LUẬN LÝ TOÁN HỌC (Mathematical Logic)

1. LUẬN LÝ TOÁN HỌC (Mathematical Logic) Nguyễn Thanh Sơn Khoa KH&KT MT ĐH Bách Khoa TpHCM email : ntson@cse.hcmut.edu.vn http:\\www.cse.hcmut.edu.vn\~ntson

2. NỘI DUNG • Chương 1. Tổng quan • Chương 2. Luận lý mệnh đề (propositional logic) • Chương 3. Luận lý vị từ (predicates logic)

3. Chương 1. Tổng quan

4. Logic[16] • The Concise Oxford English Dictionary defines logic as "the science of reasoning, proof, thinking, or inference“. • Logic will let you analyze an argument or a piece of reasoning, and work out whether it is likely to be correct or not. You don't need to know logic to argue, of course; but if you know even a little, you'll find it easier to spot invalid arguments.

5. What logic isn’t[16] • First, logical reasoning is not an absolute law which governs the universe. Many times in the past, people have concluded that because something is logically impossible (given the science of the day), it must be impossible, period. It was also believed at one time that Euclidean geometry was a universal law; it is, after all, logically consistent. Again, we now know that the rules of Euclidean geometry are not universal.

6. What logic isn’t[16] • Second, logic is not a set of rules which govern human behavior. Humans may have logically conflicting goals. • This document only explains how to use logic; you must decide whether logic is the right tool for the job. There are other ways to communicate, discuss and debate.

7. What logic isn’t[16] • Arguments • An argument is, to quote the Monty Python sketch, "a connected series of statements to establish a definite proposition." • Many types of argument exist; we will discuss the deductive argument. Deductive arguments are generally viewed as the most precise and the most persuasive; they provide conclusive proof of their conclusion, and are either valid or invalid.

8. What logic isn’t[16] • Deductive arguments have three stages: • premises • inference • conclusion • Inference • Once the premises have been agreed, the argument proceeds via a step-by-step process called inference.

9. Premise P Q Conclusion Inference PQ đ đ đ đ s s s đ đ s s đ Logic[16] • Bảng “thực trị” cho implicatiom “”.

10. Logic[16] • Nếu premises đúng và inference đúng thì conclusion phải đúng. (dòng 1.) • Nếu premises đúng và conclusion sai thì inferencec không có giá trị. (dòng 2.) • Nếu premises sai và inference đúng thì conclusion có thể đúng hoặc sai. (dòng 3, 4.)

11. Logic[16] • The tricky part is that you can start with false premises, proceed via valid inference, and reach a true conclusion. • For example: • Premise: All fish live in the ocean • Premise: Sea otters are fish • Conclusion: Therefore sea otters live in the ocean

12. Logic[16] • So the fact that an argument is valid doesn't necessarily mean that its conclusion holds--it may have started from false premises. • If an argument is valid, and in addition it started from true premises, then it is called a sound argument. A sound argument must arrive at a true conclusion.

13. Logic[16] • Here's an example of an argument which is valid, and which may or may not be sound: • Premise: Every event has a cause • Premise: The universe has a beginning • Premise: All beginnings involve an event • Inference: This implies that the beginning of the universe involved an event • Inference: Therefore the beginning of the universe had a cause • Conclusion: The universe had a cause

14. Logic[16] • The proposition in line 4 is inferred from lines 2 and 3. Line 1 is then used, with the proposition derived in line 4, to infer a new proposition in line 5. The result of the inference in line 5 is then restated (in slightly simplified form) as the conclusion.

15. Nhất quán & Mâu thuẫn • Một người phát biểu rằng :”Thật sai lầm khi kiểm duyệt các chương trình truyền hình có tính chất bạo lực, vì hành vi con người không bị ảnh hưởng từ những điều họ nhìn thấy trên truyền hình. Tuy nhiên sẽ có ích khi trình chiếu trên truyền hình những hình ảnh tốt đẹp về đất nước, vì nó sẽ làm cho những người chống đối chính quyền thấy được hành vi chống đối của mình là vô nghĩa”.

16. Nhất quán & Mâu thuẫn • Nếu “hành vi con người không bị ảnh hưởng bởi truyền hình“ • thì “nội dung trên truyền hình không thể làm thay đổi hành vi của người chống đối”. • Do đó người ta gọi hệ thống phát biểu này là không nhất quán hay mâu thuẫn vì có hai phát biểu không đồng thời cùng đúng trong mọi tình huống.

17. Nhất quán & Mâu thuẫn • Một lớp các phát biểu được gọi là nhất quán nếu có một hoàn cảnh mà tất cả phát biểu cùng được gán giá trị đúng.Ngược lại, là không nhất quán nếu trong mọi hoàn cảnh tất cả các phát biểu đều không thể cùng được gán giá trị đúng.Không nhất quán còn được gọi là mâu thuẫn. • Một hệ thống mâu thuẫn còn gọi là hệ thống phi logic.

