隨機實驗與機率理論

1. 隨機實驗與機率理論

2. Random Experiment 隨機實驗 • A process of observation that lend to a single outcome with no predictive certainty. • 隨機實驗是一種過程，是一種會發生何種結果的實驗方式。 • 雖然在實驗前正確且肯定的預知會出現何種結果，但在實驗前所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可能的結果之一。 • 可，而經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某些規則。

3. Random Experiment 隨機實驗 • EX. (1)Tossing a coin： (2)tossing a dice：

4. 名詞解釋 • Outcome(出象): • the particular result of an experiment. • 隨機實驗的每個可能的結果(又稱樣本點，sample point) • toss a fair dice 

5. 名詞解釋 • Sample space(樣本空間) • a listing of all possible outcomes for an experiment. • 一隨機實驗中，所有可能出象的集合。 • toss a coin once ： • toss a coin twice ： • toss a dice：

6. 名詞解釋 • Event (事件) • A specific collection of sample points. • 任何樣本點的組合。 • 樣本空間的任何一個子集合皆為一個event.

7. 名詞解釋 • Complement of event A (A事件的餘事件A’) • All events that are not part of a event. • 所有非A事件的集合 • ex：令A為出現偶數點者(toss a dice)

8. 名詞解釋 • Mutually exclusive events： • Collectively exhaustive events：

9. Mutually Exclusive • Events that cannot occur simultaneously. • If the events A and B have no common basic outcomes, they are mutually exclusive and their intersectionA ∩Bis said to be the empty set indicating A ∩Bcannot occur. • More generally, the K events E1, E2,…, Ek. are said to be mutually exclusive if every pair of them is a pair of mutually exclusive events.

10. 52 cards of a bridge deck • Spade（黑桃） • Club（梅花） • Diamond （方塊） • Heart（紅心） A = queen of diamonds ； B = queen of clubs 

11. Collectively Exhaustive • Given the K events E1, E2,…, Ek in the sample space S. If E1 ∪E2 ∪ … ∪ Ek=S, these events are said to be collectively exhaustive. • If E1, E2,…, Ek are collectively exhaustive, then they contain, among them, all possible outcomes in the sample space. • The set of events covers the entire sample space. • One of the events must occur.

12. Collectively Exhaustive Events • Example A = aces ； B = black cards; C = diamonds； D = hearts • Events A, B, C and D ： • Events B, C and D ： • Events A, B and D ：

13. Collectively exhaustive events mutually exclusive event. • Example ：

14. 名詞解釋 • Simple event • An outcome from a sample space with one characteristic. • 僅具備單一特性的出象。 • Ex ： • Joint event • An outcome involves twoor more characteristics simultaneous. • 事件具有兩個或以上的特性。 • Ex ：

15. 機率理論 • A probability is a measure of the likelihood that an event in the future will happen. • 三大機率理論： • 古典的機率理論 • 客觀的機率理論 • 主觀的機率理論

16. 古典的機率理論 • 古典的機率(classical probability)又稱為事前機率(prior probability) ，是假設一隨機實驗之各種可能結果出現的機會均相等(equally likely) ，亦即樣本空間內的任一樣本點出現的機會相同。 • 設樣本空間有N個樣本點，則任一簡單事件E發生之機率，以P(E)表示，定義為：

17. 古典的機率理論 • 設S為一有限的樣本空間，A為一事件，則事件A發生的機率P(A)定義為： • Example： 若樣本空間 ，包含6個樣本點。 假設A表奇數點的事件，即 ，包含3個樣本點。若以古典機率方式求解，則不論此骰子是否為公正的骰子，均視為公正，每一樣本點出現的機會均為。因此：

18. 古典的機率理論 • 上式的N值必須為有限，才有意義。因此，此法只適用於有限的樣本空間。 • 古典的機率理論必須假設N種互相排斥且有同等可能出現的出象。

19. 客觀的機率理論 • 客觀的機率或相對次數的機率(relative frequency probability)是指在長期重複的隨機實驗後，事件發生的機率為該事件發生之次數與隨機實驗的總次數之比。即一隨機實驗重複進行n次，若事件A發生n(A)次，則事件A發生的機率約為：

20. 客觀的機率理論 • 當實驗次數n越大時，事件發生的次數越趨穩定，亦即： • 此相對次數的機率是考慮長期重複實驗後較客觀的結果，故又稱為客觀的機率。 • 相對次數法的主要觀念在於，當實驗次數n趨近於無限大時，相對次數會趨近於理論上的穩定值，故可作為機率的測度數值。

21. 客觀的機率理論 • 事實上，我們無法觀測到無限多次的實驗，僅能以實際所得的相對次數做為機率的估計值。若欲使得估計值越準確，理論上告訴我們：重複實驗次數。 • 雖然以相對次數決定事件發生之機率的應用範圍很廣，但對於不能長期重複實驗之情況，則無法適用。

