Punkthinnangud

1. Punkthinnangud

2. Matemaatilise statistika ülesanne Matemaatiline statistika on teadus, mis käsitleb katse- või vaatlusandmete kogumise, klassifitseerimise ja oluliste karakteristikute hindamise meetodeid. Matemaatiline statistika ülesanded: • Juhusliku suuruse X mõõtmise käigus on saadud sõltumatud tulemused x1, x2, ... , xn. Nende tulemuste põhjal tuleb hinnata selle juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni F(x). • Jaotuse parameetrite hindamine: Valimi põhjal tuleb otsustada, millised on üldkogumi jaotust iseloomustava jaotusfunktsiooni parameetrid. Näiteks normaaljaotuse korral tuleb hinnata keskväärtust ja standardhälvet (dispersiooni). • Statistiliste hüpoteeside kontrollimine

3. Tunnused Katsel jälgitakse tavaliselt juhuslikke suurusi , mis väljendavad uuritava nähtuse omadusi ning avalduvad reeglina mõõtmis- või vaatlustulemustena. Neid omadusi nimetatakse tunnusteks. Katsel registreeritavad tunnused võivad olla kvalitatiivsed või kvantitatiivsed. Kvalitatiivsel tunnusel ei ole arvulisi näitajaid. Näiteks võib katsel kontroll-lamp süttida või mitte. Inimese silmade värv võib olla pruun, sinine, roheline, ... Kvantitatiivse tunnuse puhul saab katse käigus alati arvulise näitaja. Näiteks taevakeha heleduse mõõtmise tulemus, reisijate arv lennukis, saavutatud koht võistlustel jne.

4. Tunnuste mõõtmisskaalad (I) Nominaalskaala koosneb üksteisest sõltumatutest klassidest, mida ei saa loogiliselt järjestada (rahvus, eriala, mullatüüp, elektrilaengu polaarsus (“+” või “-”) ...). Kasutatakse kvalitatiivsete tunnuste mõõtmiseks. Statistilise töötlemise võimalused on küllalt piiratud. Nominaalskaala kasutamise korral nimetatakse mõõtmist tavaliselt klassifitseerimiseks. Ordinaalskaala koosneb erinevatest klassidest, mida on võimalik järjestada. Näiteks eksamitulemus “puudulik”, “kasin”, ..., “suurepärane”; küsitlustulemused “vastu”, “pigem vastu kui poolt”, ..., “poolt”, Beauforti tuule tugevuse skaala. Ordinaalskaalat kasutatakse kvalitatiivsete tunnuste mõõtmiseks. Intervallskaala määrab üksikute mõõtmistulemuste vahelise kauguse, kusjuures fikseeritud nullpunkti ei eksisteeri ning suhtarve ei saa moodustada (näiteks temperatuur Celsiuse või Fahrenheiti kraadides).

5. Tunnuste mõõtmisskaalad (II) Meetriline skaala määrab üksikute mõõtmistulemuste vahelise kauguse, kusjuures eksisteerib fikseeritud nullpunkt. Näiteks võib öelda, et kahetunnine ajavahemik on neli korda pikem pooletunnisest. Meetriliselt skaalalt võib vajaduse korral üle minna intervallskalale, rühmitades võimalikud väärtused klassidesse. Näiteks kaalukategooriad maadlusvõistlustel. Tulemuste statistilise töötlemisvõimaluste laiendamise huvides kasutatakse ka ordinaalskaala kodeerimist arvuliseks (kvantitatiivseks) tunnuseks (näiteks keskmise hinde leidmiseks). Nii saadud statistiliste tulemuste tõlgendamisel tuleb olla ettevaatlik (ei või näiteks väita, et keskmine hinne 4,0 on kaks korda parem kui 2,0).

6. Üldkogum ja valim Üldkogum on objektide (nähtuste, isendite, protsesside) hulk, mille kohta soovitakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. Valim on üldkogumist eraldatud objektide hulk, mille mõõtmise ja vaatlemise alusel tehakse järeldusi üldkogumi kohta. Nõuded valimile: • Valimi maht peab olema küllalt suur. • igal üldkogumi indiviidil peab olema võrdne võimalus sattuda valimisse. Neid kaht nõuet rahuldavat valimit nimetatakse representatiivseks e. esindavaks.

7. Soovitatavaks klasside arvuks on Fikseerides valimi ning vaadeldes (mõõtes) sellel mingit tunnust, saadakse andmed, mis moodustavad korrastamata statistilise rea. Variatsioonrida Kui saadud andmeid on võimalik järjestada, siis saadakse variatsioonrida. Juhul kui valimis mahuga n on võrdseid elemente (väärtus xi, esineb ni korda), siis esitatakse variatsioonrida kujul Variatsioonrea lühendamiseks rühmitatakse elemendid sageli klassidesse: Võimaluse korral valitakse kõik klassid ühesuguse ulatusega.

