第五章積　分

第五章積　分 • 課程目標 • 反導數與不定積分 • 反導數的應用 • 面積與定積分 • 微積分基本定理 • 定積分的應用 • 經濟學與商學上的應用

反導數與不定積分 • 我們已學過導數的理論與運算，此處要研究其反向的運算稱為反導數。給定一個導數 f '，希望能找出其原來的函數 f。這個過程圖示如下： • x3的導數為 3x2，所以 3x2的反導數為 x3。然而 3x2還有其他的反導數。 5-1 反導數與不定積分

不定積分 • 定義5-1: 若 F(x) 為f(x) 之一反導數，及 F'(x) = f(x)，則 f(x) 之不定積分為 F(x) + C，其中 C為任意常數，記成在定義中， 稱為積分符號(integral sign)，f(x) 稱為被積函數(integrand)放在  與 dx中間，x為積分變數(variable of integration)，C為積分常數(constant of integration)。注意積分變數 x可用其他變數取代即 5-1 反導數與不定積分

不定積分 • 回顧一個簡單的微分規則： • 對應此微分規則的積分規則稱為乘冪規則： • 求不定積分: • 求的不定積分。 • 計算。 • 求。 • 求。(等於 ) 5-1 反導數與不定積分

不定積分的運算 • 定理5-1: 不定積分的運算 5-1 反導數與不定積分

不定積分 • 求。 • 化簡。 • 求。 • 由微分公式，可以得到下述定理。 • 定理5-2: 對任意常數 a  0，指數函數 eax的不定積分為 • 求 5-1 反導數與不定積分

不定積分 • 定理5-3: • 求不定積分: • 求不定積分: 5-1 反導數與不定積分

反導數的應用 • 求特定反導數 • 若 f '(x) = 3x2 + x - 2 且 f(2) = 10，求 f(x) 。 • 求曲線方程式 • 設曲線 y = f(x) 的斜率函數為 4x且通過點 (2, 9) ，求此曲線方程式。 • 由銷售率求銷售額 • 一個電腦用品代理商估計某種已停產的電腦第 t 個月之銷售率為 22/t，其中 t = 1 表示開始販賣之時，此時的銷貨量為 0。試問經過t個月後累計的銷售量為何，以及庫存的80 部電腦能否在一年內售完？ 5-2 反導數的應用

反導數的應用 • 由邊際成本求成本函數 • 一公司的邊際成本函數為且固定成本為500元。求(a)生產 x單位時的成本函數；(b)生產16單位時之成本。 • 由速度求距離 • 某汽車由靜止加速 t秒後其速度為 v(t) = -0.12t2 + 8t 英呎/秒 (t < 32) 。(a) 求由起點開始 t秒後的車行距離；(b) 利用(a)所求出的公式，計算前 10 秒的車行距離。 • 學習曲線 • 假設某人記憶電話號碼的速率為個/分。(a) 求某人在 t分鐘內可以記住的電話號碼個數的公式；(b) 利用 (a) 的公式求 25 分鐘總共可記住幾個號碼。 5-2 反導數的應用

面積與定積分 • 我們曾學過許多圖形的面積公式，如圓形、三角形與矩形(如圖)。本節我們將研究其他不規則區域(如圖)面積的定義及其計算方法。 5-3 面積與定積分

曲線下所圍的區域的面積 • 考慮由曲線 y = f(x)，x軸與垂線 x = a與 x = b所圍成的區域。 y = f(x)在 [a, b] 區間連續且 f(x)≧ 0，如下圖。 • 我們採用矩形來求近似的面積。 • 下圖左用五個矩形近似曲線下的區域，每個矩形左邊邊線的高等於曲線的高度。利用五個矩形近似曲線下的面積不是很精確。低估的部分是曲線下面矩形上面的白色區域。 • 下圖右，使用 25 個矩形近似這個區域，白色的誤差區域變得非常地小。 5-3 面積與定積分

曲線下所圍的區域的面積 • 將 a到 b的間區分成 n等分，每一份的寬度 Dx為 (b – a)/n，若取 n = 5 ，分成 5 等分，將 5 個矩形的面積加起來即得曲線下區域的近似面積。 • 曲線下的面積可寫成： 5-3 面積與定積分

使用矩形近似面積 • 求由曲線 f(x) = 2 + x2、x軸、直線 x = 0 與 x = 2 所圍區域面積的近似值。 (a)使用 n = 4 等分。 (b)使用 n = 8 等分。 5-3 面積與定積分

定積分 • 定義5-2: 設函數 f(x) 在 [a, b] 連續。 f從 a 至 b的定積分定義為其中且 x1，x2，...，xn的值由 x1 = a開始逐項累加 Dx。若 f在 [a, b] 為非負的函數，則此定積分即表示曲線下至 x軸，由 x = a至 x = b所圍區域的面積。 • 上述定義將定積分定義成「和的極限」，這個和的更一般形式稱為黎曼和 (Riemann Sum)，以德國數學家 Bernhard Riemann (1826-1866) 命名的。 5-3 面積與定積分

微積分基本定理 • 定積分所使用的數學記號與反導數所使用的數學記號極為相似，我們以下述的應用說明其相關性。 • 物理上的應用 • (a) 行車距離可以由行車速度的反導數求出。由可以推得。 • (b) 行車距離也可以由速度函數 v(t) 曲線下的面積求得。 5-4 微積分基本定理

微積分基本定理 • 商業上的運用 • (a) 總成本可以由邊際成本的反導數求出，即 • (b) 總成本 C(x) 可由邊際成本函數 MC(x) 曲線下的面積求得。 5-4 微積分基本定理

微積分基本定理 • 假設函數 f(x) 在 [a, b] 為非負且連續，A(x) 表示曲線 f(x) 下由 a至 x的面積(如左圖)，則 • 證明 A(x) 為 f(x) 的反導數: 右圖紫色部分的面積為 A(x + Dx) - A(x)。紫色面積可以由寬 Dx 與長 f(x) 的矩形來估計之。因此 5-4 微積分基本定理

微積分基本定理 • 當 Dx 取得愈小則有愈好的估計值。取無窮小時，可得 • 已知 A(x) 為 f(x) 的一個反導數，若 F(x) 為 f(x) 的另一反導數，則 A(x) = F(x) + C，其中 C 為常數。再由可推得微積分基本定理 5-4 微積分基本定理

定積分的運算 • 定理5-4: 若函數f(x) 在 [a, b] 區間連續，則其中 F(x) 為 f(x) 的任意反導數。 • 我們使用記號表示 F(b) - F(a) 。 a與b稱為積分的界限， b稱為上界(upper limit)且 a稱為下界(lower limit)。 5-4 微積分基本定理

微積分基本定理的應用 • 求定積分: • 求曲線下的面積: • 求曲線 y = 1/ x下由 x = 1 至 x = 8 的面積。 • 求曲線 y = e2x下由 x = 0 至 x = 1 的面積。 5-4 微積分基本定理

定積分運算規則 • 定理5-5: • 為配合定理5-5(4)，通常我們規定，其中k 為常數，其中a < c < b 5-4 微積分基本定理

求某段產量之間的總成本 • 某公司的邊際成本函數，其中 x表示產量的單位。求生產 100 至 400 單位的總成本。 • 上述範例，係給定一個變化率的函數由 a至 b做積分，得到 a至 b間的總累積數量。下圖闡述這個概念，每條曲線均表示一個比率的變動情形，曲線下的面積可由定積分求得。 5-4 微積分基本定理

微積分基本定理的應用 • 由生產速率求總產量 • 某測試工程師，檢測電腦晶片的速率為 -3t2 + 20t + 12 (晶片/小時)，t < 6，其中 t 為早上 9:00 以後過了 t個小時。請問由早上 10:00 至下午 1:00 共可測試多少晶片？ 5-4 微積分基本定理

定積分的應用--平均值 • 計算 n個數值 x1, x2, ..., xn的平均值(average)為 • 要如何計算函數在某個區間的平均值呢？ • 設函數 f(x) 代表 24 小時的氣溫變化，取每一小時的氣溫得到 24 個值再求其平均值，這種算法忽略二次測量間的變動情形。平均值希望能反應曲線 f(x) 的平均高度如圖的虛線。這個高度正好能將超過此高度部分的面積填入低於此高度部分的面積。因此圖形上的矩形面積應該等於曲線下至 x軸的面積，即 5-5 定積分的應用--平均值

函數的平均值 • 欲求函數 f(x) 在一個區間的平均值，可以考慮在此區間內平均地取 n個函數值 f(x1) ，f(x2) ，f(xn) 後再計算其平均值為因此函數的平均值為 5-5 定積分的應用--平均值

函數的平均值 • 定理5-6: 若函數 f(x) 在 [a, b] 區間連續則其平均值為 • 求函數的平均值 • 求 f(x) = 3x2 + 6x - 4 在 [1, 3] 區間的平均值。 • 求平均污染值 • 化學工廠關閉後 x年，湖內的污染物預估為p(x) = 120 / x公噸 (x≧ 1) 。求工廠關閉後1年至10年間污染物的平均數量。 5-5 定積分的應用--平均值

定積分的應用--曲線間的面積 • 定積分可視為曲線下的面積。欲求兩曲線間的面積，我們取上層曲線下的面積減去下層曲線下的面積即可得。 • 定理5-7: 設 f(x) 與 g(x) 在 [a, b] 區間連續且 g(x)≦f(x) ，則其所圍的區域如圖之面積為 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

曲線間的面積 • 求二曲線間的面積 • 求曲線 y = x2 + 1 與 y = x - 1 在 x = -1 至 x = 2 間的面積。 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

曲線間的面積 • 計算因宣傳所增之銷售量 • 某個大賣場引進一樣新產品預估未來一年每月的銷售量為 5 + 3t 千打/月。若公司在引進該產品初期能夾報宣傳則預估銷售量可提高至 6 + 4t千打/月。試求第一年內因宣傳所增加的銷售量有多少？ 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

求二相交曲線間的面積 • 求曲線 y = 10 - 2x2與 y = 4x + 4 在 x = 0 至 x = 3 之間的面積。 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

求曲線所圍區域的面積 • 有時我們直接要求計算兩曲線所圍區域的面積，沒有給予 x的範圍。這時兩條曲線必有兩個以上的交點且所圍的區域為封閉的。如圖所示。 • 求曲線 y = 2x2- 8 與 y = 8 - 2x2所圍區域的面積。 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

曲線間的面積 • 如果曲線位於 x軸的下方，如圖所示，這時上層的曲線是 x軸 (y = 0) ，下層的曲線為 y = f(x) 。所以面積為 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

求曲線與 x軸所圍的面積 • 求 y = x2 - 6x + 8 與 x軸所圍的面積。 • 首先求 y = x2 - 6x + 8 與 x軸的交點 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

求指定區間的面積 • 求曲線 y = 2x2 - 8 與 x軸在 x = 1 至 x = 3 所圍的面積。 • 如果我們沒有繪出函數的圖形，直接以或計算可能會得到錯誤的結果。 5-5 定積分的應用--曲線間的面積

定積分的應用--旋轉體的體積 • 旋轉體是將平面上的一塊區域繞某一條直線(如 x 軸)旋轉所生成的實心體。考慮平面區域如圖所示，將該區域繞 x軸旋轉，在空間中其所生成的實心體如圖所示，此實心體稱為旋轉體(solid of revolution)。 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

旋轉體 • 考慮函數 y = f(x) 在 [a, b] 區間連續且非負。令由曲線 y = f(x) 、 x軸、直線 x = a與 x = b所圍的區域為 R。將 R繞 x軸旋轉生成一個旋轉體，該旋轉體垂直於 x軸的縱切面可以看成半徑 r = f(x) 的圓。這是因為每個縱切面可以看成是 (x, 0) 至 (x, f(x)) 的線段繞 x軸旋轉的軌跡。 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

旋轉體的體積 • 將 [a, b] 區間均分成 n等份，每份寬為Dx。畫出高分別為 f(x1) , f(x2), …, f(xn) 的矩形。每個矩形繞 x軸旋轉，其所生成的旋轉體為一圓柱體。將所有的圓柱體加起來，得到體積為 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

旋轉體的體積 • 定理5-8: 設函數 f(x) 在 [a, b] 區間連續且非負。令 R表由曲線 y = f(x)、x軸、直線 x = a與 x = b所圍成的區域。將 R繞 x軸旋轉所生成之旋轉體的體積為 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

