第二章 電腦資料表示法與數字系統

1. 第二章 電腦資料表示法與數字系統 2-1 資料表示法簡介 2-2 數值表示法 2-3 數字系統介紹 2-4 數字系統轉換方式

2. 我們知道電腦與一般的電器用品一樣，都是由許多電子電路所組成，並且也透過這些連接的電子電路來傳遞訊息。 • 電腦僅能辯識電路上電流的「通」（ON）與「不通」（OFF）兩種訊號，因此使用 ”0” 或 “1” 表示電流的脈衝，”0” 代表 OFF，”1” 代表 ON。

3. 2-1 資料表示法簡介 • 不過因為電腦所處理的資料相當龐大，一個位元不夠使用，所以又將八個位元組合成一個「位元組」（byte），因為一個位元有 ”0” 與 “1” 兩種狀態，一個位元組便有 28=256 種狀態。

4. 由於中文字的字數眾多，所以無法使用一個位元組來代表一個中文字碼，而必須至少使用兩個位元組來表示（如BIG5中文編碼），因為可表示 216＝65536 個字型。 • 為了計量方便起見，我們定義了更大的儲存單位。常用的儲存單位有KB（Kilo Byte）、MB（Mega Bytes）、GB（Giga Bytes）等等，這些單位的換算關係如下： • 1KB(Kilo Bytes)＝210 Bytes＝1024Bytes • 1MB(Mega Bytes)＝220 Bytes＝1024KB • 1GB(Giga Bytes)＝230 Bytes＝1024MB • 1TB(Tera Bytes)=240 Bytes＝1024GB

5. 編碼系統簡介 • 由於電腦中的符號、字元或文字是以「位元組」（byte）為單位儲存，因此必須逐一轉換成相對應的內碼，然後電腦才能夠明瞭使用者所下達的指令，這就是編碼系統（Encoding System）的由來。在此種情形下，美國標準協會(ASA)提出了一組以7個位元（Bit）為基礎的「美國標準資訊交換碼」（American Standard Code for Information Interchange, ASCII）碼，來做為電腦中處理文字的統一編碼方式，是目前最普遍的編碼系統。

6. ASCII採用8 位元表示不同的字元，不過最左邊為核對位元，故實際上僅用到7個位元表示。也就是說ASCII碼最多可以表示27＝128個不同的字元，可以表示大小英文字母、數字、符號及各種控制字元。例如ASCII碼的字母 ”A” 編碼為1000001，字母 ”a” 編碼為1100001：

7. 後來有些電腦系統為了能夠處理更多的字元，將編碼系統擴充到8個位元，與原有的ASCII碼字元集比較之下，新的字元集有更多的圖形字元。例如由IBM所發展的「擴展式BCD碼」（Extended Binary Coded Decimal Interchange Code, EBCDIC），原理乃採用8個位元來表示不同之字元，因此EBCDIC碼最多可表示256個不同字元，比ASCII碼多表示128個字元。例如EBCDIC編碼的'A'編碼11000001，'a'編碼為10000001。如下圖所示：

8. Unicode碼 • (Unicode Technology Consortium：UTC)所制定做為支援各種國際性文字的16位元編碼系統- Unicode碼(或稱萬國碼)。在Unicode碼尚未出現前，並沒有一個編碼系統可以包含所有的字元，例如單單歐州共同體涵蓋的國家，就需要好幾種不同的編碼系統來包括歐洲語系的所有語言。Unicode跟其它編碼系統不同的地方，在於字表容納的總字數。例如國內有許多人取了「電腦打不出來」的名字，好比知名歌手陶吉吉、總統府秘書長游錫方方土，原因就是BIG5碼只能表示13000個左右的中文字，如果能夠支援Unicode碼，就不會有這樣的問題了。

9. 2-2 數值表示法 • 一般在電腦中的資料，大致可以區分為文字資料與數值資料兩種。文字資料的表示法在上節中已經說明，接下來要來介紹數值資料：

10. 整數表示法 • 對於電腦中的數值資料，使用二進位系統雖然可以正確地表示整數與小數部分，但是僅僅限於正數部分，而無法表示負數，畢竟電腦內部並無法直接使用 ”＋”或 ”－” 來表示正、負數。由於負數的表示法會影響電腦運算速度，通常電腦中的負數表示法，多半是利用「補數」的概念。 • 所謂整數，就是不帶小數點的數，範圍包括0、正整數、負整數。在電腦系統中只能以固定位數表示數字，所用的位元組（bytes）越大，儲存位數越大。通常可區分為「不帶號整數」及「帶號整數」兩種：

