第 10 章 线性动态电路的时域分析

1. 第10章 线性动态电路的时域分析

2. 第10章 线性动态电路的时域分析 • 10.1 动态电路分析的经典方法 • 10.2 电路的初始条件 • 10.3 一阶电路的响应 • 10.4 阶跃函数与阶跃响应 • 10.5 冲激函数与冲激响应 • 10.6 二阶电路的零输入响应 • 10.7 二阶电路的零状态响应和全响应 • 10.8 二阶电路的阶跃响应与冲激响应

3. 本章要求 1.掌握动态电路的方程的建立方法，及其初始条件的确定； 2.理解一阶电路响应经典分析法，熟练掌握三要素法求解一阶电路的响应； 3.初步掌握二阶电路响应的求解过程； 4.理解电路的阶跃响应和冲激响应及求解方法。

4. 10.1 动态电路分析的经典方法 1. 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 2 动态电路的时域分析法 也称为经典法。是应用KCL，KVL，以及元件VCR建立微分方程，求解微分方程的方法。 例 RC电路 t＝0时将开关闭合，现讨论t≥0时电容的电压uC(t)。

5. 应用KVL和电容的VCR得： RL电路 应用KVL和电感的VCR得：

6. 有源 电阻 电路 一个动 态元件 结论： 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。 RLC电路 应用KVL和元件的VCR得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。

7. 结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数； 即电路中有n个动态元件，描述电路的方程是n阶微分方程。 解所得的微分方程，就可以得出电压和电流的表达式

8. uc US t 0 t1 10.2 电路的初始条件 例 RC电路 1）过渡过程 1 几个概念 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 设S 闭合前，电路处于稳定状态 i = 0 , uC = 0 ? S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态 初始状态 新稳态 过渡状态

9. 开关的通断；支路接入或断开 电路参数变化；激励源改变等等。 2）换路 电路结构、状态发生变化 换路是在瞬间完成，假设 t = 0时发生换路，规定： t = 0－ 表示换路前的最终时刻 表示换路后的最初时刻 t = 0+ 换路经历的时间： 0－ 到 0+ 3）初始条件 也称初始值，指电路所求的变量（电压或电流）及其一阶至（n－1）阶导数在t＝0＋时的值。 电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。

10. 2 换路计算的规律 • 电容的初始条件 结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 当iC()为有限值时

11. 若uC(0＋) = uC(0－) = U0 ，在换路瞬间（ t = 0+）电容可用一个电压值为 U0的电压源替代 若uC(0＋) = uC(0－) = 0在换路瞬间电容相当于短路 • 电感的初始条件 当uL()为有限值时

12. 结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 若iL(0＋) = iL(0－) = I0在换路瞬间电感可用一个电流值为 I0的电流源替代 若　iL(0＋) = iL(0－) = 0在换路瞬间电感相当于开路

13. qc (0+) = qc(0－) uC(0+) = uC(0－) L(0+)= L(0－) iL(0+)= iL(0－) • 换路定则 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 • 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 注意： • 换路定律反映了能量不能跃变。

14. 电路初始值的确定 求初始值的一般步骤： （1）由换路前t＝0-时刻的电路（一般为稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)； （2）由换路定律得uC (0+)和iL(0+)； （3）画t=0＋时刻的等效电路，电容用电压源替代，电感用电流源替代（取0＋时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）； （4）由 t=0＋电路求所需各变量的0＋值。

15. 【例10.1】 如图电路，已知 。在t＜0时处于稳态， t=0时闭合开关，求电阻电流iR(0+)电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+)。 解：直流电路处于稳态时，视电容为开路，电感为短路。 (1) 由0－电路求 uC(0－)、iL( 0－) (2) 由换路定律得

16. (3) 由0+电路求 iC(0+)、uL( 0+)、 iR(0+) 电感用电流源替代 电容用电压源替代 可见，电感电压在换路瞬间发生了跃变，即

17. 10.3 一阶电路的响应 1 一阶电路的零输入响应 • 把换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流，称为动态电路的零输入响应 • RC电路的零输入响应 开关 S 闭合前，电容 C 电压uC = U0 。分析开关闭合后各元件上的电压和电流。 换路后： uR= Ri

18. RCp+1=0 特征方程 特征根 则 代入上式 令通解 得 代入初始值uC(0+)=uC(0－)=U0 A=U0

19. 或 （1）从以上各式可以得出： 电压uC，电流i都是随时间按照同一指数规律衰减的 。

20. （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 令 =RC , 为一阶RC电路的时间常数，单位【S】 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 大→过渡过程时间长  小→过渡过程时间短 物理含义 电压初值一定： C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大 放电时间长 R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小

21.  2 t 5 3 4 U0 e－5 = e－1 U0 e－4 = 0.0068U0 U0 e－2 = e－1 U0 e－1 = 0.135U0 U0 e－4 = e－1 U0 e－3 = 0.0184U0 U0 e－3 = e－1 U0 e－2 = 0.05U0 uC = U0e－t / U0 e－1 = 0.368U0 • 每经过时间 ，电容电压衰减至原值的 36.8% • 经过 3～5，电容电压衰减至初始值的5% ～0.68%，可认为过渡过程基本结束。

22. （3）能量关系： 电阻吸收（消耗）能量： 电容放出能量： 电容不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。

