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高 等 数 学

高 等 数 学. 梅挺 主编 中国水利水电出版社. 第 5 章 多元函数微积分. 主要内容 : 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分. 一、空间几何简介. 1 、空间直角坐标系. 规定:. 通常:. 另外. 规定:. 如下图:. Ⅲ. 坐标面 yOz. Ⅱ. Ⅰ. 坐标面 zOx. Ⅳ. Ⅵ. Ⅶ. 坐标面 xOy. Ⅴ. Ⅷ. 点的坐标. 反之,. 规律:.

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  1. 高 等 数 学 梅挺 主编 中国水利水电出版社

  2. 第5章 多元函数微积分 • 主要内容: • 一、空间几何简介 • 二、多元函数 • 三、偏导数与全微分 • 四、多元复合函数与隐函数求导法则 • 五、多元函数极值 • 六、二重积分

  3. 一、空间几何简介 1、空间直角坐标系 规定:

  4. 通常:

  5. 另外 规定: 如下图:

  6. 坐标面yOz Ⅱ Ⅰ 坐标面zOx Ⅳ Ⅵ Ⅶ 坐标面xOy Ⅴ Ⅷ

  7. 点的坐标

  8. 反之,

  9. 规律: Ⅰ(+,+,+) Ⅱ(-,+,+) Ⅲ(-,-,+) Ⅳ(+,-,+) Ⅴ(+,+,-) Ⅵ(+,-,+) Ⅶ(-,-,-) Ⅷ(+,-,-)

  10. 2、空间任意两点间的距离 定义了空间点的坐标,就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离.

  11. z P2 P1 A B y 特别地,任一点 与原点 的距离为: x 由图: 根据平面上两点间的距离 公式可知: 从而有: 此即为空间任意两点间的距离公式.

  12. 例1 证明:

  13. 例2

  14. 3、曲面与方程 定义:

  15. 例3 求与两定点 和 等距离点的 轨迹方程. 解:设与点 和 等距离的点为 依题意有 ,由空间两点间的距离公式得: 化简得:

  16. 可以证明,所有空间平面都可以用三元一 次方程表示; 反过来,任何一个三元一次方程的图形都 是空间的一个平面。 由此称三元一次方程: 为平面的一般式方程。

  17. 以点 为球心,以R为半径的球面 方程为: 方程 表示椭圆柱面,当 a=b=R 时, 中不含z,即z可任取,在空间直角 坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面. 1)球面方程: • 几种常见的曲面方程: 2)椭圆柱面:

  18. 3)椭圆抛物面: 4)圆锥面: 5)双曲抛物面: 6)双曲柱面: 7)抛物柱面:

  19. 二、多元函数 • 1、多元函数的概念

  20. 自变量的取值称为定义域; 对应的函数值的集合称为值域。

  21. ★注意 其定义域: 类似地, 由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与 二元函数完全相似,所以,在此主要研究二元函数。 并先介绍一些相关概念。

  22. 把以点 为圆心, 为半径的 圆内所有的点 组成的区域称为点 的邻域,记为 区域:由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域. 边界:围成区域的曲线称为边界. 邻域: 内点:若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D, 则称点 p 为区域 D 的内点.

  23. 外点:若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ,则称点 p 为区域 D 的外点. 边界点:若点 p 的任一个邻域内的点,既有属 于区域 D 的点,又有不属于区域 D 的 点,则称点 p 为区域 D 的边界点. 闭区域:由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域. 开区域:只有内点组成的区域称为开区域.

  24. 求函数 的定义域. 例4 解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足 不等式: 即: 所以,其定义域D为:

  25. 求函数 的定义域. 例5 解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足 不等式组: 所以,其定义域D为:

  26. 处的函数值为: 函数z在点 处的函数值为: 函数z在点 例6 解:

  27. 二元函数的几何意义:

  28. 2、二元函数的极限与连续性 1)二元函数的极限

  29. ★注意 1)上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推 广,所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广 到二元函数. 3)上述极限定义不能用以求二元函数的极限,但可以 用该定义判定二元函数的极限不存在,即:只要有两条 路径极限不同,该函数极限就不存在.

  30. 例7 解:一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化 的方法,该方法也适用于二元函数求极限的运算。

  31. 例8 (待续)

  32. (续)

  33. 2)二元函数的连续性

  34. 二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质, 如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函 数;多元初等函数在其定义域内是连续函数等。 因此,要求多元初等函数在其定义域内任一点处 的极限值,只需要求出函数在该点的函数值即可。

  35. 求极限 例9 解:

  36. 三、偏导数与全微分 • 1、偏导数

  37. 计算方法: 显然, 一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元 函数求偏导数。

  38. 例10 解 (待续)

  39. (续) 法二

  40. 等为一整体记号,不象 可视为分子分母之商. 例11 解 ★注意

  41. 例12

  42. 几何意义

  43. ★注意

  44. 可导与连续的关系: 因为:

  45. 如: 又如:

  46. 2、高偏导数 定义:

  47. 例13

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