18. Nhất quán & thay đổi • Hôm nay hắn thích triết học hiện sinh, nhưng hôm sau hắn lại thích triết học đông phương. • Người ta nói rằng người này hay thay đổi,nhưng hệ thống vẫn nhất quán, không phi logic nghĩa là vẫn trong phạm vi nghiên cứu của logic.

19. Nhất quán & công bằng • Một xã hội không cho phép phụ nữ tham gia các hoạt động chính quyền là một xã hội không công bằng nhưng không phi logic.

20. Nhất quán & giả dối • Cha mẹ khuyên con cái sống ngay thật trong khi họ lại sống dối trá. Các bậc cha mẹ này là giả dối nhưng không phi logic.

21. Nhất quán & không có lý • Một người phát biểu rằng : • “Trong ba năm tôi dính dáng vào năm vụ tai nạn lớn và nhiều vụ nhỏ khi lái xe. Tòa án đã kết tội tôi, nhưng cơ bản tôi là một người lái xe an toàn, chỉ có điều là tôi đang lúc vận đen”.

22. Nhất quán & không có lý • Người này tự lừa dối khi nói rằng mình lái xe an toàn. • Quan điểm của người này là không hợp lý lẻ thường tình, nhưng hệ thống phát biểu này là nhất quán vì có hoàn cảnh để cho tất cả phát biểu cùng đúng.

23. Nhất quán & không có giá trị • Một người tin rằng “Trái đất là trung tâm của vũ trụ nên mặt trời xoay chung quanh trái đất “. • Hệ thống này là nhất quán nhưng không nhất quán với kiến thức đang biết. • Nghĩa là các hệ thống các phát biểi được đề cập đến không chứa các phát biểu tiềm ần, mặc nhiên. Logic chỉ khảo sát các phát biểu hiển hiện, được chỉ định rõ ràng.

24. Nhất quán & sự mơ hồ • Ngoài ra, sự mơ hồ về ngữ nghĩa của phát biểu (do cách biểu diễn của phát biểu) có thể làm hệ thống không nhất quán. • Do người ta có thể hiểu các phát biểu theo một cách nào đó để hệ thống trở thành không nhất quán.

25. Các kiểu nhất quán • Kiểu nhất quán trong logic là sự tương thích giữa các phát biểu.Sự tương thích ở đây là việc đồng thời cùng đúng của các phát biểu.Logic không quan tâm những kiểu nhất quán khác.

26. Lịch sử logic[12] • Logic là nền tảng của tất cả lý luận “có lý”. • Người Hy lạp cổ đã nhận ra vai trò của logic trong toán học và triết học. • Một luận đề có tính hệ thống về logic xuất hiện đầu tiên trong tác phẩm OrganoncủaAristotle. • Tác phẩm này có ảnh hưởng lớn lên triết học, khoa học, tôn giáo, suốt thời kỳ trung cổ.

27. Lịch sử logic[12] • Logic của Aristotle được diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường -> mơ hồ. • Các triết gia muốn logic được diễn tả có tính hình thức (formal) và bằng ký hiệu (symbolical) như toán học. • Leibniz có lẽ là người đầu tiên hình dung ra ý tưởng này và gọi tên là formalism.

28. Lịch sử logic[12] • Từ symbolic logic xuất hiện trong ấn bản năm 1847 có tên The Mathematical Analysis of Logic của G. Boole và Formal Logic của A. De Morgan. • Logic lúc này được xem là một phần của toán học. • Đánh dấu sự nhận thức rằng toán học không chỉ là số (arithmetic) và hình (geometry) mà bao gồm các chủ đề được diễn tả bằng ký hiệu + các quy luật và các thao tác trên ký hiệu.

29. Lịch sử logic[12] • Từ thời Boole và DeMorgan, logic và toán học quyện vào nhau chặt chẽ. • Logic là thành phần của toán học đồng thời là ngôn ngữ của toán học. • Cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 người ta tin rằng tất cả các ngành toán học có thể được giản lược vào symbolic logic và làm cho nó trở thành thuần tuý hình thức.

30. Lịch sử logic[12] • Vào những năm 1930, niềm tin này bị lung lay bởi K. Gödel. • K. Gödel chỉ ra rằng luôn luôn có các chân lý (truths) không thể dẫn xuất được từ bất kỳ hệ thống hình thức nào.

31. Logic • Thuật ngữ : • Luận lý học (tiếng Việt) • Logos (tiếng Hy lạp) • Hướng tiếp cận truyền thống, logic là một ngành của triết học. • Ngày nay (từ thế kỷ 19), logic là một ngành của toán học.

