Bölüm 3: Sayısal Türev

1. Bölüm 3: Sayısal Türev • BirinciTürev: Bir f(x) fonksiyonunun [a,b] tanım aralığında bir x noktasındaki türevi, • Limit ifadesiyle tanımlanır. Eğer f(x)’in analitik ifadesi biliniyorsa, türevi içinde analitik bir ifade bulunabilir. Bu analitik türev alma işlemi bazen çok karmaşık olabilir. Sayısal türevde, • f(x) fonksiyonu, eşit h aralıklarıyla sıralanmış xi noktalarında verilmiş olsun. • ve • h : adım uzunluğu • Burada xi noktasındaki türevi için sayısal hesaplamaya uygun yaklaşık bir ifade bulmak istiyoruz. Bunun için, fonksiyonun xi civarında Taylor açılımını yazalım:

2. Bu ifade h değeriyle orantılı bir katkı sağlar Bu durumda, h mertebesinde bir hata ile sayısal türev ifadesi şöyle olur. (İleri farklı 1. türev) Benzer şekilde geri fark ifadesi de hesaplanabilir: Bunun için f(xi-h)’nın Taylor açılımını yazarsak, (Geri fark 1. türevi) İleri ve geri fark türevlerinde hata payı h ile orantılıdır.

3. Şekil3.1: Birinci türev için ileriye doğru yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.

4. Şekil3.2: Birinci türev için geriye yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.

5. Daha iyi bir ifade bulmak için ileri ve geri Taylor açılımlarının farkını alalım: h2 ile orantılı 2.türev terimleri birbirini götürmüştür. h2 mertebesinde bir hatayla, (Simetrik farklı 1. türev) H adım uzunluğu küçüldükçe O(h2) hata payı çok daha hızlı küçülür. Bundan dolayı, simetrik türev ifadesi ileri farklı türevden daha iyi sonuç verir.

6. Şekil3.3: Birinci türev için simetrik fark yaklaştırmasını grafiksel gösterimi.

7. İkinci Türev: İkinci türev için, ileri ve geri farklı ifadeler, f(xi±h) ve f(xi±2h) noktalarındaki Taylor açılımlarından elde edilir. Benzer şekilde işlem yapılırsa; Birinci türevi yok etmek için (xi+h) etrafında açılan Taylor açılımını 2 ile çarpıp f(xi+2h)’dan çıkarırsak; (İleri farklı ikinci türev) (Geri farklı ikinci türev) Bu ifadelerden görüldüğü gibi, aynı sayıda nokta kullanıldığı halde, simetrik farklı ifadenin hata payı daha küçük olmaktadır.

8. Adım uzunluğunun etkisi: İleri, Geri ve Simetrik farklı 1.türev ifadelerinde hata payı O(h) veya O(h2) ile orantılı olduğundan, büyük h değerleri seçilirse, hata büyük olacaktır. O halde yeterince küçük bir h değeri seçilmelidir. • h’nın seçilme kuralı: [a,b] aralığındaki bir fonksiyon için bu aralık 1/100 veya 1/1000 kadar büyüklükte bir h değeri yeterli olur. • Daha küçük h değerleri seçilirse, bu kez kesme hataları ortaya çıkar. • Bu etkiyi görebilmek için, değişik h değerleri için aynı bir noktada türev ifadesinin nasıl değiştiğini inceleyebiliriz. • Örneğin, f(x)=ex fonksiyonunun x=1 noktasındaki simetrik 1.türev ifadesini, h=0.1 değerinden başlayıp, adım uzunluğu her defasında 10 kez azaltarak 12 kez hesaplayınız.