Continuité

1. Continuité • Introduction • Continuité • Définition • La fonction Partie Entière • Prolongement par continuité • Opérations sur les fonctions • Dérivabilité et continuité • Théorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation d’une solution d’une équation Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité

2. IIntroduction De manière heuristique , on dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer « sans lever le crayon » Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

3. IIntroduction On se rend bien compte avec la fonction f(x)=sin(1/x) que définir ainsi la continuité n’est pas satisfaisant sur l’intervalle ]0,1] Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

4. IIContinuité • Définition • Fonction partie entière • Prolongement par continuité • Fonctions usuelles et continuité • Dérivabilitée et continuité Continuité en un point Continuité sur un intervalle • On dit qu’une fonction f est continue en a (aIR) si les trois conditions suivantes sont vérifiées : • f est définie en a • f(x) admet une limite quand x tend vers a • limxaf(x) = f(a) Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en tout point de cet intervalle. Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

5. IIContinuité • Définition • Fonction partie entière • Prolongement par continuité • Fonctions usuelles et continuité • Dérivabilitée et continuité Fonction partie entière Pour tout réel x, il existe un unique entier n, noté E(x), tel que n ≤ x < n + 1 On appelle fonction partie entière la fonction noté E qui au réel x de l’intervalle [ n ; n+1[ associe l’entier E(x)=n E()= ? E(- )=? Cette fonction admet des discontinuité en tout entier car la limite à droite n’est pas égale à la limite à gauche en tout entier. Soit f(x) = E(x2) – x définit sur [0;2]. Tracer la courbe représentative de f. Quels sont les intervalles où f est continue ? Soit f(x) = E(x2-3x+2) – E(x) avec x  [0;2]. Tracer la courbe représentative de f. Quels sont les intervalles où f est continue ? Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

6. IIContinuité • Définition • Fonction partie entière • Prolongement par continuité • Fonctions usuelles et continuité • Dérivabilitée et continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

7. IIContinuité • Définition • Fonction partie entière • Prolongement par continuité • Fonctions usuelles et continuité • Dérivabilitée et continuité A Théorème • Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carrée et les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. • Si f et g sont deux fonctions continues sur I, alors f+g, fg et fn (n entier naturel non nul) sont continues sur I. De plus si g est non nulle sur I alors f/g est continue sur I. • Si f est continue sur I et que g est continue sur f(I) alors la fonction composée gof est continue sur I. Prouvez que la fonction f est continue sur IR Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

8. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. A ou D Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que : f(c)=k Le théorème des valeurs intermédiaires n’est pas forcement vérifié si la fonction n’est pas continue. Exemple avec E(x) Le réel c n’est pas forcement unique. Exemple avec sin(x) Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

9. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. D Théorème de bijection ou de la valeur intermédiaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] alors pour tout réel k ϵ [f(a), f(b)] il existe un unique réel c dans [a,b] tel que f(c)=k. Dans ce cas, on dit que f réalise une bijection de I=[a,b] vers J=[f(a),f(b)] (*) C’est-à-dire que tout élément de I a une unique image dans J par f et que tout élément de J a un unique antécédent dans I par f. D’ou le nom théorème de bijection. (*) ou J=[f(b),f(a)] Ce théorème est très utile pour prouver qu’une équation de la f(x) = 0 a une unique solution dans un intervalle bien choisi. Montrer que l’équation suivante admet une unique solution dans [-2;3] x7 + x3 + 3x = 2 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

10. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. Le théorème précédent peut être généraliser à toutes sortes d’intervalles. A Théorème de bijection dans intervalle ouvert Théorème de bijection dans intervalle ouvert Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a;b[ alors pour tout réel k ϵ ]f(a), f(b)[ il existe un unique réel c dans ]a,b[ tel que f(c)=k. Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;+∞[ alors pour tout réel k ϵ [f(a), limx→+∞f(x)[ il existe un unique réel c dans [a,+ ∞[ tel que f(c)=k. A On procède de même avec des intervalles du type [a,b[, ]-∞,b[, … Montrer que l’équation suivante admet une unique solution dans IR : 5x3 - x2 + 2x - 3 = 0. Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

11. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. Par soucis pratique, on conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffit pour justifier l’existence et l’unicité d’une solution d’une équation du type f(x)=k. Exemple : Si on obtient un tel tableau de variation, on peut écrire : « D’après le tableau de variation et en utilisant le théorème de bijection dans les intervalles ]-∞,-1[ et [1,+ ∞[ que l’équation f(x)=-0,5 admet uniquement 2 solutions. » Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

12. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. Le théorème précédent est très pratique mais ne permet pas de trouver la solution de l’équation. Vous pouvez pour cela obtenir une valeur approchée de cette solution à l’aide de la calculatrice. 1ère méthode : à l’aide du tableur . La solution se situe donc entre 0,589 et 0,590 ce qui permet de dire que  ≈ 0,59 à 0,01 près Saisir la fonction puis F5 pour SET Mettre les paramètres Exit pour sortir F6 pour Table Descendre dans le tableau pour trouver entre quelles valeurs est la solution. Puis Exit pour revenir au menu On peut remarquer qu’un pas de 0,001 à la calculatrice permet d’obtenir une précision de seulement 0,01 pour la solution. En effet, il est impossible sans plus de précision de savoir si  est plus près de 0,589 ou de 0,590 … Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

13. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. 2ème méthode : à l’aide du tracé graphique. • Le principe est simple : • On trace la fonction f(x) = x7 + x3 + 3x -2 sur la calculatrice • - On fait plusieurs zoom (à l’aide de la fonction zoom box) à l’endroit où la courbe coupe l’axe des abscisses. Ensuite on affiche la fenêtre V-Window pour regarder entre quelles valeurs la solution se situe La solution se situe donc entre 0,5899 et 0,5900 ce qui permet de dire que  ≈ 0,590 à 0,001 près Si la précision n’est pas satisfaisante, on refait des zoom comme précédemment. Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

14. IIThéorème des valeurs intermédiaires • Le théorème • Théorème de bijection • Approximation de la solution d’une éq. 3ème méthode : outil calculatoire de la calculatrice Les calculatrices étant de plus en plus sophistiquées, il existe très souvent des fonctions intégrées qui permettent de donner des approximations des solutions d’une équation. Reste à lire le mode d’emploi pour savoir quelle précision donne la calculatrice sur ce type de calcul Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction