Más Invariante

1. Más Invariante Ejercicios tomados del recuperatorio del parcial de imperativo del 2do cuatrimestre del 2007 Algoritmos y Estructura de Datos 1

2. Más Invariante Dada la siguiente implementación, invariante y función variante, demostrar algunos puntos de la corrección y terminación del ciclo: P  I (IB)  Q El cuerpo del ciclo preserva el invariante: { I  B } cuerpo { I } Se cuenta con aux cambiar(a:[T], i:, val:T) : T, que devuelve el resultado de poner val en la posición i de a, y de no hacer nada más. Enunciado 1 Algoritmos y Estructura de Datos 1

3. Más Invariante Enunciado int par,total,n; int a[]; ... while (par < n) { if (a[par] % 2 == 0) { total = total + a[par]; } else { a[par] = 0; } par++; } // estado P: par == total == 0 n == |a| // I: 0  par  n == |a@P| total = suma([x | x a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] ++ a@P[par..] // Fv: n - par // estado Q: total == suma([x | x  a@P,x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P] // cota 0 Algoritmos y Estructura de Datos 1

4. Más Invariante Transición de Estados // estado P: par == total == 0 && n == |a| while (par < n) { if (a[par] % 2 == 0) { total = total + a[par]; } else { a[par] = 0; } par++; } // estado E (I  B) // vale 0  par < n == |a@P|  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] ++ a@P[par..] // estado F // vale a@E[par] == a@P[par] // vale a@E[par] mod 2 == 0  a[par] == a@E[par]  total == total@E + a@E[par] // vale a@E[par] mod 2 != 0  a[par] == 0  total == total@E // vale par == par@E  n == n@E // vale a[..par) == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] (1) // vale a(par..] == a@P(par..] // estado G // vale par == par@E + 1  n == n@E  total == total@F  a == a@F // estado Q: total == suma([x | x a@P,x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P] // cota 0 Algoritmos y Estructura de Datos 1

5. Más Invariante Solución: P  I P: par == total == 0  n == |a|  ( 0  par  n == |a@P| (trivial)   ( [x | x  a@P[..0),x mod 2 == 0]) =[] suma([]) == 0 == total  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) )  ( [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..0)] == [ ]  a@P == a@P[0..] a == a@P == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] ++ a@P[par..] ))  I: 0  par  n == |a| == |a@P|  total = suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] ++ a@P[par..]  Algoritmos y Estructura de Datos 1

6. Más Invariante Solución: I  B  Q I  B : 0  par  n == |a@P|  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] ++ a@P[par..]   (par < n)  par  n  par  n  par == n == |a@P| total == suma([x | x  a@P[.. |a@P|),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[.. |a@P|)] ++ a@P[|a@P|..]  a@P[|a@P|..] == [ ]  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[.. |a@P|)] ++ [ ]  total == suma([x | x  a@P[.. |a@P|),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[.. |a@P|)]  Q Algoritmos y Estructura de Datos 1

7. 0  par  n == |a@P| : //Estado E vale par@E < n == |a@P| //Estado F vale par == par@E  n == n@E //Estado G vale par == par@E+1  par@E < n  n == n@E implica 0 < par  n implica 0  par  n  n == |a@P| Más Invariante Solución: {I  B} cuerpo {I} // estado E (I  B) • vale 0  par < n == |a@P|  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | xa@P[..par)] ++ a@P[par..] // estado F • // vale a@E[par] == a@P[par] • // vale a@E[par] mod 2 == 0  a[par] == a@E[par]  total == total@E + a@E[par] • // vale a@E[par] mod 2 != 0  a[par] == 0  total == total@E • // vale par == par@E  n == n@E • // vale a[..par) == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] (1) • // vale a(par..] == a@P(par..] // estado G • vale par == par@E + 1  n == n@E  total == total@F  a == a@F Algoritmos y Estructura de Datos 1

