1.2 线性规划问题的单纯型解法 1.2.1 线性规划问题的标准形式为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式化为标准形式

1.2 线性规划问题的单纯型解法 1.2.1 线性规划问题的标准形式为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式化为标准形式

变换的方法： • 目标函数为min型，价值系数一律反号。令 f(x) = -f(x) = -CX, 有 min f(x) = - max [-f(x)] = - max f (x) • 第i 个约束的bi为负值，则该行左右两端系数同时反号，同时不等号也要反向 • 第i 个约束为  型，在不等式左边增加一个非负的变量xn+i，称为松弛变量；同时令 cn+i= 0 • 第i 个约束为  型，在不等式左边减去一个非负的变量xn+i，称为剩余变量；同时令 cn+i= 0 • 若xj 0，令xj= -xj，代入非标准型，则有xj 0 • 若xj 不限，令xj= xj -xj， xj 0，xj  0，代入非标准型

变换举例：

关于标准型解的若干基本概念： • 标准型有 n+m 个变量， m 个约束行 • “基”的概念 • 在标准型中，技术系数矩阵有 n+m 列，即 A = ( P1, P2 , … , Pn+m ) • A中线性独立的 m 列，构成该标准型的一个基，即 B = ( P1 , P2 , … , Pm )， | B |  0 • P1 , P2 , … , Pm 称为基向量 • 与基向量对应的变量称为基变量，记为 XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称为非基变量，记为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xm+n ) T，故有X = XB + XN • 最多有个基

关于标准型解的若干基本概念： • 可行解与非可行解 • 满足约束条件和非负条件的解 X 称为可行解，满足约束条件但不满足非负条件的解 X 称为非可行解 • 基础解 • 令非基变量 XN = 0，求得基变量 XB的值称为基础解即 XB = B1b • XB是基础解的必要条件为XB 的非零分量个数  m • 基础可行解 • 基础解 XB 的非零分量都  0 时，称为基础可行解，否则为基础非可行解 • 基础可行解的非零分量个数 <m时，称为退化解

线性规划标准型问题解的关系 约束方程的解空间非可行解基础可行解可行解基础解退化解

可行解、基础解和基础可行解举例

1.2.2 单纯型法的基本思路

1.2.3 单纯型表及其格式

例1.2.2 试列出下面线性规划问题的初始单纯型表

关于检验数的数学解释 • 设B是初始可行基，则目标函数可写为两部分(1) • 约束条件也写为两部分，经整理得 XB 的表达式(2)，注意 XB中含有非基变量作参数 • 把 XB 代入目标函数，整理得到(3)式 • 第 j个非基变量的机会成本如(4)式 • 若有cjzj>0, 则未达到最优

1.2.4 标准型的单纯型算法 • 找初始基础可行基 • 对于(max,)，松弛变量对应的列构成一个单位阵 • 若有 bi<0，则单位阵也不能构成一个可行基 • 检验当前基础可行解是否为最优解 • 所有检验数 cj zj0，则为最优解，否则 • 确定改善方向 • 从 (cj zj) > 0 中找最大者，选中者称为入变量， xj* • 第j*列称为主列 • 确定入变量的最大值和出变量 • 最小比例原则

1.2.4 标准型的单纯型算法 • 确定入变量的最大值和出变量 • 设第 i* 行使  最小，则第 i* 行对应的基变量称为出变量，第 i* 行称为主行 • 迭代过程 • 主行 i* 行与主列 j* 相交的元素ai*j* 称为主元，迭代以主元为中心进行 • 迭代的实质是线性变换，即要将主元 ai*j*变为1，主列上其它元素变为0，变换步骤如下： (1)变换主行

1.2.4 标准型的单纯型算法 • 迭代过程 (2)变换主列除主元保留为1，其余都置0 (3)变换非主行、主列元素 aij (包括 bi) 四角算法公式：

1.2.4 标准型的单纯型算法 5、迭代过程 (4)变换CB，XB (5)计算目标函数、机会成本 zj 和检验数 cj  zj 6、返回步骤 2

表1.2.4 例1.2.2 单纯型表的迭代过程 答：最优解为 x1=20, x2=20, x3=0, OBJ=1700

单纯型表中元素的几点说明 • 任何时候，基变量对应的列都构成一个单位矩阵 • 当前表中的 b列表示当前基变量的解值，通过变换 B 1 b得到 (资源已变成产品) • 当前非基变量对应的向量可通过变换 B 1 AN得到，表示第 j个变量对第 i行对应的基变量的消耗率 • 非基变量的机会成本由给出 • 注意基变量所对应的行

1.2 线性规划问题的单纯型解法 1.2.1 线性规划问题的标准形式 为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式化为标准形式