23. 令 得 特征根 • RL电路的零输入响应 特征方程 Lp+R=0 由初始值得 A= iL(0+)= I0

24. （1）从以上各式可以得出： 电压uL，电流iL都是随时间按照同一指数规律衰减的 。

25. （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关； 令 =L/R , 为一阶RL电路的时间常数，单位【S】 大→过渡过程时间长 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短  小→过渡过程时间短 物理含义 电流初值一定： L大（R一定） W=Li2/2起始能量大 放电时间长 R 小（ L一定） p =i2R放电过程消耗能量小

26. （3）能量关系： 电阻吸收（消耗）能量： 电感放出能量： 电感不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。

27. N0 Req C R C • 一阶电路的零输入响应解的一般公式 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 RC电路： uC(0+) = uC(0－)  = R C RL电路 iL(0+)= iL(0－)  = L/R 注意：R为换路后与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 R=Req

28. 【例10-2】如图电路，电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解：这是一个求一阶RC零输入响应问题 换路后与电容相连的一端口电路的等效电阻 时间常数

29. 或 由分流公式得

30. 【例10.3】图示电路原来处于稳态，t=0时打开开关，求t＞0 后电压表的电压随时间变化的规律。已知R=10Ω，L=4H，电压表内阻为RV=10kΩ，电压表量程为50V。 解：电感电流的初值为 iL (0+) = iL(0－) = 1 A 造成电压表的损坏

31. 2 一阶电路的零状态响应 动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产生的响应。 • RC电路的零状态响应 开关 S 闭合前，电容 C 电压uC = 0。分析开关闭合后各元件上的电压和电流。 换路后： uR= Ri

32. 特解（强制分量） 的特解 通解（自由分量，暂态分量） 的通解 非齐次线性常微分方程 解答形式为： 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解 变化规律由电路参数和结构决定

33. 全解 由初始条件 uC (0+)= uC (0-) =0定积分常数 A A= － US uC (0+)=US+A= 0 • 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；

34. 电容电压由两部分构成： 暂态分量（自由分量） 稳态分量（强制分量） + uC( ∞ ) = Us • 响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。

35. + R US C - • 响应与外加激励成线性关系； • 能量关系 电源提供能量： 电阻消耗能量： 电容储存能量： 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。

36. 一般情况下：

37. 【例10.6】图中开关S打开以前电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求(1)在【例10.6】图中开关S打开以前电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求(1)在 时的 ；(2)电流源发出的功率。 解：开关S原闭合 电路为零状态响应 求 的等效电路 所以

38. 电流源发出的功率为

39. RL电路的零状态响应 已知，电路方程为： 时间常数：

40. 求解 iL的一般公式为: 【例10.5】图示电路中，t=0时，开关S闭合，求iL(t)和i(t) 解：开关S闭合前 电路为零状态响应

41. 【例10.5】图示电路中，t=0时，开关S闭合，求iL(t)和i(t) 求 的等效电路

42. 【例10.5】图示电路中，t=0时，开关S闭合，求iL(t)和i(t)

43. 一阶电路的零状态响应解的一般公式 恒定激励下零状态电路的过渡过程实际上是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过程。 电路中表达电容和电感的储能状态的变量uC或iL都是从零值按指数规律逐渐增长到稳态值 uC (t)或iL (t)的零状态响应一般表达式可以表示为 稳态值f(∞)可以从t=∞时电容相当于开路，电感相当于短路的等效电路来求取 电路的时间常数 或 Req为与动态元件相连的一端口电路的戴维南等效电阻。

44. 3 一阶电路的全响应 换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。 1）直流激励下的全响应 t=0时，开关 S 闭合，电路微分方程 则 解答为： uC(t) = uC' + uC" 又 特解 uC' = US 通解  = RC

45. 2） 全响应的分解方式一 + 强制分量(稳态分量) 自由分量(暂态分量) 3） 全响应的分解方式二 + 零输入响应 零状态响应

46. 4）uC的波形图 5）RL电路的分析与RC电路的相似

47. 【例10.7】图示电路原已处于稳定状态，t=0时打开开关S，求t＞0后的电感电流iL和电压uL。 解：这是一个一阶RL电路全响应问题，电感电流的初始值为 零状态响应为 零输入响应为 全响应为

48. 4 三要素法 一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 特解 其解答一般形式为： 令 t = 0+ 直流激励时：

49. 一阶电路在直流激励下，响应的表达式： f ( t ) = f (∞) + [ f (0+) － f (∞) ]e－ t/t > 0 用0+等效电路求解 f (0+) —— 初始值 用t→的稳态电路求解 f (∞) —— 特解，稳态解 用t>0 的电路求解 —— 时间常数 注意：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。 f (0+) =0 f ( t ) = f (∞) + (1 － e－ t/) t > 0 零状态响应 零输入响应 f ( t ) = f (0+) e－ t/t > 0 f (∞) = 0 f (0+) ≠0 ， 全响应 f (∞) ≠ 0

50. 【例10.8】图示电路中开关S打开以前电路已处于稳态，t=0时开关S打开。用三要素法求在【例10.8】图示电路中开关S打开以前电路已处于稳态，t=0时开关S打开。用三要素法求在 时的 和 解：t=0-时，电路为 t=∞时，电路为