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談如何激發思考與創造

談如何激發思考與創造. 左太政 / 高雄師範大學數學系. 多元智力. 心理學家 H. Gardner 認為人的智力是多元的，它應包含七個領域的能力： 語言智慧 邏輯 － 數學智慧 空間智慧 肢體 － 動覺智慧、 音樂智慧 人際智慧 內省智慧. 數學中的問題解決. 數學的核心. 問題 , 是 學習數學就是學習如何解決問題 , 包括那些可以轉換成數學題的各類問題 ( 即外在連結 ) 。 由於解題的態度和學習方法的不同 , 將影響其學習成效。. 解題的歷程 (Polya). 讀題 (Reading) R1 ：注意到問題所有條件嗎？

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談如何激發思考與創造

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  1. 談如何激發思考與創造 左太政/高雄師範大學數學系

  2. 多元智力 心理學家 H. Gardner 認為人的智力是多元的，它應包含七個領域的能力： • 語言智慧 • 邏輯 － 數學智慧 • 空間智慧 • 肢體 － 動覺智慧、 • 音樂智慧 • 人際智慧 • 內省智慧

  3. 數學中的問題解決 數學的核心 • 問題,是 • 學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。 • 由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。

  4. 解題的歷程(Polya) 讀題(Reading) • R1：注意到問題所有條件嗎？ • R2：正確瞭解目標狀態嗎？ • R3：是否評估解題者現有知識與問 題的關係？

  5. 擬定計畫 • 分析問題及產生聯想,尋求解題途徑 (1) 儘可能畫出圖形或表格 (2) 檢查特例如令問題中整數取1,2,3,4,5等 代入,看看是否可歸納出規律來。 (3) 嘗試簡化問題如利用對稱性、採用 『不妨假設』 而不失問題的一般討論方式。 (4) 保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。 (5)將一個問題分成一系列子問題

  6. 3R解題策略(倒推法) • 解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request), • 適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response), • 最後導出結果(Result).這是所謂的「3 R」策略。

  7. 計劃－執行(Planning－Implementation) • PI1：是否有計劃行為？ • PI2：計劃與解題間有關係嗎？是否有良好的架構？ • PI3：受試者是否評估計劃的相關性、適當性及結構性？ • PI4：執行是否依計劃有系統的進行？ • PI5：是否在局部或整體層次評估執行？ • PI6：答案的評估之有無對結果的影響如何？

  8. 回顧解答- 驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題, 自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。

  9. 解題的各種方法 • 歸納 • 演繹 • 推理 • 類比 • 轉化 • 一般化、特殊化 • 模型化。

  10. 解題後的反思 • 一題多解 • 引申與題組(改變條件) • 縱向及橫向的推廣

  11. 創意單元：綁鞋帶方式 • 教學單元：平方根 教學目標：理解勾股定理的應用 及鏡射概念

  12. 類題:

  13. 據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。

  14. 參考解法

  15. 媒體報導某校國小六年級段考題 • 已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。

  16. 國小六年級段考題 • 在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。

  17. 單元:一題多解 • 有利於加強同學的思維訓練 • 有利於培養同學的數學思想 例如:(1) 數與形的結合 (2) 轉化解題方法的培養 (3) 歸納能力

  18. 從一道數學題目談起 • 如圖，試求 的度數。

  19. 參考解答一(利用三角函數)

  20. 參考解答二:圖解法(Proof Without Words)

  21. 範例: • 設 為正整數， 且 ， 若 試求 與 的值。

  22. 參考解法 • 解法一:代數方法 利用因式分解法，化簡得

  23. 參考解法 • 解法二:利用埃及分數的概念 利用單位分數的分解，化簡得

  24. 一題多解範例 • 設 都是小於1的正實數，試證:

  25. 參考解答(一) • 利用不等式

  26. 參考解答二:轉化成幾何題 • 作一正三角形 其邊長為1； 分別在三邊 、 及 上各取一點 使得 • 因此 的面積必 大於 三個面積之和，即

  27. 類題: • 已知正數 與 滿足條件: • 試證:

  28. 參考解答(一):代數法

  29. 參考解答(二):圖解法 • 如圖，

  30. 另解: • 作一個邊長為 的正方形，如圖所示

  31. 一題多解範例 • 已知 為正實數且滿足條件： • 試求： 與 的值。

  32. 【參考解法一】直接求解 • 因為 【註】此解法可適用於 為三個實數。

  33. 【參考解法二】數與形的連結---Proof Without Words(圖解法) • 如圖，由餘弦定理知， 因此 點為費瑪點，且 由面積公式知，

  34. 類題: • 若三正數 滿足下列條件 : • 試求 的值。

  35. 分析：轉化為幾何題 • 從第一個方程式： • 由餘弦定理知，其二邊 和 的夾角為 • 同理可由另二方程式知其角角分別為 和

  36. 參考解法:如圖

  37. 轉化範例（另一例） • 若三正數 滿足下列條件 : • 試求 的值。

  38. 範例 • 已知正數 滿足 ,試求 的最小值。

  39. 參考解答：利用幾何圖解法 • 如圖，

  40. 轉化-數學解題常用策略 • 常數與變數的轉化 • 例:已知 為相異實數， 試解方程組

  41. 轉化範例 • 將 視為一元三次方程式的三個解: 由根與係數知，

  42. 類題 • 已知實數 滿足聯立方程組 • 試求 的值。

  43. 參考解法 • 原方程組將 視為常數，則可得到 為下列 的方程式的四個根 將上式經化簡後可得 故由根與係數關係知

  44. 上題中如果二次方改成任意次 方，其方法亦同。

  45. 費伯納希數列

  46. 從一則題目談數列 • 一個2×1的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿2×8的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖 : • 試問共有多少種不同的舖蓋方式？

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