1 / 56

Discrete Math and Its Application to Computer Science

Discrete Math and Its Application to Computer Science. UBİ 501 Lecture - 5 İlker Kocabaş E.Ü Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü Bornova - İzmir. Akış . MATEMATİKSEL TÜMEVARIM İyi Sıralılık (İng. Well-ordering) kavramı Basit Tümevarım

gurit
Download Presentation

Discrete Math and Its Application to Computer Science

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Discrete Math and Its Application to Computer Science UBİ 501 Lecture - 5 İlker Kocabaş E.Ü Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü Bornova - İzmir

  2. Akış MATEMATİKSEL TÜMEVARIM İyi Sıralılık (İng. Well-ordering) kavramı Basit Tümevarım Bütünsel/Güçlü Tümevarım (İng.Complete/Strong Induction) ÖZYİNELEMELİ (İNG. RECURSİVE) TANIMLAMALAR Yapısal Tümevarım ÖZYİNELEMELİ ALGORİTMALAR

  3. İyi Sıralılık • Tanım:Bir S kümesinin eğer tüm alt-kümelerinde en küçük eleman tanımlanabiliyor ise bu küme iyi sıralı olmaktadır. • Örnekler: • N iyi sıralıdır. (≤ ilişkisi altında) • Herhangi sayılabilir sonsuz bir küme iyi sıralı olabilmektedir. Z tam sayılar kümesi gibi.. • Z ≤ ilişkisi altında iyi sıralı değildir? • [0 5] Real sayılar kümesi?

  4. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Kanıtlamak istediğimiz P(0), P(1),….,P(n) gibi sıralı önermeler olduğunu düşünelim. • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • P(0) = 0 • P(1) = 1, P(2) = 1+3 =4, P(3) = 1+3+5 = 9 gibi…. • Her bir önermeyi bir domino taşı olarak gösterebiliriz. P (n)

  5. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece önermelerin sırası görsel olarak: P (0) P (1) P (2) P (n) P (n+1) …

  6. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Domino taşının sağa yıkılması, ilgili önermenin doğru olarak kabul edildiğini gösterir. P (n) P (n) true

  7. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Dominoların iki kısıtlamayı karşıladığını farz edelim: • İyi-pozisyonlu: Eğer herhangi bir domino yıkılırsa, sonraki domino da yıkılmalıdır. • İlk domino sağa yıkılmaktadır. P (n) P (n+1) P (0) true

  8. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Dominoların iki kısıtlamayı karşıladığını farz edelim: • İyi-pozisyonlu: Eğer herhangi bir domino yıkılırsa, sonraki domino da yıkılmalıdır. • İlk domino sağa yıkılmaktadır. P (n) true P (n+1) true P (0) true

  9. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (0) P (1) P (2) P (n) P (n+1) …

  10. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (0) P (1) P (2) P (n) P (n+1) …

  11. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (1) P (2) P (n) P (n+1) P (0) true …

  12. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (2) P (n) P (n+1) P (0) true P (1) true …

  13. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (n) P (n+1) P (0) true P (1) true P (2) true …

  14. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (n) P (n+1) P (0) true P (1) true P (2) true …

  15. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (n+1) P (0) true P (1) true P (2) true … P (n) true

  16. MATEMATİKSEL TÜMEVARIM • Böylece tüm dominoların yıkılacağı sonucu çıkar. P (0) true P (1) true P (2) true … P (n) true P (n+1) true

  17. BASİT TÜMEVARIM • Tümevarım Problemi:İyi sıralı bir S kümesi üzerinde tanımlanmış bir P(x) yüklemi için x P(x)’in doğruluğunu göstermek. • Hipotezler: • H1: P(0), Temel Adım • H2: P(n) P(n+1), Tümevarım Adımı P(0) P(n) P(n+1) x P(x) • Tümevarım adımının ispatında doğrudan ispat yöntemi kullanılır.

  18. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak:

  19. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 =12

  20. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 =22

  21. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 +5 =32

  22. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 +5 +7 =42

  23. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 +5 +7 =52 +9

  24. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 +5 +7 +9 =62 +11

  25. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Görsel Olarak: 1 +3 +5 +7 +9 +11 +13 = 72

  26. BASİT TÜMEVARIM • Örnek: P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Temel Adım: n’nin en küçük değeri için önermenin doğruluğunun gösterilmesi. • Hiç bişeyin toplamı 0’dır!!!

  27. BASİT TÜMEVARIM • Örnek:P(n) = pozitif ilk n tek sayının toplamı n’in tam karesidir. • Tümevarım Adımı: eğer bildirim n için geçerliyse, n+1 için de bildirimin geçerliliğinin gösterilmesi.

  28. BASİT TÜMEVARIM • Örnek:3n + 5 = O(n2) olduğunu gösteriniz. • İspat: • 3n + 5 ≤ Cn2 , n ≥ k (Big-O tanımı) • C=1 için k=5. (n2-3n ≥ 5 = n(n-3) ≥ 5 → n ≥ 5 = k) • n (n ≥ 5 → 3n + 5 ≤ n2) tümevarım ile ispat edilir. • Temel: n = 5 için 3n + 5 ≤ n2  • Tümevarım: 3n + 5 ≤ n2 → 3(n+1) + 5 ≤ (n+1)2

  29. BÜTÜNSEL(GÜÇLÜ) TÜMEVARIM • Örnek:Fibonacci serisini ve 2nserisini ele alalım. {fn} =0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 {2n} =1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 • LEMMA:Tüm n değerleri için ,fn < 2n

  30. BÜTÜNSEL(GÜÇLÜ) TÜMEVARIM • LEMMA:Tüm n değerleri için ,fn < 2n • İspat. • Temel:n = 0 içinf0 = 0 < 1 = 20 • Tümevarım:n > 0 için hipotezi n-1 ile uygularsak fn= fn-1+fn-2 <2n-1+fn-2 Soru: Şimdi?

