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高 等 数 学. 梅挺 主编 中国水利水电出版社. 第 5 章 多元函数微积分. 主要内容 : 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分. 一、空间几何简介. 1 、空间直角坐标系. 规定：. 通常：. 另外. 规定：. 如下图：. Ⅲ. 坐标面 yOz. Ⅱ. Ⅰ. 坐标面 zOx. Ⅳ. Ⅵ. Ⅶ. 坐标面 xOy. Ⅴ. Ⅷ. 点的坐标. 反之，. 规律：.
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高 等 数 学 梅挺 主编 中国水利水电出版社
第5章 多元函数微积分 • 主要内容: • 一、空间几何简介 • 二、多元函数 • 三、偏导数与全微分 • 四、多元复合函数与隐函数求导法则 • 五、多元函数极值 • 六、二重积分
一、空间几何简介 1、空间直角坐标系 规定：
另外 规定： 如下图：
Ⅲ 坐标面yOz Ⅱ Ⅰ 坐标面zOx Ⅳ Ⅵ Ⅶ 坐标面xOy Ⅴ Ⅷ
规律： Ⅰ（+，+，+） Ⅱ（-，+，+） Ⅲ（-，-，+） Ⅳ（+，-，+） Ⅴ（+，+，-） Ⅵ（+，-，+） Ⅶ（-，-，-） Ⅷ（+，-，-）
2、空间任意两点间的距离 定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离.
z P2 P1 A B y 特别地，任一点 与原点 的距离为： x 由图： 根据平面上两点间的距离 公式可知： 从而有： 此即为空间任意两点间的距离公式.
例1 证明：
例2 解
3、曲面与方程 定义：
例3 求与两定点 和 等距离点的 轨迹方程. 解：设与点 和 等距离的点为 依题意有 ，由空间两点间的距离公式得： 化简得：
可以证明，所有空间平面都可以用三元一 次方程表示； 反过来，任何一个三元一次方程的图形都 是空间的一个平面。 由此称三元一次方程： 为平面的一般式方程。
以点 为球心，以R为半径的球面 方程为： 方程 表示椭圆柱面，当 a=b=R 时， 中不含z，即z可任取，在空间直角 坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面. 1）球面方程： • 几种常见的曲面方程： 2）椭圆柱面：
3）椭圆抛物面： 4）圆锥面： 5）双曲抛物面： 6）双曲柱面： 7）抛物柱面：
二、多元函数 • 1、多元函数的概念
自变量的取值称为定义域； 对应的函数值的集合称为值域。
★注意 其定义域： 类似地， 由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与 二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数。 并先介绍一些相关概念。
把以点 为圆心， 为半径的 圆内所有的点 组成的区域称为点 的邻域，记为 区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域. 边界：围成区域的曲线称为边界. 邻域： 内点：若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D， 则称点 p 为区域 D 的内点.
外点：若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ，则称点 p 为区域 D 的外点. 边界点：若点 p 的任一个邻域内的点，既有属 于区域 D 的点，又有不属于区域 D 的 点，则称点 p 为区域 D 的边界点. 闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域. 开区域：只有内点组成的区域称为开区域.
求函数 的定义域. 例4 解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式： 即： 所以，其定义域D为：
求函数 的定义域. 例5 解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式组： 所以，其定义域D为：
处的函数值为： 函数z在点 处的函数值为： 函数z在点 例6 解：
2、二元函数的极限与连续性 1）二元函数的极限
★注意 1）上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推 广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广 到二元函数. 3）上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以 用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要有两条 路径极限不同，该函数极限就不存在.
求 例7 解：一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化 的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算。
例8 （待续）
二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质，二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质， 如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函 数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等。 因此，要求多元初等函数在其定义域内任一点处 的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可。
求极限 例9 解：
三、偏导数与全微分 • 1、偏导数
计算方法： 显然， 一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元 函数求偏导数。
例10 解 （待续）
（续） 法二
等为一整体记号，不象 可视为分子分母之商． 例11 解 ★注意
例12 解
可导与连续的关系： 因为：
如： 又如：
2、高偏导数 定义：
例13 解