11. 不帶號整數 • 就是正整數，並且再儲存時不帶任何符號位元。例如一個正整數是以一個位元組（8 bits）來儲存，則共能表示28=256個數字，且數字範圍為0 ~ 255。總結來說，如果某電腦系統是以n位元來表示正整數，則可能表示的有效範圍為 0 ~ 2n-1 • 帶號整數 • 可以表示正負整數，必須利用額外的1bit來表示符號位元，符號位元為0表示為正數，如果是1則代表為負數，其他剩下的位元則表示此整數的數值。對於利用n個位元來表示帶號整數的正數範圍為（0 ~ 2n-1）

12. 至於負整數的表示，則必須從先從「補數」談起。所謂「補數」，是指兩個數字加起來等於某特定數（如十進位制即為10）時，則稱該二數互為該特定數的補數。例如3的10補數為7，同理7的10補數為3。對二進位系統而言，則有1補數系統和2補數系統兩種，敘述如下： • 1補數系統（1´s Complement） • 「1補數系統」是指如果兩數之和為1，則此兩數互為1的補數，亦即0和1互為1的補數。也就是說，打算求得二進位數的補數，只需將0變成1，1變成0即可；例如011010102的1補數為100101012。

13. 至於談到電腦內部的常用負數表示法，主要有「帶號大小值法」、「1的補數法」及「2的補數法」三種。分別介紹如下：至於談到電腦內部的常用負數表示法，主要有「帶號大小值法」、「1的補數法」及「2的補數法」三種。分別介紹如下： • 帶號大小值法 (Sign Magnitude) 若用N位元表示一個整數，最左邊一位元代表正負號，其餘N-1位元表示該數值，則此數的變化範圍在 -2N-1-1~ +2N-1-1。如果是以8個位元來表示一個整數，則最大的整數為（01111111）2＝127，而最小的負數（11111111）2＝ -127。

14. 1 ‘s 補數法（1’s Complement） 最左邊的位元同樣是表示正負號，它的正數的表示法和帶號大小值法完全相同，當表示負數時，由0變成1，而1則變成0，並得到一個二進位字串。例如我們使用8個位元來表示正負整數，那麼9=（00001001）2，則其「1 's補數」即為11110110：

15. 2’s 補數法（2’s Complement） 最左邊的位元還是符號表示位元，正數的表示法則與帶號大小值法相同，但負數的表示法是用1補數法求得，並在最後一位元上加1。基本上，「2´s補數法」的做法就是把「1´s補數法」加1即可。例如 9=（00001001）2的「1´s補數」為（11110110）2，其「2’s補數」則為（11110111）2：

16. 定點數表示法 • 在電腦中的小數表示法可分為定點數與浮點數表示法兩種。兩者的差別在於小數點的位置，對於正負整數而言，定點數表示法小數點位置固定在右邊，而且不會因為電腦種類的不同而有差別，例如 16.8、0.2387等

17. 浮點數表示法 • 浮點數就是包含小數點的指數型數值表示法，或稱為「科學符號表示法」。而浮點數表示法的小數點位置則取決於精確度及數值而定，另外不同電腦型態的浮點數表示法也有所不同。想要表示電腦內部的浮點數必須先以正規化(Normalized Form)為其優先步驟。 假設一數N能化成以下格式： • N=0.F*be，其中 • F：小數部份 • e：指數部份 • b：基底

18. 至於在電腦內部的浮點數表示式，可用下圖來表示：至於在電腦內部的浮點數表示式，可用下圖來表示： • 例如(13.25)=(0.110101)×24 ，存入電腦的儲存格式如下：

19. 2-3 數字系統介紹 • 人類慣用的數字觀念，就是以逢十進位的10進位來計量。也就是使用0、1、2、…9十個數字做為計量的符號，不過在電腦系統中，卻是以0、1所代表的二進位系統為主，但是如果這個2進位數很大時，閱讀及書寫上都相當困難。因此為了更方便起見，又提出了八進位及十六進位系統，請看以下的圖表說明：