8. Kui oleme fikseerinud valimi ning moodustanud mingit tunnust mõõtes variatsioonrea, saame moodustada üldkogumi empiirilise jaotusfunktsiooni: kus X* on diskreetne juhuslik suurus, mille jaotustabel on moodustatud variatsioonrea abil. Empiiriline jaotusfunktsioon Teoreem Valimi mahu n tõkestamatu kasvamise korral koondub empiiriline jaotusfunktsioon F*(x) tõenäosuse järgi üldkogumi jaotusfunktsiooniks F(x).

9. Olgu antud juhuslik suurus X, mille jaotust iseloomustab parameeter a (väärtus on tundmata). Võtame mingi valimi, mille korral see juhuslik suurus omandab väärtused x1, x2, ... , xn ja arvutame selle jaoks parameetri väärtuse ã. Igale valimile vastab üldiselt erinev ã, seega võime kirjutada ã = ã(x1., x2 , ... ,xn). Punkthinnang (I) Ülesanne: olles fikseerinud valimi, arvutanud selle põhjal välja valimi karakteristikud, hinnata, kui hästi (või halvasti) iseloomustavad valimi arvulised karakteristikud üldkogumit. Kaht liiki hinnangud: • Punkthinnangud; • Vahemikhinnangud. Punkthinnang

10. Hinnangu nihutamatus. Nihutamatuks nimetame hinnangut, mille keskväärtus võrdub vastava parameetriga üldkogumis, s.t. E[ã(x1., x2 , ... ,xn)] = a. Punkthinnang (II) Väärtus ãongi parameetri apunkthinnanguks. Et see hinnang iseloomustaks võimalikult hästi üldkogumi vastavat parameetrit, peavad olema täidetud 3 nõuet: Kui viimane võrdus pole täidetud siis nimetatakse hinnangut nihutatuks. Nihutatud hinnanguid pole soovitatav kasutada, kuna need tingivad süstemaatilise vea.

11. 2. Hinnangu efektiivsus. Hinnangut nimetatakse efektiivseks, kui tema dispersioon on minimaalne: D[ã(x1., x2 , ... ,xn)] = min. Efektiivsed hinnangud võimaldavad saavutada vajalikku täpsust kõige väiksema mahuga valimite korral. 3. Hinnangu konsistentus (mõjusus, sisukus). Hinnangut nimetatakse konsistentseks, kui ta koondub tõenäosuse järgi parameetriks a: lim P(|ã(x1., x2 , ... ,xn) – a| < e) = 1iga e > 0 korral. n Nõuded punkthinnangule

12. Üldkogumi keskväärtuse efektiivseks nihutamata ja konsistentseks hinnanguks on aritmeetiline keskmine: n·EX Keskväärtuse hinnang (I) Kontrollime hinnangu nihutamatuse nõuet. Keskväärtuse omaduste põhjal: Kui valim on representatiivne, s.t.kõigil üldkogumi objektidel on võrdne võimalus valimisse sattuda, siis peavad kõigi üksikmõõtmiste keskväärtused ühtima üldkogumi keskväärtusega: E(x1) = E(x2) = ... E(xn) = EX ja Osutus, et aritmeetiline keskmine on nihutamata hinnang.

13. Keskväärtuse hinnang (II) Kui üldkogum on normaaljaotusega, siis aritmeetiline keskmine osutub ka efektiivseks (minimaalse dispersiooniga) hinnanguks. See, et aritmeetiline keskmine on ka konsistentne hinnang, järeldub Tšebõševi suurte arvude seadusest. Seega rahuldab aritmeetiline keskmine kõiki statistilisele hinnangutele esitatavaid põhinõudeid ja meil on täielik alus kasutada seda üldkogumi iseloomustamiseks.

14. Nihkega hinnang: Saab näidata, et Nihketa hinnanguks dispersioonile valimi keskväärtuse kaudu on Standardhälbe nihutamata hinnanguks on Dispersiooni hinnang valimi keskväärtuse kaudu

15. Aritmeetiline keskmine ja valimdispersioon klassifitseeritud andmete korral. Klassidesse jagatud valimi korral tuleb aritmeetilise keskmise ja valimdispersiooni leidmiseks kasutada klasse määravate vahemike keskpunkte. Variatsioonrida: Vahemike keskpunktid: x1k=(a0+ a1)/2, x2k=(a1+ a2)/2, ... , xmk=(am-1+ am)/2. Aritmeetiline keskmine: Valimdispersioon:

16. Mõõdeti 270 detaili. Nende pikkus on vahemikus 66 kuni 90 cm. Klassifitseerimisel saadi tabeli esimestes veergudes olev variatsioonrida. Leida jaotuse keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe nihutamata hinnangud. Näide (MS Excel-tabel) n = Summa S =