8. Más Invariante Solución: {I  B} cuerpo {I} // estado E (I  B) • vale 0  par < n == |a@P|  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | xa@P[..par)] ++ a@P[par..] // estado F • // vale a@E[par] == a@P[par] • // vale a@E[par] mod 2 == 0  a[par] == a@E[par]  total == total@E + a@E[par] • // vale a@E[par] mod 2 != 0  a[par] == 0  total == total@E • // vale par == par@E  n == n@E • // vale a[..par) == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] (1) • // vale a(par..] == a@P(par..] // estado G • vale par == par@E + 1  n == n@E  total == total@F  a == a@F total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) : //Estado E vale total==suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) //Estado F vale a@E[par] mod 2 == 0  total == total@E + a@E[par] vale a@E[par] mod 2 != 0  total == total@E vale par == par@E vale a@E[par] == a@P[par] (1) implica (reempazando) a@E[par] mod 2 == 0  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) + a@E[par]  a@E[par] mod 2 != 0  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) Implica (juntado y por 1) total == suma([x | x  a@P[..par@E],x mod 2 == 0]) //Estado G vale par == par@E+1  total == total@F implica total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0]) Algoritmos y Estructura de Datos 1

9. Más Invariante Solución: {I  B} cuerpo {I} a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] ++ a@P[par..]: //Estado E vale a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] ++ a@P[par..] //Estado F vale a[..par) == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] (1) vale a(par..] == a@P(par..] vale a@P[par] mod 2 == 0  a[par] == a@P[par] (2) vale a@P[par] mod 2 != 0  a[par] == 0 (3) vale par == par@E implica (por 1,2y3) a[..par] == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par] ] implica a == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par] ] ++ a@P(par..] //Estado G vale par == par@E+1 vale a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par@E] ] ++ a@P(par@E..] implica a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | x a@P[..par)] ++ a@P[par..] // estado E (I  B) • vale 0  par < n == |a@P|  total == suma([x | x  a@P[..par),x mod 2 == 0])  a == [if x mod 2 == 0 then x else 0 | xa@P[..par)] ++ a@P[par..] // estado F • // vale a@E[par] == a@P[par] • // vale a@E[par] mod 2 == 0  a[par] == a@E[par]  total == total@E + a@E[par] • // vale a@E[par] mod 2 != 0  a[par] == 0  total == total@E • // vale par == par@E  n == n@E • // vale a[..par) == ([if x mod 2 == 0 then x else 0 | x  a@P[..par)] (1) • // vale a(par..] == a@P(par..] // estado G • vale par == par@E + 1  n == n@E  total == total@F  a == a@F Algoritmos y Estructura de Datos 1

10. Más Invariante Enunciado 2 Escribir una implementación para la siguiente función sin utilizar arreglos auxiliares. (Sugerencia: este problema se puede resolver utilizando un solo ciclo. Hagan eso para simplificar enormemente el segundo ítem). Dar una precondición, un invariante y una función variante, para cada uno de los ciclos que aparezcan en la solución, que permitan demostrar corrección usando el Teorema del Invariante. NO hacer ninguna demostración. problema ejercicioArtificial (a,b : [Z],n : Z) { requiere |a| == |b| == n  n mod 2 == 1 ; modifica a; b ; asegura pre(a) == reverse(a(medio..]) + + [pre(a)medio] + + reverse(a[..medio)) ; asegura amedio ==  pre(a) div n ; aux medio : Z = n div 2 ; } Algoritmos y Estructura de Datos 1

11. Más Invariante Solución 1: • void EjercicioArtificial(inout [Z] a, inout [Z] b, in int n) • { • int i = 0; • int med = n div 2; • int acum = 0; • while (i<med) • { • int aux = a[i]; • a[i] = a[n-1-i]; • a[n-1-i] = aux; • acum += a[n-1-i] + a[i]; • i++; • } • a[med] = acum/n; • } P: i == 0  acum == 0 I: 0  i  n div 2  acum ==  a@P[0..i-1]++a@P[n-i..n-1]  a == reverse(a@P[n-i..n-1])++ a@P[i..n-1-i] ++ reverse(a@P[0..i-1]) Fv: med - i Algoritmos y Estructura de Datos 1

12. Más Invariante Solución 2: • void EjercicioArtificial(inout [Z] a, inout [Z] b, in int n) • { • int med = n div 2; • int i = med - 1; • int acum = a[med]; • while (0i) • { • int aux = a[i]; • a[i] = a[n-1-i]; • a[n-1-i] = aux; • acum += a[n-1-i] + a[i]; • i--; • } • a[med] = acum/n; • } P: i == n div 2 – 1  acum == a[n div 2] I: –1  i  n div 2 – 1  acum ==  a@P(i..n-i-1)  a == a@P[0..i]++ reverse(a@P(i..n-1-i)) ++ a@P[n-1-i..n-1] Fv: i Algoritmos y Estructura de Datos 1