21. 二進位系統 • 所謂「二進位系統」，就是在這個系統下只有0與1兩種符號，以2為基數，並且逢2 進位，在此系統中，任何數字都必須以0或1來表示。例如十進位系統的3，在二進位系統則表示為112。 310=1*21+1*20=112

22. 十進位系統 • 「十進位系統」是人類最常使用的數字系統，以10為基數且逢十進位，其基本符號有0、1、2、3、4…8、9共10種，例如9876、12345、534都是10進位系統的表示法。

23. 八進位系統 • 八進位系統是以8為基數，基本符號為0，1，2，3，4，5，6，7，並且逢8進位的數字系統。例如十進位系統的87，在八進位系統中可以表示為1278。 1278=1*82+2*81+7=64+16+7=8710

24. 十六進位系統 • 十六進位系統是一套以16為基數，而且逢十六進位的數字系統，其基本組成符號為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F共十六種。其中A代表十進位的10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15： A1816=10*162+1*161+8*160=258410

25. 2-4 數字系統轉換方式 • 由於電腦內部是以二進位系統方式來處理資料，而人類則是以十進位系統來處理日常運算，當然有些資料也會利用八進位或十進位系統表示。因此當各位認識了以上數字系統後，也要了解它們彼此間的轉換方式

26. 非十進位轉成十進位 • 「非十進位轉成十進位」的基本原則是將整數與小數分開處理。例如二進位轉換成十進位，可將整數部份以2進位數值乘上相對的2正次方值，例如二進位整數右邊第一位的值乘以20，往左算起第二位的值乘以21，依此類推，最後再加總起來。 • 至於小數的部份，則以2進位數值乘上相對的2 負次方值，例如小數點右邊第一位的值乘以2-1，往右算起第二位的值乘以2-2，依此類推，最後再加總起來。至於八進位、十六進位轉換成十進位的方法都相當類似。

27. 0.112=1*2-1+1*2-2=0.5+0.25=0.7510 11.1012=1*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=3.87510 128=1*81+2*80=10 163.78=1*82+6*81+3*80+7*8-1=115.87510 A1D16=A*162+1*161+D*160 =10*162+1*16+13 =258910 AC.216 =A*161 + C * 16 0 + 2 * 16 - 1 =10*161+12+0.125 =172.12510

29. 十進位轉換成非十進位 • 轉換的方式可以分為整數與小數兩部份來處理，我們利用以下範例來為各位說明： • (1). 十進位轉換成二進位 6310=1111112

30. (0.625)10=(0.101)2

31. (12.75)10＝(12) 10＋(0.75) 10 其中(12)10＝11002 (0.75)10＝(0.11)2 所以(12.75)10＝(12) 10＋(0.75) 10 ＝11002＋0.11 ＝1100.112

32. (2). 十進位轉換成八進位 6310＝(77)8 (0.75)10＝(0.6)8

33. (3). 十進位轉換成十六進位 (63)10＝(3F)16 (0.62890625)10＝(0.A1)16

34. 120.510＝(120) 10＋(0.5) 10 其中 (120) 10＝(78)16 (0.5) 10＝(0.8)16

35. 非十進位轉換成非十進位 • 如果打算從非十進位轉換另一種非十進位的方式，也相當容易，方法有兩種。第一種方法是只要先行將其中一個非十進位轉換為十進位制，再依照前述兩節方式轉換即可，例如我們將 (156)8轉換成2進位與16進位：

36. (1). 二進位→八進位 首先請將二進位的數字，以小數點為基準，小數點左側的整數部份由右向左，每三位打一逗點，不足三位則請在其左側補足0。小數右側的小數部份由左向右，每三位打一逗點，不足三位則請在其右側補足0，接著將每三位二進數字換成八進位數字，即成八進制。例如將10101110111011.01010112換算成八進位： 10,101,110,111,011.010,101,1 依上述原則補0，3個3個一組 分別轉換或8進位 25673.254

37. (2). 二進位→十六進位 將二進位的數字，以小數點為基準，小數點左側的整數部分由右向左，每四位打上一個逗點，不足四位則請在其左側補足0。小數點右側的小數部分由左向右，每四位打一個逗點，不足四位則請在其右側補足0。接著把每四位二進數字，換成十六進位數字，即成十六進制。例如將10101110111011.01010112換算成十六進位： 10,1011,1011,1011,0101,011 依上述原則補0，每4個一組 2BBB.5616