第7章非线型系统分析

第7章非线型系统分析 控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。内容提要第7章非线型系统分析

非线性系统的瞬态响应有一种特殊运动—自持振荡，它是一种稳定的周期运动，振荡频率和幅值由系统结构和参数确定。非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法，相平面法是一种图解分析法，描述函数法是一种近似分析法。最后介绍了基于SIMULINK的非线性系统分析方法。第7章非线型系统分析

非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡，非线性系统的校正。知识要点第7章非线型系统分析

目录 • §7.1 常见非线性特性 • §7.2 相平面法 • §7.3 线性系统的相轨迹 • §7.4 非线性系统的相平面分析 • §7.5 描述函数法 • 小结第7章非线型系统分析

§7.1 常见非线性特性 一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 7.1.1 死区特性死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般第7章非线型系统分析

如图7-1中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-1 中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。第7章非线型系统分析

图 7－1 死区特性 图7-2 饱和特性第7章非线型系统分析

可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2 中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。理想饱和特性的数学描述为： 7.1.2 饱和特性 (7-2) 第7章非线型系统分析

继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性有双位特性——如图7-3（a）和（b），三位特性——如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。 7.1.3 继电特性第7章非线型系统分析

图7-3 几种典型的继电特性 图7-3（a）所示继电特性的数学描述为：第7章非线型系统分析

图（c）所示继电特性的数学描述为： 第7章非线型系统分析

图（b）所示继电特性的数学描述由读者自行导出。第7章非线型系统分析

传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a）表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为： 7.1.4 间隙特性第7章非线型系统分析

式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。图7-4 间隙特性返回第7章非线型系统分析

§7.2 相平面法 相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。第7章非线型系统分析

因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到维‘状态空间’——以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。 7.2.1 相平面的基本概念考察二阶非线性时不变微分方程: 为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组: 第7章非线型系统分析

微分方程组(7-6)有两个变量: x——可以看作广义位移， ——可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（7-5）求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系图——时间响应曲线。第7章非线型系统分析

如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解x(t)和 ,如果我们取 x和为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当 t 变化时，这一点在平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。第7章非线型系统分析

例7-1 考虑二阶系统： 将它写成微分方程组：两式相除得到：第7章非线型系统分析

即：两边积分得: 在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆——称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。第7章非线型系统分析

图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应 7.2.2 相轨迹图绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的第7章非线型系统分析

‘素描’，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。‘素描’，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、δ法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。第7章非线型系统分析

相轨迹的基本特征有： 1）奇点对于二阶系统，相平面上满足且的点叫做奇点，记作。对照方程（7-6）知，奇点座标是代数方程的解，显然奇点一定在轴上。第7章非线型系统分析

对于二阶系统，和 就是‘速度’和‘加速度’均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。第7章非线型系统分析

2）相轨迹切线斜率 由方程（7-6）知，相轨迹上任一点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的‘等倾线’就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。第7章非线型系统分析

3）相轨迹图形特征 如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征： 1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）； 2)相轨迹必垂直通过轴 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的相轨迹从右向左运动。第7章非线型系统分析

例7-2作出下列二阶系统的相轨迹 将它写成微分方程组：容易求出奇点为（0，0）。第7章非线型系统分析

ABCDO对应初始条件为 EFO对应初始条件为。从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。图7-6 例7-2的根轨迹返回第7章非线型系统分析

§7.3 线性系统的相轨迹 研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。第7章非线型系统分析

考虑用下列二阶微分方程描述二阶线性系统： 其中，为常数。将它写成微分方程组： 7.3.1 二阶线性系统的相轨迹第7章非线型系统分析

容易求出奇点为: 可见，当且时，奇点为座标原点（0，0），当且时的奇点为轴上的点，当时‘奇点’为整个轴。二阶系统（7-8）的特征根为：第7章非线型系统分析

显然，当取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。返回第7章非线型系统分析

§7.4 非线性系统的相平面分析 非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。我们还可以绘出加进某种校正环节后的相轨迹图，研究非线性系统的校正。当然，相平面分析是有局限性的，比如参数的改变只能取几个离散值，校正环节不能使系统阶次高于2阶等等。第7章非线型系统分析

为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。图7-8 具有分离结构的非线性系统第7章非线型系统分析

