Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο ΘεσσαλονίκηςΠολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Επιτάχυνση σύγκλισης των επαναληπτικών επιλύσεων Gauss-Seidel, κατά την προσομοίωση αναλογικών και μικτών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, με μέθοδο χαλάρωσης μητρικών μεταβλητών. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του TANCIC NENAD (Α.Ε.Μ.: 3800) Επιβλέπων: Σταύρος Π. Δοκουζγιάννης Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Α.Π.Θ. 2006

Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας • Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης • Περιγραφή της μεθόδου μερικής χαλάρωσης Gauss-Seidel(PGS) • Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Εφαρμογή της PGS σε ένα προσομοιωτή κυκλώματος • Σύγκριση τηςPGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους • Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE μεΜatlab • Συμπεράσματα

Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης Έστω ότι έχουμε μια εξίσωση: Η φασματική ακτίνα του πίνακα Β : Ο μέσος ρυθμός σύγκλισης του πίνακα Β : Ο μέσος αριθμός των επαναλήψεων : Η εξάρτηση των μέσων αριθμών επαναλήψεων από τη φασματική ακτίνα:

Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης • Οι μέθοδοι Gauss-Seidel και Gauss-Jacobi • Ο πίνακας Α πρέπει να είναι αυστηρά διαγώνιος δεσπόζων • Ο διαγώνιος πίνακας καθορίζεται εξαρχής • Η φασματική ακτίνα • Η σύγκλιση τους είναι συνήθως αργή • Σε ορισμένες περιπτώσεις αποκλίνουν

Μέθοδος μερικής χαλάρωσης GaussSeidel • Η διαδικασία PGS παραγοντοποίηση: • Η PGS προς τα εμπρός αντικατάσταση • Η PGS προς τα πίσω αντικατάσταση • Η χαλάρωση των fill in ορών στους πίνακες LU

Μέθοδος Μερικής Χαλάρωσης GaussSeidel • ΑλγόριθμοςPGS παραγοντοποίησης

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Η διαδικασία προσδιορισμού μικρών προς χαλάρωση ορών είναι ευρηματική • Για κάθε εξίσωση του πίνακα ορίζονται περιθώρια • Η φασματική ακτίνα περιορίζεται από το άθροισμα μέτρων της σειράς • Θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τα κριτήρια χαλάρωσης συγκρίνοντας μονό τους ορούς της ιδίας σειράς με τα διαγώνια τους;

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να χαλαρώσει ο ορός

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Προσδιορισμός των κανόνων περιθωρίου Έστω ότι δίνεται ο πίνακας και έστω ότι χαλαρώνει το Αν ο πίνακας Α είναι αυστηρά διαγώνιος δεσπόζων και όλα τα μη διαγώνια στοιχειά είναι της ιδίας τάξης τότε θα προκύψει: • First-level error terms

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Μετά από απλοποίηση του πίνακα και πολλαπλασιασμού του με πίνακα Το μέγιστο άθροισμα νορμών σειράς τc:

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος Εκφράζοντας ως προς το : Συνοπτικά ισχύει : To μέγιστο περιθώριο χαλάρωσηςτι: Το μέγιστο σφάλμα των μέτρων σειράς τc • Καταλήγουμε:Για j<i:

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Γενικά ισχύει ότι το τι περιορίζει τους ορούς που χαλαρώνουν να μην προκαλέσουν ένα νέο σφάλμα μεγαλύτερο από στην εξίσωση κ ; Αν στην εξίσωση κ τότε: • Στάδια παραγωγής εσφαλμένων ορών: • Εσφαλμένοι οροί από ορούς που χαλαρώνουν: • Εσφαλμένοι οροί από τους ορός που έχουν ήδη χαλαρώσει: • Στάδια υπολογισμού περιθωρίων:

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Παράδειγμα 2: Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε ένα μη αποδεκτό σφάλμα κάθε σφάλμα μεγαλύτερο από 0.02 στον πίνακα Β και θέλουμε να χαλαρώσει το Εφόσον τ2= <0.02 έχουμε:

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Παράδειγμα1: Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε μη αποδεκτό όρο κάθε όρο στον πίνακα Β που είναι μεγαλύτερο από 0.02 και έστω ότι χαλαρώνει Εφόσον το τότε δεν μπορεί να χαλαρώσειτο

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Συμπεράσματα : • Τα περιθώρια σφάλματος περιορίζουν το άθροισμα νορμών σειράς • Στην πράξη τα περιθώρια υπολογίζονται κατά την PGS παραγοντοποίηση • Δυνατότητα διόρθωσης εσφαλμένων ορών (fill in) • Σύγκριση της PGS με την Gauss Seidel (τc=0.1)

