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2.5 窄带随机过程

2.5 窄带随机过程. 随机过程通过以 fc 为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度 Δf<<fc ，且 f c 远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图 2 - 6(b) 所示，它是一个频率近似为 f c ，包络和相位随机缓变的正弦波。 . 图 2-6 窄带过程的频谱和波形示意. 因此，窄带随机过程 ξ(t) 可用下式表示 :

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2.5 窄带随机过程

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Presentation Transcript

  1. 2.5窄带随机过程 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 - 6(b)所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。 

  2. 图2-6 窄带过程的频谱和波形示意

  3. 因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:  ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (2.5 - 1) 等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.5 - 2) 其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) (2.5 - 3) ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) (2.5 - 4)  式中, aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的随机包络和随机相位， ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分

  4. 量和正交分量， 它们也是随机过程， 显然它们的变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。  由式（2.5 - 1）至(2.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。

  5. 2.5.1同相和正交分量的统计特性 设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为σ2ξ。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。  1. 数学期望 对式（2.5 - 2）求数学期望: E［ξ(t)］=E［ξc(t)］cosωct-E［ξs(t)］sinωct (2.5 - 5)可得

  6. E［ξc(t)］=0 E［ξs(t)］=0 (2.5 - 6)  2. 自相关函数  Rξ(t, t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］ =E｛［ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct］ ·［ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝ =Rc(t, t+τ) cosωct cosωc(t+τ)-Rcs(t, t+τ) cosωctsinωc(t+τ) -Rsc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t, t+τ) sinωctsinωc(t+τ)

  7. 式中 Rc(t, t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］ Rcs(t, t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］ Rsc(t, t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］ Rs(t, t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］  因为ξ(t)是平稳的， 故有 Rξ(t, t+τ)=R(τ) 这就要求式（2.5 - 7）的右边也应该与t无关， 而仅与时间间隔τ有关。 若取使sinωct=0 的所有t值，则式（2.5 - 7）应变为

  8. Rξ(τ)=Rc(t, t+τ) cosωcτ-Rcs(t, t+τ)sinωcτ (2.5 - 8)  这时，显然应有  Rc(t, t+τ)=Rc(τ) Rcs(t, t+τ)=Rcs(τ) 所以，式（2.5 - 8）变为 Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ) sinωcτ (2.5 - 9) 再取使cosωct=0的所有t值，同理有 Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (2.5 - 10)

  9. 其中应有  Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ) 由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。  进一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）应同时成立， 故有 Rc(τ)=Rs(τ) (2.5 - 11) Rcs(τ)=-Rsc(τ) (2.5 - 12) 可见，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有

  10. Rcs(τ)=Rsc(-τ) 将上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc(τ)=-Rsc(-τ) (2.5 - 13) 同理可推得 Rcs(τ)=-Rcs(-τ) (2.5 - 14)  式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）说明，ξc(t)、ξs(t)的 互相关函数Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函数，在τ=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到

  11. Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)  于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16) 即σ2ξ=σ2c=σ2s (2.5 - 17) 这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。  另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有

  12. 取t=t1=0 时，ξ(t1)=ξc(t1) 取t=t2=3π2ωc时，ξ(t2)=ξs(t2) 所以ξc(t1)，ξs(t2)也是高斯随机变量，从而ξc(t)、 ξs(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5 - 15）可知，ξc(t)、 ξs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。  上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。此外， 在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。

  13. 2.5.2包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，ξc和ξs的联合概率密度函数为 f(ξc, ξs)=f(ξc)·f(ξs)= 设aξ,φξ的联合概率密度函数为f(aξ, φξ)，则利用概率论知识， 有 f(aξ, φξ)=f(ξc, ξs) 根据式（2.5 - 3）和式（2.5 - 4）在t时刻随机变量之间的关系  ξc=aξcosφξ ξs=aξsinφξ

  14. 得到 Cosφξ sinφξ -aξsinφξ aξcosφξ = 于是 f(aξ,φξ) =aξf(ξc, ξs)= 注意，这里aξ≥0, 而φξ在(0，2π)内取值。  再利用概率论中边际分布知识将f(aξ,φξ)对φξ积分， 可求得包络aξ的一维概率密度函数为

  15. 可见，aξ服从瑞利分布。  同理，f(aξ, φξ)对aξ积分可求得相位φξ的一维概率密度函数为 f(φξ)= 可见，φξ服从均匀分布。 

  16. 综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为σ2ξ的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立： f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ) (2.5 - 23)

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