分析图7-8 所示非线性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。图7-8 中，如果非线性特性为式（7-2)所描述的饱和特性，线性部分的方程为：联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数学模型为：第7章非线型系统分析

7.4.1 阶跃函数 现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨迹与性能：（1）阶跃函数，因为 ,系统的分区域方程简化为：第7章非线型系统分析

区域2的奇点为(0,0),当 时是稳定焦点，当时是稳定节点，区域1属于表7-2的类型10，区域3属于表7-2的类型11。设 ,式（7-15）具体化为：第7章非线型系统分析

（2）斜坡函数r(t)=Vt ，因为 ,这时系统的分区域方程为： 7.4.2 斜坡函数第7章非线型系统分析

区域2的奇点为(V/Kk，0),当4KTk>1时是稳定焦点，当4KTk≤1时是稳定节点，区域1的相轨迹属于表7-2的类型10或类型11。固定T=1，K=4，k=1，g=0.2具体化为：第7章非线型系统分析

接下来研究相轨迹与的关系，在分三种情况来分析：接下来研究相轨迹与的关系，在分三种情况来分析：情况一：V>Kkg(0.8),比如取V=1.2，这时区域2的相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）, 但（0.3，0）不在区域2范围内，故称为之虚焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（b）, 显然，每一条相轨迹的座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。第7章非线型系统分析

情况二：V<Kkg,比如取V=0.4，这时区域2有稳定焦点（0.1，0）且在区域2范围内，故称为之实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（c）, 显然，所有相轨迹相收敛到稳定焦点(0.1,0)，即稳态误差为0.1。情况三：V=Kkg,这时区域2有稳定焦点（0.2，0）在区域2的边缘，仍为实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（d）, 显然，相轨迹最终收敛到x轴的[0.2,∞)，这种情况比较特殊。第7章非线型系统分析

图7-9 具有饱和特性的非线性系统的相轨迹图 第7章非线型系统分析

留意图7-9 的相轨迹图,可以发现一种现象: 响应曲线的振型与输入信号的幅值有关，这在线性系统中是不会发生的。注意：在讨论斜坡响应时，我们没有将相应结论直接与系统稳定性联系起来，因为系统稳定性一般是定义在脉冲响应或自由运动之上的。除了上面几种情况，我们还可以研究更多的情况，比如开环增益取不同的值时相轨迹如何变化？取多大较为合适？请读者可自行分析。第7章非线型系统分析

系统结构如图 7.4.3 具有继电特性的非线性系统第7章非线型系统分析

如果非线性特性为式（7-4）所描述的带死区滞环的继电特性，按式（7-4）将相平面划分为3个区域，当时该系统的数学模型为：整个系统的相轨迹场如图7—10。这里，又看到了非线性系统的另一特殊现象——极限环。极限环是一条封闭曲线，它是一些相轨迹的极限，但它又不是奇点。第7章非线型系统分析

图7-10 具有继电特性的非线性系统 第7章非线型系统分析

极限环对应的响应曲线是等幅振荡，但是，在干扰环境中，这种等幅振荡能否持续下去，要看极限环的性质。图7-11表示了两个极限环，较大的一个称为不稳定极限环——极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零，较小的一个称为稳定极限环——即使干扰使振荡短时离开极限环，干扰消失后又会回到极限环。极限环是非线性系统特有的现象，也是一种随处可见的现象，可以说，凡是能持续振荡的动态系统，都是运行在稳定极限环上，钟摆的摆动、电子振荡器等都是例证。县然，在干扰环境中，线性系统不可能产生持续等幅振荡，因为极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零。第7章非线型系统分析

图7-11 极限环的稳定性 返回第7章非线型系统分析

§7.5 描述函数法 描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。第7章非线型系统分析

在频率特性一章中，我们已经看到，对于线性时不变系统，当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。在频率特性一章中，我们已经看到，对于线性时不变系统，当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。现在，我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。考虑图7-8 所示的系统，如果其线性动态部分具有良好的低通特性，那么系统信号中的高次谐波就被大大衰减，可以用基波来近似，这是非线性特性在频域的线性化。 7.5.1 描述函数定义第7章非线型系统分析

第7章 非线型系统分析