производная функции равна взятой с противоположным знаком производной от знаменателя, деленной на квадрат знаменателя: • Пример. Найти производную функции Теорема 5.Производная частного двух функций вычисляется по следующему правилу: Отметим частные случаи дифференцирования частного. Если и = С, то, воспользовавшись тем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной, и формулой (8), получимЕсли же v = С, то проще воспользоваться правилом вынесения постоянного множителя за знак производной: Мосеева Елена Александровна

38. Пример.Найти производную функции Искомое уравнение касательной имеет вид По заданному значению х0 = 2 находим Используя правило дифференцирования частного, найдем производную: Подставив найденные значения в общее уравнение касательной, получаем - это и есть искомое уравнение. Мосеева Елена Александровна

39. Производная степенной функции Формула для вычисления производной степенной функции , где п — произвольное нату­ральное число, большее 1, такова: (1) Для любого целого n и любого • Пример. Найдем производные функций: a) f(x)= x-5;б) Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Мосеева Елена Александровна

40. Дифференцирование тригонометрических функций Найдем производную функции у — sinx. Дадим х приращение,тогда Воспользовавшись формулой преобразования разности синусов в произведение, получим Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при непрерывна в любой точке х, (5) Мосеева Елена Александровна

41. справедлива при справедлива при • Пример. Найти угол, который обра­зует график функции xс осью абсцисс в начале координат угол равен Мосеева Елена Александровна

42. Дифференцирование обратных тригонометрических функций Производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции. Мосеева Елена Александровна

43. Производная сложной функции Если функция f имеет производную в точке хо, а функция g имеет производную в точке, то сложная функция h (х) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0, причем • Пример. Найдем производную функции , где y=f(x) = 3x2+ 1, откуда Мосеева Елена Александровна

44. Вторая производная и её физический смысл Пусть функция у = f(x) имеет производную f'(х). Это новая функция, которая, в свою очередь, может иметь производную. Производная функции f '(х) называется второй производной функции y = f(x) и обозначается f" (x) или у". • Пример. Найти у", если у = х10. Имеем(x10)” = 10x9, a (10x9)' = 90x8. Итак, (x10)" = 90x8. Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, т. е. ускорение a=s"(t). В этом состоит физический смысл второй производной. • Пример . Материальная точка движется прямолинейно по закону Доказать, что сила, действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути. Мосеева Елена Александровна

45. Решение. По второму закону Ньютона F = ma, где F — сила, действующая на тело, а — ускорение, m — масса; a = s". Имеем • Значит, Значит, т. е. сила F пропорциональна s3 (8m — коэффициент пропорциональности). Мосеева Елена Александровна

46. Касательная. Уравнение касательной Касательной к графику функции y=f(x), дифференцируемой в точке x=a, называется прямая,проходящая через точку(a;f(a)) и имеющая угловой коэффициент f ’(a). Существование производной функции в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке графика, при этом угловой коэффициент касательной равенf' (х0). В этом состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной. • Пример. Найдем уравнение касательной к графику функции В этом примере х0 = 2, , т. е. у = 4х — 7. Мосеева Елена Александровна

47. Производные высших порядков.Формула Лейбница Пусть дана дифференцируемая функция y = f(x). Рассмотрим ее производнуюЕсли эта производная является дифференцируемой функцией, то рассмотрим ее производную Производную от производной функции f обозначают и называют второй производной Производную от второй производной(если она существует) обозначают иназывают третьей производнойи т. д. По индукции производную от (п — 1)-й производной (если она существует) обозначаюти называют п-й производной. Мосеева Елена Александровна

48. Удобно рассматривать функцию f(x) как производную нулевого порядка от себя самой: f(x) = f(0) (x). Теорема (формула Лейбница).Если функции f (х) и g(x) имеют все производные до п-го порядка включительно, то Мосеева Елена Александровна

49. Теоремы Ролля,Лагранжа,Коши,их применение.Правило Лопиталя Теорема Ролля Пусть функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема в интервалеи значения функции на концах отрезкаравны, т. е.Тогда существует точкатакая, что Формула Лагранжа Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того. что существует касательная к графику f в точке с абсциссой c из интервала (a;b) ,параллельная секущей. Проходящей через точки A(a; f(a)), B(b; f(b)). Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b)найдется такая точка ,что Мосеева Елена Александровна

50. Теорема Коши Пусть: 1)функции f и g непрерывны на отрезке [а, b], и дифференцируемые в интервале (a;b) 2)g´(x)≠0 в каждой точке x €(a;b) Тогда существует точка c €(a;b) такая, что f(b) - f(a)÷g(b) – g(a)=f´(c)/g´(c) Правило Лопиталя Раскрытие неопределённости вида 0/0 Пусть 1)функции f (х) и g(x) определены в окрестности точки x ,причем f (х▫) =g(x▫)=0 2)существуют производные f´(x▫) , g´(x▫),причём g´(x▫),≠0. Тогда существует предел lim f (х) /g(x) и lim f (х) /g(x) =f´(x▫)/g´(x▫). x→x▫ x→x▫ Мосеева Елена Александровна