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概率论与数理统计

概率论与数理统计. 经管 02 级 2003.10.9. 用. 数学期望与方差. 预备知识： Γ 函数的定义等；. 常见随机变量的数学期望 ;. 随机变量数学期望的性质 ;. 方差的定义、求法、常见随机变量的方差；. 小结、作业。. 定义：. 3 、 Γ(1/2)= 4 、与阶乘的关系 Γ(n+1)=n! (n 非负整数）. Γ 函数的简介. 性质： 1 、递推 Γ(α+1)=αΓ(α) α>0. 2 、余元 Γ(α)Γ(1-α)=π/sinαπ

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Presentation Transcript

  1. 概率论与数理统计 经管02级 2003.10.9.用

  2. 数学期望与方差 预备知识：Γ函数的定义等； 常见随机变量的数学期望; 随机变量数学期望的性质; 方差的定义、求法、常见随机变量的方差； 小结、作业。

  3. 定义： • 3、Γ(1/2)= • 4、与阶乘的关系Γ(n+1)=n! (n非负整数） Γ函数的简介 • 性质： • 1、递推Γ(α+1)=αΓ(α) α>0 • 2、余元Γ(α)Γ(1-α)=π/sinαπ (0<α<1)

  4. Γ函数的递推公式 Γ(α+1)=αΓ(α) α>0

  5. 两个组合公式

  6. 随机变量的数学期望 • 如P(X=xi)=p(xi) (i=1,2,...)是r.v.X的分布列,和Σp(xi)xi绝对收敛,则称该级数之和Σp(xi)xi为X的数学期望; • 如p(x)是随机变量X的概率密度函数，积分 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望; • 几个常见的随机变量的数学期望.

  7. X～B(n,p),P(X=k)= ,由定义： 二项分布的期望

  8. 几何分布的期望 X～G(p),P(X=k)=pqk-1,由定义： 这里用了函数项级数逐项求导。

  9. 泊松分布的期望 X～P(λ),P(X=k)=λke-λ/k!,由定义：

  10. 均匀分布的期望 X～U[a,b],p(x)=1/(b-a) a≤x≤b,由定义：

  11. 指数分布的期望 X～E(λ),p(x)=λe-λx x>0,由定义：

  12. 正态分布的期望 X～N(μ,σ2),p(x)=……,由定义： 奇函数

  13. 数学期望的性质 • 常数的期望：Ec=c • 随机变量常数倍的期望:EaX=aEX • 线性性：E(aX+b)=aEX+b • 可加性：E(X±Y)=EX±EY • 可乘性：E(X*Y)=EX*EY ???? • 如X与Y独立,则可乘性: E(X*Y)=EX*EY

  14. 方差的定义及计算 • 定义：DX=E(X-EX)2 = EX2-(EX)2 • 常数的方差：Dc=0 • 随机变量常数倍的方差：DaX=a2DX • 线性性：D(aX+b)=a2DX • 可加性：D(X±Y)=DX±DY ??? • 可乘性：D(X*Y)=DX*DY ??？ • 如X与Y独立，则可加性： D(X±Y)=DX+DY

  15. 二项分布的方差 X～B(n,p),P(X=k)=Cnkpkqn-k,EX=np：

  16. X X X

  17. 用Excle解数学问题 • 电子表格 • 公式的应用 • 单元格的引用 • 相对引用 • 绝对引用 • 混合引用

  18. 用Excle解概率问题 • 算古典概型的问题 • 算几何概型的问题 • 全概率公式的应用 • 逆概率公式的应用 • 离散型随机变量的问题 • 连续型随机变量的问题 • 分布列、求和

  19. 用Excle求排列组合 • PERMUT(总数，取的个数) • COMBIN(总数，取的个数) • SUM(单元格列表) • AVERAGE(单元格列表) • 使用公式的问题 • 使用“帮助”的问题

  20. 用Excle求概率分布 • 二项分布B(n,p) • 几何分布G(p) • 泊松分布 P(λ) • 均匀分布U[a,b] • 指数分布E(λ) • 正态分布N(μ,σ2)

  21. 二项分布的表 • 二项分布X~B(n,p)分布列 pk=Cnkpkqn-k(k=0,1,..,n) • 分布列/分布函数(Excel)： =BINOMDIST(k,n,p,false/true)

  22. 几何分布的表 • 几何分布X~G(p),分布列 pk=pqk-1(k=1,2,...) • 分布列/分布函数Excel中没有专门函数，分布列可以用公式=p*q^(k-1); 分布函数可以用SUM函数

  23. 泊松分布的表 • 泊松分布X~P(λ) pk=λke-λ/k!(k=0,1,2,...) • 分布列/分布函数(Excel)： =POISSON(k,λ,false/true)

  24. 指数分布的表 • 指数分布X~E(λ),p.d.f p(x)= λ e-λx (x>0) • 概率密度函数/分布函数(Excel)： =EXPONDIST(x,λ,false/true)

  25. 正态分布的表 • 正态分布X~N(μ,σ2),p.d.f • 概率密度函数/分布函数(Excel)： =NORMDIST(x,μ,σ,false/true)

  26. 标准正态分布的表 • 标准正态分布X~N(0,1),p.d.f • 分布函数(Excel)：Φ(x) =NORMSDIST(x)

  27. 习题 P.67-68习题二 17 , 19 *25 , *28

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