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第一节 幂级数

第一节 幂级数. 一、 幂级数及其收敛性. 1. 定义 1. 2. 收敛性 :. 证明. 由 (1) 结论. 几何意义. 收敛区域. 发散区域. 发散区域. 推论. 定义 2 正数 R 称为幂级数的 收敛半径. 开区间 (-R,R) 称为幂级数的 收敛区间. 从而决定了收敛域为以下四个区间之一 :. 规定. 问题. 如何求幂级数的收敛半径 ?. 证明. 由比值审敛法 ,. 定理证毕. 例 2 求下列幂级数的收敛区间 :. 解. 该级数收敛. 该级数发散. 发散. 收敛. 故收敛区间为 (0,1]. 由达朗贝尔判别法. 解.

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第一节 幂级数

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Presentation Transcript

  1. 第一节 幂级数

  2. 一、 幂级数及其收敛性 1.定义1 2.收敛性:

  3. 证明

  4. 由(1)结论 几何意义 收敛区域 发散区域 发散区域

  5. 推论

  6. 定义2正数R称为幂级数的收敛半径. 开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间. 从而决定了收敛域为以下四个区间之一: 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径?

  7. 证明

  8. 由比值审敛法,

  9. 定理证毕.

  10. 例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散

  11. 发散 收敛 故收敛区间为(0,1].

  12. 由达朗贝尔判别法 解 原级数绝对收敛.

  13. 原级数发散. 收敛; 发散;

  14. 解 缺少偶次幂的项 级数收敛,

  15. 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为

  16. 幂级数的运算 1.代数运算性质 (1) 加（减）法 (其中

  17. (2) 乘法 (其中 (3) 除法 注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多

  18. 2.幂级数和函数的性质和求法:

  19. （收敛半径不变)

  20. (收敛半径不变)

  21. 解 两边积分得

  22. 解 收敛区间(-1,1),

  23. 注：常用已知和函数的幂级数

  24. 四 小结 思考判断题 1.函数项级数的概念 收敛点(域),发散点(域),和函数,余项,幂级数,收敛半径 2.幂级数的收敛性 求幂级数的收敛半径,收敛域 3.幂级数的运算 和函数的性质及其求法

  25. 思考判断题 1.幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 2.幂级数收敛区间和收敛域的区别

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