32. Logic • Thuật ngữ symbolic logic được dùng để đối kháng với philosophical logic. • Symbolic logic còn có tên là metamathematics. • Sau này symbolic logic có tên là Mathematical logic do Giuseppe Peano đặt. • Mathematical logic là logic được mô hình và nghiên cứu một cách toán học.

33. Logic • Cơ bản mathematical logic vẫn là logic của Aristotle. • Từ quan điểm ký hiệu thì mathematical logic là một ngành của đại số trừu tượng (abstract algebra).

34. Logic[Factasia] • Theo Factasia : • Logic là cơ sở hợp lý và là nền tảng • cho toán học, • cho khoa học, • cho kỹ thuật, và • đặc biệt cho công nghệ thông tin.

35. Logic[Factasia] • Đối với các chuyên gia máy tính. • Một ngôn ngữ hình thức có • cú pháp và ngữ nghĩa chặt chẽ • và các qui luật dẫn tới các lý luận đúng • sẽ trở thành một logic.

36. Logic[Factasia] • Đối với các nhà tư tưởng. • Logic là việc nghiên cứu về • những sự thật và • những hệ thống hình thức dẫn xuất ra các sự thật, • đồng thời khám phá ý nghĩa triết học của các sự thật.

37. Logic & tôn giáo • Chứng minh sự hiện hữu của Thượng đế[12]. • Có 3 lý luận đáng chú ý : • cosmological argument (vũ trụ luận), teleological argument (cứu cánh luận), và ontological argument (bản thể luận).

38. Logic & tôn giáo • Cosmological Argument (St. Thomas Aquinas) • Không có kết quả nào tự gây ra, • phải có một nguyên nhân. • Nếu không có nguyên nhân đầu tiên sẽ là một chuỗi vô hạn các nguyên nhân có trước. • Không thể là một chuỗi vô hạn các nguyên nhân, • vì vậy có nguyên nhân đầu tiên là Thượng đế.

39. Logic & tôn giáo • Teleological Argument (St. Thomas Aquinas) • Mọi thứ trong thế giới này hành động hướng về một sự kết thúc. • Chúng không thể làm điều này mà không có một sự thông minh hướng dẫn. • Sự thông minh này là thượng đế.

40. Logic & tôn giáo • Ontological Argument (St. Anselm) • Thượng đế là một hiện hữu (being) mà không cái nào lớn hơn có thể được nghĩ tới. • Sự suy nghĩ về hiện hữu mạnh hơn cái suy nghĩ không hiện hữu. • Vì vậy không thể nghĩ về Thượng đế như là không hiện hữu, • do đó Thượng đế phải tồn tại.

41. Mục tiêu của Logic • Khảo sát lý luận trong thế giới thực. • Tương quan giữa các phát biểu của 1 ngôn ngữ hình thức hoặc phi hình thức (consistency, entailment, ...). • Mô hình hóa lý luận của thực tế. • Hệ thống chứng minh (proof).

42. Mục tiêu của Logic • Logic is used extensively in CS[15] : • At the processor level: logic gates. • Hardware and software verication: floating point arithmetic verication, microkernel verication, etc. • High level programming: logic and constraint programming. • Articial intelligence: planning, scheduling, diagnosis, agents, etc. [15] Alwen Tiu. Introduction to Logic. The Australian National University. Summer Schools in Logic and Learning. 26 January - 6 February 2009, Canberra

43. Phân loại[1] • Inductive logic • có quá trình lý luận từ những trường hợp • cá biệt suy ra một kết luận tổng quát. • Deductive logic • có quá trình lý luận từ một phát biểu • tổng quát suy ra một kết luận cá biệt.

44. Inductive & Deductive logic[1] • Inductive • Được dùng trong tình huống không đầy đủ thông tin. • Thời gian lấy thông tin lâu. • Chi phí để có thông tin cao. •  kết luận tạm thời và để thống kê. • Deductive • Kết luận chính xác • Nghèo nàn

45. Định nghĩa Logic[2] • Ngôn ngữ hình thức là ngôn ngữ có : • cú pháp • ngữ nghĩa và • hệ thống chứng minh. • Logic là một ngôn ngữ hình thức.

46. Định nghĩa Logic[2] • Cú pháp cho biết cái gì được logic chấp nhận. • Ngữ nghĩa là ý nghĩa thực tế của các đối tượng trong logic. • Cú pháp là hình thức còn ngữ nghĩa là nội dung của các đối tượng trong logic. • Hệ thống chứng minh sản sinh các đối tượng mới từ các đối tượng có sẵn.

47. Hết lý thuyết

48. Bài tậpChương 1 : Tổng quan

49. Thảo luận nhóm 5 phút • Mỗi nhóm tìm các bài toán giải được bằng logic (bài tập này được làm trước khi học chương 2). • Viết ra ý kiến và trình bày bằng slide trước lớp.

50. Hết slide