22. 客觀的機率理論 • Example： 投擲一公正銅板200次，結果出現正面110次，反面90次，則此銅板出現正面的估計機率為： 理論上，當投擲次數繼續增加時，出現正面的機率值應該愈來愈接近。

23. 主觀的機率理論 • 主觀的機率(subjective probability)是只對某些事件，既無法依古典求得事前機率，也不能重複實驗求出相對次數，亦即無法利用前述兩種方法時，只好憑個人的經驗或直覺，以主觀的認知來判斷事件發生的機率。 • 既然是以主觀判斷，則不同人會有不同的看法，因此事件A發生的機率可定為：  P(A)=個人對事件A發生的信賴度 • 明天會下雨的機率是多少? • 縣市長選舉的結果會是藍天還是綠地？

24. 大樂透的選號： • 從古典的機率理論來看 • 從客觀的機率理論來看 • 從主觀的機率理論來看

25. 機率的基本公理 • 上述三種機率理論的測度方式，雖然根據的觀點各不相同，但機率運算的基本性質是一致的，必須滿足一些規則，才能進行機率的演算。 • 不論是那一種機率理論，機率都必須滿足一些規則才能合乎機率的性質，才能進行機率的運算。

26. 機率的三大公理 • 在一隨機實驗中，設S表示樣本空間，A為任一事件(即S的子集) ，若P為一實數值的函數，使得P(A)為一實數值，且滿足下列三條件： (1) (2) (3) 則稱P為機率函數，P(A)為事件A發生的機率值。

27. 機率的三大公理 公理一： ，表示任一事件A若可能發生，則其機率為介於0與1之間的實數值；若事件A不發生，則其機率等於0 ；若事件A一定發生，則其機率等於1 。亦即機率為非負且不超過1的實數值。 公理二： ，表示樣本空間S本身是必定會發生的事件。

28. 機率公理 公理三： 為互斥事件，則 ，表示 為n個沒有共同元素的事件，則 發生或 發生……或 發生的機率為其個別機率之和。

29. 其他主題 • 聯合機率、邊際機率、條件機率 • 互斥事件、獨立事件 • 機率的加法與乘法 • 貝氏定理

30. 聯合機率 : Joint Probability • 兩個或兩個以上分類的事件，同時發生的機率。 • A probability of a joint event. • A and B →

31. 邊際機率 : Marginal Probability/Simple Probability • 在有2個或2個以上類別的樣本空間中，僅考慮某一類別個別發生的機率。 • P(A)= where , ,…are events.

32. 偶像團體5566

33. 聯合機率 • P() = • P() = • P() = • P() =

34. 邊際機率 • 前提條件： P()= P()= • 前提條件： P()= P()=

35. 條件機率 :Conditional Probability • 在已知事件B發生的前提之下，事件A發生的機率，稱為事件A的條件機率。 • P(A|B)=,P(B) ≠ 0 B已發生

36. P(|)= • P(AB)=

37. 聯合機率  • 條件機率 P(A|B) 

38. 互斥事件 /ME事件 • 係指兩事件沒有共同的樣本點。 • P(AB)= ，或 P(AB)=

39. 獨立事件 :Independent Events • 係指一事件的發生不會影響另一事件發生的機率。 • 若A、B事件符合下列之一，則A、B為獨立事件： (1) (2) (3)

40. 喜歡5566是否與讀過大學有關? A1與B1是否independent?

41. 互斥事件 v.s獨立事件 • 在P(A)與P(B)>0之下，A、B事件是否既為互斥事件又是獨立事件?

42. 證明：若A、B互斥，則A、B不獨立

43. 證明：若A、B獨立，則A、B事件不互斥

44. 機率的加法法則 加法法則（聯集） • P(AB)= • P(ABC)=

45. 機率的乘法法則 乘法法則（交集） • P(AB)= • P(ABC)=

46. 貝氏定理（Bayes’ Theorem） • 若已知,,…,為一樣本空間的分割集合，B為某特定事件，且已知P()與P(B|)，則在已知B事件發生之條件下，事件發生的機率P(|B)為何?

47. 從事前資訊反求 P(|B)=? 貝氏定理 • 已知P( P(B|)　　　　　 求P(| B)=? B事件

48. 分割集合 • 若,…,為一樣本空間的分割集合  • B為某一特定事件，且,…,為分割集合 則：

49. 某一聯合機率 • P(|B) = = = 邊際機率=

50. 例題1 • 某公司生產之主要產品所需之零件係由三家不同的供應商(A1、A2 、A3)供應，其供貨比例分別為50%、30%及20%，而各供應商供貨的不良率分別為1%、3%及2%。下表為各供應商所提供之零件分別為良品及不良品的條件機率。現自所有零件中抽取一個，若該零件被發現係不良品，請問該零件最可能來自於哪家供應商？