求正圓錐體的體積 • 證明正圓錐體的體積為。 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

求旋轉體的體積 • 令 R為由曲線、x軸、直線 x = 1 與 x = 3 所圍的區域。求 R繞 x軸旋轉之旋轉體的體積。 5-5 定積分的應用--旋轉體的體積

經濟學與商學上的應用收入流量與收入流量的現值經濟學與商學上的應用收入流量與收入流量的現值 • 某資產經過 t年時，其每年連續的收入流量速率為 R(t) 元。在 Dt的時間區間，從該資產所流入的收入總額可由 R(tj) 的乘積近似得之。就是每單位時間的速率乘以時間的長度。所以從 t = a至 t = b的總收入流量可用近似得之，當 n→ 時，我們得到下述的定積分： 5-6 經濟學與商學上的應用

求年金保險的總收入 • 所謂年金保險或養老金(annuity)是一種金融產品，設計成在一固定的期限內支付給受益者每年一定的金額，有許多退休金計畫都設計成此類型。假設某一年金保險每年產生的收益為元，共可領取五年。求該年金在給付期間所產生的總收入。 5-6 經濟學與商學上的應用

淨現值與商業決策 • 對於許多已規劃好的償還計畫，我們常常會將未來要支付的金額，換算成現在的價值。這種分析方法稱為現值法。對於類似年金型的收入流量，也常常將名目價值(nominal value)換算成現值(present value)來衡量之。 • 假設(名目)利率為r% ，在連續複利下，距今 tj年的收入流量 R(tj)Dt 換算成目前的現值為 P0(tj) = e-rtjR(tj)Dt，因此，即為時間 t = a至 t = b之總流量現值之近似值。當 n→ 時，即得 5-6 經濟學與商學上的應用

淨現值與商業決策 • 計算現值 • 假設名目利率為 r%，收入流量 R(t) = R為一常數。求 t = a至 t = b年間總流量的現值。 • 計算年金貼水 • 陳先生目前 40 歲，他想一次付清購買一個退休年金。該年金將自陳先生 60 歲起，每年支付他 600,000 元，共支付 10 年。假設這 30 年間(40 歲至 70 歲)的一般利率水準為年息 8%，則陳先生期望一次支付的貼水(premium)為何？ 5-6 經濟學與商學上的應用

計算投資決策的淨現值 • 某精密儀器公司為提昇其產能與利潤，擬擴充廠房。公司已擬定了兩個方案，並希望廠房完工後以5年的淨現值(net present value)為基礎評估應採行那個方案。 • (a) A方案的廠房需投資1000萬元，將為往後5年帶來每年300萬元的淨利。 • (b) B方案的廠房需投資600萬元，將為往後5年帶來每年200萬元的淨利。 5-6 經濟學與商學上的應用

消費者剩餘與生產者剩餘 • 需求函數: • 商品售價及銷售量有相反的消長關係：若某商品的價格上升則銷售量會下降，反之也亦然。 • 經濟學家可以經由市場調查得知某商品價格與銷售量的關係。這個關係可以表示成所謂的需求函數(或需求曲線)，D(x) ，當銷售數量為 x單位時的價格p = D(x)，如圖所示。 5-6 經濟學與商學上的應用

消費者剩餘與生產者剩餘 • 消費者效用 • 函數 D(x) 可以看成在某個期間內某商品的價格 p是社會大眾願意消費(購買)的數量 x所決定的。 • 圖的紫色部分表示數量 x由 0 至 x0間的圖形，這個圖形的面積稱為消費者的社會效用 (social utility of consumption)，這個效用是指該商品公眾願意消費 x0 數量所累積加總的價值。表示成以下的積分形式： 5-6 經濟學與商學上的應用

計算消費者效用 • 某一個套裝軟體的價格可由每月預定銷售數量 x所決定， p = D(x) = 600 /(1 + 0.02x)元。求當每月銷售200套時，購買該軟體所產生的消費者效用。 5-6 經濟學與商學上的應用

消費者剩餘 • 一定數量商品的總價值(消費者效用)與實際購買這些商品所支付的金額間的差稱為消費者剩餘(consumers' surplus)。 • 消費 x0數量的價格為 p0，實際支付額為 x0p0，所以消費者剩餘的公式如下: 消費 x0 數量的消費者剩餘其中p0 = D(x0) 5-6 經濟學與商學上的應用

第五章 積 分