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不含重路的极赋权有向图

不含重路的极赋权有向图. 李斌龙. Bollobas 和 Scott 证明了如果一个赋权有向图每个顶点的出赋权度至少为 1 ，那么它包含一条有向路权值至少为 1 。 我们描述了在上述条件下不含权重超过 1 的有向路的极图的形式。. 演讲结构. 符号和术语 问题背景 结论和证明思路 问题的延伸. 符号和术语. 一个图 G 被称为赋权图，如果 G 的每条边 e 对应一个非负实数 w ( e ) ，这一非负实数称为 e 的权。 对于 G 的一个子图 H ，定义 H 的权为. 符号和术语. 对于 G 的子图 H 和顶点 v ，定义 v 在 H 中 的赋权度为

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不含重路的极赋权有向图

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Presentation Transcript

  1. 不含重路的极赋权有向图 李斌龙

  2. Bollobas和Scott证明了如果一个赋权有向图每个顶点的出赋权度至少为1，那么它包含一条有向路权值至少为1。Bollobas和Scott证明了如果一个赋权有向图每个顶点的出赋权度至少为1，那么它包含一条有向路权值至少为1。 • 我们描述了在上述条件下不含权重超过1的有向路的极图的形式。

  3. 演讲结构 • 符号和术语 • 问题背景 • 结论和证明思路 • 问题的延伸

  4. 符号和术语 • 一个图G被称为赋权图，如果G的每条边e对应一个非负实数w(e)，这一非负实数称为e的权。 • 对于G的一个子图H，定义H的权为

  5. 符号和术语 • 对于G的子图H和顶点v，定义v在H中的赋权度为 • 简记为 。

  6. 符号和术语 • 一个非赋权图可以看作是一个每条边的赋权都为1的赋权图。因此，对于每一顶点v，w(v)=d(v),此外，它的子图的权等于其边数。

  7. 符号和术语 • 一条(x,y)-路是连接顶点x和y的一条路。 • 一条z-路是以z作为其一个端点的一条路。

  8. 符号和术语 • 一个有向图D被称为赋权有向图，如果D的每条弧a对应一个非负实数w(a)，这一非负实数称为a的权。 • 对于D的一个子图H，定义H的权为

  9. 符号和术语 • 对于D的子图H和顶点v，定义v在H中的出赋权度和入赋权度分别为 • 和 简记为 和 。

  10. 符号和术语 • 一条有向(x,y)-路是由x到y的一条有向路。

  11. 问题背景 • Dirac证明了若一个图G的最小度为d，则G包含一条路长度至少为d。 • Bondy和Fan将这个结论推广到赋权图中，并且给出了不含重路的相应的极图的形 式：

  12. 问题背景 • 定理1(Bondy和Fan)令G是一个连通赋权图，V(G)≥2，z∈V(G)，d是一实数。假设对任意顶点v∈V(G)\{z},w(v)≥d，并且对任意边e∈E(G),w(e)>0。则G包含一条z-路权值至少为d。更进一步，如果G不包含权值超过d的z-路，则对于G-z的每一分支H，(a)对任意v∈V(H), vz∈E(G),w(vz) = ;(b)对任意u,v∈V(H), uv∈E(G), w(uv) = ,其中 。

  13. 问题背景 b1 b2 b3 br Kn1 Kn2 Kn3 Knr a1 a2 a3 ar z

  14. 问题背景 • Dirac的理论可以推广到有向图上：如果一个有向图的每个顶点的出度至少为d，则它包含一条有向路长度至少为d。 • 这一结论被Bollbas和Scott推广到了赋权有向图上。如果一个赋权有向图的每个顶点的出赋权度至少为1，则它包含一条有向路权重至少为1。

  15. 问题背景 • 定理2(Bollobas和Scott)令D是一个连通的赋权有向图，V(D)≥2，z∈V(D)。假设对任意顶点v∈V(D)\{z}, ,并且有一条有向(v,z)-路。则D包含一条指向z的有向路P，使得w(P)≥1。 • 我们的目的是描述在上述定理的条件下不含指向z的权值超过1的有向路的图的形式。

  16. 结论和证明思路 • 定理3令D是一个连通的赋权有向图，V(D)≥2，z∈V(D)， 。假设对于任意顶点v∈V(D)\{z},，并且有一条有向(v,z)-路；并且对任意弧a∈A(D),w(a)>0。如果D不包含指向z的权值超过1的有向路，则对于D-z的每一分支H，(a)对任意v∈V(H), vz∈A(D),w(vz) = ;(b)对任意u,v∈V(H), uv∈A(D), w(uv) = ,其中 。

  17. 结论和证明思路 b1 b2 b3 br Kn1 Kn2 Kn3 Knr a1 a2 a3 ar z

  18. 结论和证明思路 • 应用定理3，我们可以证明下面的结论： • 定理4令D是一个连通的赋权有向图，V(D)≥2。如果对于任意顶点v∈V(D), ，并且D不包含权值超过1的有向路。则D是一个完全有向图并且每一条弧的权值为

  19. 结论和证明思路 • 在归纳过程中用到收缩的概念。 • 令D是一个有向赋权图，st∈A(D)。定义D·st为下面所述之图： V(D·st)=V(D)\{s}； A(D·st)=A(D−s)∪{rt|rs∈A(D)}；

  20. 结论和证明思路 v1 v1 v2 v2 w1 w3+w6 w1 w2 w3 v3 v3 w4 w4+w6 w6 s t t w5 v4 v4 G G·st

  21. 问题的延伸 • 在无向图中，有下面的结论： • 定理5(Bondy和Fan)令G是一个2-连通赋权图并且d是一实数，x,y∈V(G)。如果对任意顶点v∈V(G)\{x,y},w(v)≥d。则G包含一条(x,y)-路权值至少为d。

  22. 问题的延伸 • 但是这一结论不能推广到有向赋权图中。 • 假命题1令D是一个2-强连通赋权有向图并且d是一实数，x,y∈V(D)。如果对任意顶点v∈V(G)\{y},≥1;对任意顶点v∈V(G)\ {x},≥1。则G包含一条(x,y)-有向路权值至少为1。

  23. 问题的延伸 • 反例： y1 y2 y3 z x … w(yiz)= 1/k w(xyi)=1/k yk w(zyi)= 1 w(yix)= 1

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