CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES

1. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I: FUNDAMENTOS DEL CONTROL DE PROCESOS Capítulo 4: Dinámica de Procesos Simples 1. INTRODUCCION El propósito de este capítulo es aplicar el procedimiento de formulación de un modelo matemático a procesos clásicos en ingeniería y estudiar su dinámica utilizando las nociones de función de transferencia 2. ECUACIONES DE CONSERVACION • Conservación de la masa EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE MASA, SIN REACCIÓN QUÍMICA, APLICADO A UN SISTEMA DINÁMICO SE EXPRESA COMO: Flujo de masa que entra al sistema Masa que se acumula en el sistema Flujo de masa que sale del sistema _ = Las unidades de esta ecuación son masa por tiempo. El lado derecho de la ecuación puede ser una derivada parcial u ordinaria de la masa que está dentro del sistema con respecto a la variable independiente t,

2. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I-CAP. 4 • Ejemplo 1: Llenado/vaciado de un tanque cilíndrico Considere un tanque al cual entra un flujo de una corriente líquida con un caudal volumétrico F0 (ft3/min o m3/min) y con una densidad 0 (lbm/ft3 o kg/m3). La acumulación volumétrica del líquido en el tanque es V (ft3 o m3) y su densidad es . El caudal volumétrico que sale del tanque es F y la densidad de la corriente de salida es la misma que la contenida en el tanque. F0 (t) 0(t)  V(t) (t) F(t) (t) El sistema para el cual se quiere escribir una ecuación total de continuidad es toda la fase líquida en el tanque. Este es un sistema macroscópico, ya que es de tamaño finito y definido. El balance de masa es alrededor de todo el tanque

3. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I-CAP. 4 • Flujo de masa que entra al tanque: F0ρ0 • Flujo de masa que sale del tanque: Fρ • Masa que se acumula: ρV F0ρ0 – Fρ = d(ρV)/dt ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN : • Si se asume que: 1. El tanque tiene un área transversal constante: V = Ah 2. El fluido es incompresible: ρ0 = ρ F0 – F = Adh/dt (1) MODELO DEL SISTEMA ¿De qué tipo es? ¿Cuántos grados de libertad? ¿Tiene solución?

4. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I-CAP. 4 3. DINAMICA DE PRIMER ORDEN Si deseamos mantener la altura dentro del tanque en un nivel deseado, mediante acciones sobre el flujo de salida, ante variaciones en el flujo de entrada, tenemos: • Variable controlada: h 2. Variable medida: h • 3. Perturbación: F04. Variable manipulada: F • Con el fin de aprovechar las ventajas de las variables de desviación, debemos realizar un balance de masa en estado estacionario, en este caso el término de acumulación se anula, quedando: F0eρ0e – Feρe = 0 Expresión que se reduce a: F0e – Fe = 0 (2) HD = h – he FD = F - Fe F0D = Fo - Foe • Si definimos las siguientes variables de desviación: • Si ahora restamos término a término las ecuaciones (1) y (2): (F0- F0e) – (F-Fe) = Ad(h- he)/dt

5. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Ecuación que se convierte en: F0D – FD = AdHD/dt • Para propósitos de control, debe existir alguna forma de manipular la variable de salida, si colocamos una válvula en el flujo de salida. Dinámicamente esta válvula actúa como una resistencia al flujo. Entonces: F = h/R Fe = he / R FD = HD / R • La ecuación final del modelo del proceso es: F0D – HD/R = AdHD/dt RF0D – HD = RAdHD/dt Ƭ = RA Kp = R KpF0D – HD = ƬdHD/dt Si definimos:

6. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Resolviendo la EDO obtenemos la respuesta del proceso, H(s), en función del estímulo, F0(s) Se la define como la: Función de Transferencia de un sistema de primer orden de retraso Donde a: KP = Ganancia del sistema, factor de amplificación o disminución de la entrada Ƭ= Constante de tiempo del sistema • Análisis Dinámico: consiste en obtener la respuesta del sistema ante diferentes estímulos ESTIMULORESPUESTA Y(t) = KP e-t/T Impulso: δ(t) H(s) F0(s) Escalón Unitario: U(t) Y(t) = KP (1-e-t/T) Rampa: t Y(t) = ?

7. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Ejemplo 2: Proceso de Mezclado Considere un proceso de mezclado en el cual una corriente de solución, q, que contiene una sal disuelta fluye hacia un tanque con un volumen V. La concentración de la sal en la corriente que entra varía con el tiempo y se denota como X (masa de sal/volumen), mientras que la concentración de la sal en la corriente de salida es Y. El modelo debe determinar la relación entre X y Y. X(t) qe  V z(t) Y(t) qs • Un balance de masa en la sal da como resultado: ¿De que tipo es el modelo? ¿Cuantas variables contiene? ¿Tiene solución? qe X(t) – qs Y(t) = d(VZ)/dt

8. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 ¿Que suposiciones puedo hacer para resolver el modelo? El volumen en el tanque es constante 1. Si los flujos son iguales, esto es: qe = qs Z(t) = Y(t) 2. Si el tanque está perfectamente mezclado: Con estas suposiciones simplificantes el modelo se convierte en: Es posible resolverlo? q X(t) – q Y(t) = Vd(Y)/dt = 1 ¿Por qué? V/q

9. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Ejemplo 3: Reacción Química Considere un tanque con un líquido perfectamente mezclado en el cual ocurre una reacción química en fase líquida. Al tanque se lo conoce como un reactor RAP (reactor agitado permanentemente). El componente A reacciona irreversiblemente para formar un producto, el componente B. k A B En este caso, la ecuación de conservación incorpora el término de generación Flujo de masa que entra al sistema Masa que se acumula en el sistema Flujo de masa que sale del sistema Masa que se genera en el sistema _ = +

10. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 F0 CA0 ρ0 CB0  V, CA CB FS CAS ρS CBS • El balance debe realizarse en un componente, consideremos el componente A • Flujo de A que entra al sistema: F0CA0 • Flujo de A que sale del sistema: FCAS • Velocidad de generación de A debido a la reacción química: -VRA • Velocidad de cambio de A en el reactor: d(VCA)/dt ¿De que tipo es el modelo? ¿Cuantas variables contiene? ¿Tiene solución? F0CA0 – FSCAS – VRA = d(VCA)/dt

11. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Suposiciones simplificantes • Velocidad de reacción de primer orden e isotérmica: R = KCA • Flujo constante: F0 = FS = F • Agitación perfecta: CA = CAS, CB = CBS Con estas suposiciones el modelo se convierte en: FCA0 – FCA – VKCA = Vd(CA)/dt = F/ (F + VK) = V/(F + VK)

12. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 4. DINAMICA DE SEGUNDO ORDEN DE RETRASO Corresponde a un proceso suyo modelo matemático está representado por una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden o, correspondientemente, por una función de transferencia cuya ecuación característica corresponde a un polinomio de segundo grado en s • Ejemplo 4: Sistema de nivel formado por dos tanques F0 (t) Considere un sistema de nivel formado por dos tanques en serie, donde la salida del primer tanque es la entrada al segundo. El propósito del estudio es determinar la relación entre el caudal de entrada al primer tanque y la altura en el segundo tanque. h1(t) R1, F1(t) h2(t) • Suposiciones: • Fluido incompresible • Areas transversales constantes • Resistencias lineales R2, F2 (t)

13. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Ecuaciones de balance en ambos tanques TANQUE UNO: F0 – F1 = A1 dh1 /dt F1 = h1 /R1 TANQUE DOS: F1 – F2 = A2 dh2 /dt F2 = h2 /R2 • Variables de Desviación H1D = h1 – h 1e H2D = h2 – h2e F0D = Fo - Foe F1D = F1 – F1e F2D = F2 – F2e • Funciones de Transferencia La función de transferencia requerida es: la cual se puede obtener de

14. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Expresiones para las funciones de transferencia Con = AiRi, i = 1,2 Sistema de primer orden en serie Desarrollando los productos del denominador: Sistema de segundo orden de retraso Función de transferencia genérica de un sistema de segundo orden de retraso Constante de tiempo = Ganancia del sistema = Coeficiente de amortiguamiento =

15. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden La respuesta dinámica dependerá de las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia y de la naturaleza del estímulo E.C. = = 0 SISTEMA SOBRE AMORTIGUADO > 1 raíces reales y distintas SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO raíces reales e iguales = 1 raíces complejas conjugadas SISTEMA SUB AMORTIGUADO < 1 raíces imaginarias puras SISTEMA OSCILANTE = 0

16. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden Si el estímulo es un ESCALON UNITARIO las respuestas temporales son de la forma: > 1 Y(t) = C1exp(r1t) + C2exp(r2t) Y(t) = (C1 + C2 t) exp(rt) = 1 Y(t) = exp(Ret) [C1+C2) cos(Imt) + i (C1 - C2) sen(Imt)] < 1 Y(t) = [C1+C2) cos(Imt) + i (C1 - C2) sen(Imt)] = 0

17. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden En la gráfica de respuesta de un sistema de segundo orden a un estímulo escalón unitario se pueden apreciar claramente las diferentes formas de respuesta

18. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden

19. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden Términos asociados con la respuesta al escalón de un sistema subamortiguado

20. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden En primer lugar debemos reescribir la función de transferencia en la forma general para determinar los parámetros del sistema de segundo orden g(s) = K = 0,5 Ƭ2 = 0,1 Ƭ = 0,3 2 Ƭ = 0,3 = 0,5

21. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 • Análisis de la respuesta dinámica de sistemas de segundo orden Tiempo de cruce= 0,75: Tiempo de Pico = 1,15: Sobre Tiro = 0,08/0,5

22. CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES UNIDAD I- CAP. 4 5. RETARDO EN EL TRANSPORTE Es un fenómeno que frecuentemente se presenta en sistemas de flujo y está asociado con un retraso en el transporte. También se le conoce como elemento tiempo muerto y retraso distancia-velocidad. Un fluido se transporta a través de un tubo aislado de área transversal uniforme A y longitud L, con un caudal volumétrico constante, q. y(t) q x(t) q L • La temperatura x del fluido que entra varía con el tiempo y se desea obtener la respuesta de la temperatura de salida, y • Esta variación no se detectará al final del tubo sino M tiempo después, el cual es el tiempo requerido para que una sección del fluido entra al tubo pase a través de él. Si la variación en x(t) es de forma arbitraria, la respuesta y(t) al final del tubo será idéntica pero retrasada M veces. y(t) = x (t-)