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Δυναμικός έλεγχος των αριθμών επαναλήψεων PGS • Κριτήρια βέλτιστης επιλογής του τc • Ευρηματικές προϋπόθεσεις για τη μείωση του αθροίσματος των μέτρων της σειράς • Ανάλυση αποτελεσμάτων • Τελικές παρατηρήσεις

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Συνδυασμός των μεθόδων Newton και PGS • Προβλήματα σύγκλισης τάσεων στα μεγάλα κυκλώματα με πολλά μη γραμμικά στοιχειά • Προσδιορισμός των σημαντικών τάσεων

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Ένα παράδειγμα οπού δεν παρατηρείται πρόβλημα σύγκλισης τάσεων

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Υπόλοιπες τάσεις δεν πρέπει να αλάξουν μέχρι να σταθεροποιηθούν οι σημαντικές τάσεις • Προβλήματα σύγκλισης των γραμμικών στοιχειών • Απαραίτητη εκτίμηση του αριθμού των PGS επαναλήψεων για να συγκλίνουν οι σημαντικές τάσεις σε μια προκαθορισμένη τιμή • Σύγκλιση των σημαντικών τάσεων καθορίζεται από την επιλογή των περιθωρίων

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Η διαδικασία πρόβλεψης των αριθμών των PGS επαναλήψεων έχει στόχο: • Σύγκλιση όλων των σημαντικών τάσεων • Επίτευξη μέγιστης ταχύτητας σύγκλισης • Ο Αλγόριθμος πρόβλεψης των αριθμών PGS επαναλήψεων: • Η PGSmode συμβολίζει τον αριθμό PGS επαναλήψεων • Όλες οι PGSmodes απαιτούν μόνο μια PGS παραγοντοποίηση • Η modePGS = 0 χρησιμοποιείται για την πρώτη επανάληψη κατά το μεταβατικό στάδιο προσομοίωσης οπού υλοποιείται η LU παραγοντοποίηση • Η PGSmodeσυνήθως αυξάνεται από 1-10 κατά την διαδοχική εκτέλεση των επαναλήψεων Newton. • Χρησιμοποιείται η ρουτίνα η οποία επιστρέφει το νέο προβλεπόμενο χρόνο που απαιτεί το CPU για την επίλυση. • Συγκρίνουμε αυτό το νέο χρόνο του PGSmode με τον προβλεπόμενο χρόνο της PGSmode-1 και αν είναι μεγαλύτερος τότε η PGSmode μειώνεται στην PGSmode-1 στο τέλος της επανάληψης Newton.

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Ο στόχος της βέλτιστης επιλογής του τcείναι: • Ο προσδιορισμός των απαραιτήτων αριθμών PGS επαναλήψεων • Η καλή απόδοση της μεθόδου PGS • Υπολογισμός του τc εξαρτάται από: • Το περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων VNTOL • Το απόλυτο περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων TSVTOL • Το μέσο αριθμό των PGS επαναλήψεων Ν που απαιτούνται για να μειωθεί η νόρμα του διανύσματος σφάλματος στην τιμή του ε • Υπολογισμός του τc για μια PGS επανάληψη : Αν θέλουμε να μειώσουμε την για μια επανάληψη ορίζουμε το

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Αντίστοιχα όταν έχουμε 2 επαναλήψεις PGS: • Ενώ για n επαναλήψεις PGS θα έχουμε : • Υπάρχουν και αλλά κριτήρια που συσχετίζονται με τα προηγούμενα κριτήρια επιλογης του τcπου πρεπει να λαβουμε υποψη ; • Το περιθώριο σφάλματος ρεύματος IRTΟLi του κόμβου i • Το απόλυτο περιθώριο σφάλματος ρεύματος ABSTOL • H αγωγιμότητα Gij του κλάδου που συνδέει τους κόμβους i καιj

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • H νέα τιμή για το τcπροκύπτει : • Ανάλυση αποτελεσμάτων :

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης της PGS σε ένα κύκλωμα τυχαίας παραγωγής δικτύου αντιστάσεων : • Σωστή λειτουργία της PGS σε κυκλώματα με μεγάλο αριθμό πράξεων

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Σωστή λειτουργία και στα κυκλώματα με πολλές αναδράσεις οπού παρατηρείται μεγάλος αριθμός fill in ορών • Ο αριθμός των πράξεων κατά τον υπολογισμό περιθωρίου είναι πολύ μικρότερος από τον αριθμό της LU παραγοντοποίησης • Ο αριθμός των μαθηματικών πράξεων που χρειάζονται για τον υπολογισμό του περιθωρίου: • Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός για κάθε εξίσωση του πίνακα. • Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός και μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του πάνω τριγωνικού πίνακα. • Απαιτείται μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του κάτω τριγωνικού πίνακα • Αντίστοιχα για συμμετρικούς πίνακες είναι 1.5 φορές όσο είναι τα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα

Σύγκριση τηςPGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους • Jacobi : • Gauss-Seidel : • SOR (διαδοχική μέθοδος υπερχαλάρωσης) : • CG( μέθοδος συζυγών κλίσεων): Tο διάνυσμα τυχαίων διευθύνσεων: Tα διανύσματα υπολοίπων: Η επιλογη του συντελεστη α: ελαστικοποιει το διανυσμα Η ανανέωση του διανυσματος σφάλματος τυχαίων διευθύνσεων γίνεται με την επιλογή ώστε να ισχύει

Σύγκριση τηςPGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους • Η PGS ήταν αποδοτική μονό σε παραλλαγές της CG • Σύγκριση της απόδοσης μεθόδου CG ως προς τη μέθοδο αρχικών συνθηκών: • H μέθοδος PGS ως αρχική συνθήκη • Η μέθοδος μερικής LU παραγοντοποίησης PLUCGS • H PLUCGS είχε τα χαρακτηρίστηκα: • Μειωμένη χρησιμοποίηση μνήμης • Πιο αργή σύγκλιση • Περιλαμβάνει μονό fill in ορούς πρώτου επιπέδου

Σύγκριση τηςPGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους • Σύγκριση τηςPGS με τη μέθοδο CGS που χρησιμοποιεί την PGS σαν μέθοδο αρχικών συνθηκών: • Απαιτεί περισσότερη μνήμη από τη μέθοδο PGS • Αυξάνει την ταχύτητα επίλυσης μέχρι 15% • Έχει αυξημένη περιπλοκότητα κατά το υπολογισμό του περιθωρίου • Προσφέρει πιο εύκολη software υλοποίηση • Πιθανός διάδοχος των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στα προγράμματα προσομοίωσης των κυκλωμάτων

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab Βήμα 1: LH0024 HighSlewRateOperationalAmplifier

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 2: BreakTransistor και BreakDiode

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 3: Τα αποτελέσματα των παραμέτρων του τρανζίστορ καθώς και η εξάρτηση τους από τη θερμοκρασία, κατά τον υπολογισμό στο MATLAB

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 4: Yπολογισμός των ρευμάτων του GummelPoon μοντέλου

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 5: Xρήση των μοντέλων tnenadNPN, tnenadPNP, tnenadD

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 6 : Υπολογισμός των παραμέτρων του GummelPoon μοντέλου του tnenadNPN

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 7 : Υπολογισμός των ρευμάτων του GummelPoon μοντέλου του tnenadNPN

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Βήμα 8 : Tο ισοδύναμο κύκλωμα GummelPoon στις θέσεις των τρανζίστορ

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poonτου SPICE με Matlab • Συμπεράσματα : • Για ορισμένο συνδυασμό παραμέτρων είχαμε μεγάλη ανακρίβεια κατά το υπολογισμό με το ΜATLAB, δηλαδή μεγάλη απόκλιση των τιμών σε σύγκριση με το SPICE. • Υπάρχει δυνατότητα, τα κυκλώματα που περιέχουν τρανζίστορ και διόδους να απλοποιηθούν σε ένα κύκλωμα όπου έχουμε μονό εξαρτημένες πηγές και αντιστάσεις. Κατά συνέπεια είναι εφικτή και η υλοποίηση του κυκλώματος με πίνακες καθώς και η επίλυση του με την μεθοδο PGS

Συμπεράσματα • Εχει καλύτερη απόδοση από ότι οι συνηθισμένες επαναληπτικές χαλαρωτικές μεθόδους • Χαρακτηρίζεται από ένα γρήγορο ρυθμό σύγκλισης ,το οποίο ελέγχεται δυναμικά, με την ρύθμιση του περιθωρίου σφάλματος • Μέχρι και 10 φορές γρηγορότερη επίλυση από την άμεση μέθοδο και μεγάλα κέρδη σε μεγάλα κυκλώματα • Σημειώνει μια εξαιρετική γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης • Είναι ακριβής σε όλα τα κυκλώματα με πολλούς διαφορετικούς τύπους στοιχείων • PGS βελτιώνουν το κέρδος και θα είναι περισσότερα αποδοτική στα κυκλώματα με περισσοτέρους fill-in όρους στον πίνακα • PGS παρουσιάστηκε αποδοτική μονό σε παραλλαγές της μεθόδου συζυγών κλίσεων • Ενδεχόμενη μελλοντική υλοποίηση στο SPICE

ΤΕΛΟΣ

Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας

Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας

Presentation Transcript