1 / 20

二次函数中的动态问题探究

二次函数中的动态问题探究. —— 由一道中考题说开去. y. y. C. F. Q. E. D. A. B. O. O. x. x. M. 第 25 题图 2. 第 25 题图 1. 2011武汉市中考数学25题. 25. 如图 1, 抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 3 经过 A( － 3,0),B( － 1,0) 两点 . （ 1 ）求抛物线的解析式；

grant
Download Presentation

二次函数中的动态问题探究

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 二次函数中的动态问题探究 ——由一道中考题说开去

  2. y y C F Q E D A B O O x x M 第25题图2 第25题图1 2011武汉市中考数学25题 • 25.如图1,抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3,0),B(－1,0)两点. • （1）求抛物线的解析式； • （2）设抛物线的顶点为M,直线y＝－2x＋9与y轴交于点C,与直线OM交于点D．现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围； • （3）如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上.若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

  3. 2011武汉市中考数学25题 • 考题分析: • 此题是2011年武汉市中考的压轴题，与考试说明样题和四月调考题在领域、方向和情景等方面都有表面的相似和深刻的联系，但设问和立意不同，侧重想象力的考查，避免了知识的异化。第25题作为本卷的制高点，考查学生进一步学习的潜能，对想象力和严谨推理具有较高的要求，但在第(1)问，用待定系数法求函数解析式，却极其基本。在第(2)(3)问中,主要考查了抛物线的平移变换这样一个动态问题,以及几何综合知识的运用,需要学生具有较强的空间想象能力,很有区分度,体现了试题的选拔功能.

  4. 2011武汉市中考数学25题拓广探究

  5. 变式一： • 设原题中的抛物线顶点为M，与y轴相交于F点，直线MF交直线y=-2x+9于N，过N的直线BN⊥x轴，垂足为B，若抛物线的顶点沿着线段MN上运动，抛物线与BN的交点是P，设顶点的横坐标是m， • (1)用含有m的代数式表示点P的坐标 • (2)当m为何值时，PB有最小值？ • (3)当PB最小时，抛物线上是否存在一点Q，可使⊿M1NP与⊿M1NQ面积相等？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. C N P F M1 O B ※改造说明:变式一在原题的基础上保留了抛物线和直线CD,改变了抛物线的平移方向,利用它来探究解决其它的问题. M

  6. H G E O F N 变式二 • (1)将原题中的直线OD绕着O点顺时针旋转90º,并同时向上平移一个单位,交y轴于点E,交x轴于点F,以EF为边向上作正方形EHGF．并将原抛物线作出关于x轴对称的抛物线y,它经过怎样的平移后会经过H,G两点? • (2) 若正方形以每秒1个单位长度的速度沿射线EF下滑，直至顶点H落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； • (3)若直线EF与平移后的抛物线对称轴 • 右侧的交点为N,当抛物线与正方形沿 • 直线EF的方向下滑至点H落在x轴上时, • 求出下滑过程中抛物线弧GN所扫过的面积. ※改造说明:变式二在原题的基础上将抛物线做了上下翻折的变换,同时将直线做了旋转变换,并且添加了一个运动的正方形,改变了抛物线平移的方向,利用它来探究其它的结论.

  7. 抛物线的动态问题拓广探究

  8. 在近几年全国的中考数学中,抛物线的动态问题都是各地压轴题的热点,抛物线的动态问题大致可以分为:动点运动型, 直线运动型, 图形运动型 抛物线运动型几类,现粗略分析如下:

  9. y y 1 1 1 1 A O A O B B x x D D C C 第25题图1 第25题图备用图 动点运动型： • （2011沈阳）如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． • ⑴求抛物线的函数表达式； • ⑵求直线BC的函数表达式； • ⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． • ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值； • ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

  10. y y A A O O B B x x G C C D D 图1 图2 动点运动型： • （甘肃省天水市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝． • （1）求这个二次函数的表达式． • （2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． • （3）如图2，若点G（2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时P点的坐标和△AGP的最大面积．

  11. y D C x A O B 直线运动型： • （江西省、江西省南昌市）如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． • （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； • （2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． • ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ • ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

  12. y C E B O P A x 直线运动型： • （辽宁省锦州市）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根． • （1）求这条抛物线的解析式； • （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； • （3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

  13. y y M M N C C B B P A D D O O E E x x (A) 图1 图2 图形运动型： • （海南省）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3． • （1）求该抛物线所对应的函数关系式； • （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． • ①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； • ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

  14. 图形运动型： • （2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． • （1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由． • （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时： • ①求出点A，B，C的坐标． • ②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

  15. 抛物线运动型： • (2011广西桂林)已知二次函数的图象如图. • （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； • （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； • （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

  16. y y C1 C1 M N Q A A O O B B E x x F C2 C3 C4 P P 图（1） 图（2） 抛物线运动型： • （福建省宁德市）如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． • （1）求P点坐标及a的值； • （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； • （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

  17. 归纳展望： • 纵观近三年全国各地的中考数学试题，函数的动态问题在压轴题中占有很大的比重，这足以让我们引起对这个内容的重视。不论是点动，线动，形动，其根本都是以动点来带动图形的变换的，我们应当抓住动点的特征作为动态问题的切入点。而抛物线的运动，我们一般都会以抛物线的顶点式解析式作为解题的切入点，来帮助我们找到解决问题的钥匙。问题中的动与静总是对立的，又是统一的，无论图形运动变化是哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．而建立运动函数关系就更一般地、整体地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．

  18. 归纳展望： • 解这类问题的基本策略是： • 1．动中觅静 • 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． • 2．动静互化 • “静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． • 3．以动制动 • 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．

  19. 归纳展望： • 动态问题既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用动态问题的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以用来探求函数中的存在性问题，最值问题，几何中的相似问题、面积问题，定值等问题的方法；更进一步的推广来说，是对于一个数学问题，努力的去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等等，这就是我们常说的“动态思维”．动态问题涵盖的内容非常广泛，即可以是四边形，也可以是全等形，相似形，还可以是函数问题，这也是它成为中考热点的原因，应该引起我们在教学中的足够重视，这同时也是我们确立参赛学案内容的原因。

  20. 感谢各位老师光临指正 武汉市二桥中学参赛团队

More Related