  31. BÜTÜNSEL(GÜÇLÜ) TÜMEVARIM • Basit tümevarım veya tümevarımın 1. prensibi: • Sadece n’nin bir önceki değerini dikkate alır!!! • 1’den fazla değere ihtiyaç duyulan durumlar için tümevarımın daha güçlü bir versiyonuna ihtiyaç vardır. • 2. prensibi: • Temel:P(0),.. ihtiyaç duyulan tüm temel durumlar. • Bütünsel Tümevarım: n [P (0)P (1) … P (n)] P(n+1)

  32. BÜTÜNSEL(GÜÇLÜ) TÜMEVARIM • LEMMA:Tüm n değerleri için ,fn < 2n • Tümevarım: n > 0 için fn= fn-1+fn-2 f1= f0+f-1  f2=f1+f0 • İspat. • Temel:n = 0 içinf0 = 0 < 1 = 20 n = 1 içinf1 = 1 < 2 = 21

  33. BÜTÜNSEL(GÜÇLÜ) TÜMEVARIM • LEMMA:Tüm n değerleri için ,fn < 2n • İspat. • Temel:n = 0 içinf0 = 0 < 1 = 20 n = 1 içinf1 = 1 < 2 = 21 • Tümevarım: n > 0 için fn= fn-1+fn-2 <2n-1+ 2n-2=2.2n-2+ 2n-2 fn= 3.2n-2<222n-2 <2n

  34. TÜMEVARIM TEHLİKELERİ • Örnek:P (n) = “n tane attan oluşan herhangi bir gruptaki tüm atlar aynı renkte olmalıdır. • İspat. • Temel: n=1 için bildirim doğru  • Tümevarım: n için doğruyken n+1 için de doğru  PROBLEM NEREDE?

  35. Özyinelemeli Tanımlamalar • Kümelerin ve fonksiyonların özyinlemeli tanımlamaları benzerdir. • İlkleme (Temel) Adımı: • Kümeler için: Temel yapı bloklarının ifade edilmesi. • Fonksiyonlar için: Temel yapı bloklarındaki fonksiyon değerlerinin ifade edilmesi. • Özyineleme (Tümevarım) Adımı: • Kümeler için: Yeni elemanların eskilerden nasıl olacağının gösterilmesi. • Fonksiyonlar için: Yeni elemanların fonksiyon değerlerinin eski elamanların değerlerinden nasıl hesaplanacağının gösterilmesi.

  36. Özyinelemeli Tanımlamalar • Küme Örnek: Sonlu bir alfabe () ile oluşturulan dizilerin kümesi. : Tüm dizilerin kümesi (Boş dizi  da dahil!) • için özyinlemeli tanım: • İlkleme: boş dizisi nin içinde. • Özyineleme: Eğerwdizisi nin içinde veasembolü nin içinde ise wadizini  nin içindedir.

  37. Özyinelemeli Tanımlamalar • Küme Örnek (devam):ile oluşturulan nin özyinelemeli tanımı. Soru:= {a, b} olursa aab?

  38. Özyinelemeli Tanımlamalar • Küme Örnek: Doğru oluşturulmuş parantezler dizilerinin kümesi P nin özyinelemeli tanımı. • için özyinlemeli tanım: • İlkleme: ( )P • Özyineleme: EğerwP ise ( )w P, (w) P, ve w( ) P. Soru:(( )( )) P ?

  39. Özyinelemeli Tanımlamalar • Fonksiyon Örnek: Fibonacci serisi {fn } = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… • fn için özyinlemeli tanım: • İlkleme: f0= 0, f1 = 1 • Özyineleme: fn= fn-1+fn-2 ,n > 1.

  40. Özyinelemeli Tanımlamalar • Fonksiyon Örnek: Faktoryal fonsiyon {fn } = n! = 1· 2· 3· 4 ···(n –2)·(n –1)·n • fn için özyinlemeli tanım: • İlkleme: f0= 0!= 1 • Özyineleme: fn= n != n ·(n -1)! = n · fn-1 ,n > 0.

  41. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısının formülü?

  42. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısı: f (1) = 0

  43. Özyinelemeli Tanımlamalar Geometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısı: f (2) = 1

  44. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısı: f (3) = 3

  45. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısı: f (4) = 6

  46. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısı: f (5) = 10

  47. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Bir düzlemde n doğru ile gerçekleştirilebilecek kesişim noktalarının maksimum sayısınıf(n)ile gösterirsek: n = 1, 2, 3, 4, 5 f (n) = 0, 1, 3, 6, 10 • Soru:f (n)fonksiyonunu önceki terimleri kullanarak, yani özyineleme gösterimi ile tanımlayan bir formül?

  48. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Cevap:f (n) = f (n-1) + (n –1) • Soru: Kapalı bir formül nasıl bulabiliriz?

  49. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Cevap:Özyinelemeli formüle n’in daha küçük değerleri tekrarlı biçimde n=1’e (veya n’nin minimum değerine kadar) düşünceye kadar eklenir.

  50. Özyinelemeli TanımlamalarGeometrik Örnek • Cevap:Özyinelemeli formüle n’in daha küçük değerleri tekrarlı biçimde n=1’e (n’nin min değerine kadar) düşünceye kadar eklenir. • f (n) = f (n-1) + n–1

More Related