9 無窮級數

1. 9 無窮級數 Infinite Series

2. 9.1 數列 9.2 級數和收歛 9.3 積分檢定和 p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式檢定 9.7 泰勒多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

3. P.422 Ch9 無窮級數 9.2 級數和收歛(Series and Converge) 無窮級數(Infinite series) 如果 {an} 是一個無窮數列，則 就是一個無窮級數（簡稱級數），a1, a2, a3, ... 稱為級數 的項。有時，會以 a0表示首項，為了打字上的方便， 一般將無窮級數表成Σan，此時，究竟首項的足碼為何 ，要根據上、下文才能決定。

4. P.422 Ch9 無窮級數 級數收歛或發散的定義(Definition of convergence or divergence of series 以 Sn = a1 + a2 + … + an表無窮級數Σan的部分和。 如果數列 {Sn} 收歛到 S，則級數Σan收歛，並且以 S 為級數和表成 S = a1 + a2 + … + an + … 或Σan =S。 如果 {Sn} 發散，則Σan發散。

5. P.423 Ch9 無窮級數 例 1級數的收歛和發散 a. 級數 的部分和如下。 由於 所以此級數收歛，其和為 1。

6. P.423 Ch9 無窮級數 例 1（續） b. 級數 的第 n 個部分和為 由於 Sn的極限是 1，所以此級數收歛，其和為 1。 c. 級數 的部分和 Sn =n，部分和發散，所以原級數也發散。

7. P.423 Ch9 無窮級數 圖9.5

8. P.423 Ch9 無窮級數 圖9.6

9. P.424 Ch9 無窮級數 例 2改寫為望遠鏡級數(Telescope Series) 求級數　　　　的和。 解 以部分分式的方法，將級數的一般項改寫為 這是一個望遠鏡級數，第 n 個部分和是 所以級數收歛，其和為 1，亦即

10. P.424 Ch9 無窮級數 定理9.6幾何級數的收歛和發散 幾何級數一般的形式是 其中 a 為首項，r 為公比。

11. P.425 Ch9 無窮級數 例 3幾何級數的收歛和發散 a. 幾何級數 公比 r = ½，首項 a = 3。因為 0 < |r| < 1，級數收歛，其 和為 b. 幾何級數 公比 r = 3/2，因為 |r| ≥ 1，級數發散。

12. P.425 Ch9 無窮級數 例 4循環小數化為分數 請將　　化為分數。 解 首項 a = 8/102，公比 r = 1/102，所以 你可以用電算器計算 8 除以 99，看看結果是否為　 。

13. P.426 Ch9 無窮級數 定理9.7無窮級數的性質

14. P.426 Ch9 無窮級數 定理9.8收歛級數一般項的極限 定理9.9利用一般項檢驗發散

15. P.426 Ch9 無窮級數 例 5利用一般項檢驗發散 a. 因為 所以　　 發散。 b. 因為 所以　　 發散。 c. 無窮級數　　。 雖然一般項的極限是 0，卻不能結論此級數是否收歛。

16. P.427 Ch9 無窮級數 例 6小皮球彈跳問題 一皮球從 6 呎的高度落下，每次反彈的高度都是上一次 的 3/4，求皮球經歷的總垂直距離。 證明 如圖9.7 所示，總距離是

17. P.427 Ch9 無窮級數 圖9.7每次反彈高度是前次的四分之三。