9 無窮級數

1. 9 無窮級數 Infinite Series

2. 9.1 數列 9.2 級數和收歛 9.3 積分檢定和 p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式檢定 9.7 泰勒多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

3. P.458 Ch9 無窮級數 9.8 冪級數(Power series) 冪級數的定義 x 表一個變數，形狀如下的無窮級數 稱為一個冪級數。一般說來，如果以 x – c 代換 x，得 到形狀如下的冪級數 稱為一個以 c為中心的冪級數，c 為常數。

4. P.458 Ch9 無窮級數 例 1冪級數 a. 下面是一個以 0 為中心的冪級數。 b. 下面是一個以－1 為中心的冪級數。 c. 下面是一個以 1 為中心的冪級數。

5. P.459 Ch9 無窮級數 圖9.17冪級數的定義域只有三種形式：一個點，一個以c為中心的區間或是實數全體。

6. P.459 Ch9 無窮級數 定理9.20冪級數的歛散性 (convergence of a power series)

7. P.459 Ch9 無窮級數 例 2求收歛半徑 求　　　的收歛半徑。 解x = 0 代入得到 如果 |x| > 0，令 un＝ n! xn，則有 由比例檢定得知，級數除了在中心 0 之外，到處發散， 因此收歛半徑 R = 0。

8. P.460 Ch9 無窮級數 例 3求收歛半徑 求 的收歛半徑。 解x ≠ 2 時，令 un = 3(x – 2)n，則有 由比例檢定得知，|x – 2| < 1 時級數收歛，|x – 2| > 1 時 級數發散，因此收歛半徑 R = 1。

9. P.460 Ch9 無窮級數 例 4求收歛半徑 求　　　 的收歛半徑。 解　令 un = (–1)n x2n+1 / (2n + 1)! 則有 對任意 x，此極限為 0。由比例檢定得知，級數到處收 歛，因此收歛半徑 R = ∞。

10. P.460 Ch9 無窮級數 圖9.18收歛區間。 (Intervals of convergence) (Endpoint convergence)

11. P.461 Ch9 無窮級數 例 5求收歛區間 求　　 的收歛區間。 解　令 un =xn/n 得到 由比例檢定得知，收歛半徑 R = 1。此級數的中心在 c = 0，所以級數在 (–1, 1) 上收歛，但是 (–1, 1) 未必是 收歛區間，我們必須檢查兩個端點。以 x = 1 代入，可 得到發散的調和級數

12. P.461 Ch9 無窮級數 例 5（續） 以 x = –1 代入，得到收歛的交錯調和級數 因此，此級數的收歛區間是 [–1, 1)，如圖9.19 所示。

13. P.461 Ch9 無窮級數 圖9.19

14. P.461 Ch9 無窮級數 例 6求收歛區間 求　　 的收歛區間。 解　令 un = (–1)n(x + 1)n/2n得到 由比例檢定得知級數在 |(x + 1)/2| < 1 或 |x + 1| < 2 處收 歛，所以收歛半徑 R = 2。由於級數的中心在 x = –1 ， 級數在 (–3, 1) 上收歛，檢查端點得到

15. P.461 Ch9 無窮級數 例 6（續） 和 兩者都發散，所以收歛區間是 (–3, 1)，如圖9.20 所示。

16. P.461 Ch9 無窮級數 圖9.20

17. P.462 Ch9 無窮級數 例 7求收歛區間 求　　 的收歛區間。 解　令 un =xn/n2得到 所以，收歛半徑是 R = 1，由於級數的中心在 x = 0，級 數在 (–1, 1) 上收歛。

18. P.462 Ch9 無窮級數 例 7（續） 當 x = 1 時，得到收歛的 p-級數 當 x = –1，得到收歛的交錯級數 所以，此級數的收歛區間是 [–1, 1]。

19. P.462 Ch9 無窮級數 定理9.21以冪級數定義的函數的性質

20. P.463 Ch9 無窮級數 例 8f (x)，f’(x) 和∫f (x) dx的收歛區間 考慮冪級數 求下列各冪級數的收歛區間。 a. ∫f (x) dx b. f (x) c. f’(x) 解　由定理9.21，得到 和 由比例檢定，每一個冪級數的收歛半徑都是 R = 1，考 慮 (–1, 1) 和端點，得到

21. P.464 Ch9 無窮級數 例 8（續） a. 在 x =±1 收歛，收歛區間是 [–1, 1]，見圖9.21(a)。 b. 在 x = –1 收歛，而在 x = 1 發散，收歛區間是 [–1, 1)， 見圖9.21(b)。 c. 在 x = ±1 發散，收歛區間是 (–1, 1)，見圖9.21(c)。

22. P.464 Ch9 無窮級數 圖9.21