การเชื่อมโยงเนื้อหาคณิตศาสตร์

1. สัมมนาคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงเนื้อหาคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง จำนวนเต็ม

2. ยิน ดี ต้อน รับ

3. การเชื่อมโยง จำนวนเต็มกับ เนื้อหาคณิตศาสตร์

4. จัดทำโดย คณะครุศาสตร์ เอกคณิตศาสตร์ ชั้นปีที่ 5 นางสาวประภารัตน์ เขาภูงาม เลขที่ 13 นางสาวสีดา วงษ์ศรีจันทร์ เลขที่ 31 นางสาวจินดา วงศรี เลขที่ 36

5. ส เ อ น ผู้ช่วยศาสตราจารย์กนก จุยคำวงศ์ อาจารย์สงกรานต์ ปลื้มปรีดาพร

6. จำนวนจริง จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน ทศนิยมไม่ซ้ำ ติดค่าราก จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มบวก

7. น น ริ ง จำ ว จ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนแทนได้ในรูปเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ที่ b 0 ได้แก่ จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำเช่น 15 0,-3 , , 0.54, 3.512, … เป็นต้น จำนวนตรรกยะ แบ่งเป็น 2ประเภทคือ จำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม . . ต่อไป

8. น น ริ ง จำ ว จ จำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ในเศษส่วน ได้แก่ จำนวนที่ติดค่าราก สัญลักษณ์ และทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น , , 4.323323332 , ... เป็นต้น

9. จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวนเต็มแบ่งเป็น 3 พวกคือ 1. จำนวนเต็มบวก 2. จำนวนเต็มลบ 3. จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ เช่น 4.23 , 0.25000 ..

10. อัตราส่วนและร้อยละ คู่อันดับและกราฟ จำนวนเละตัวเลข ทฤษฎีบทปีทาโกรัส จำนวนเต็ม ทศนิยม เลขยกกำลัง การประมาณค่า การแปลง การวัด อสมการ สมการ

11. จำนวนเต็ม Integer

12. จำนวนเต็ม... จำนวนนับ หรือ จำนวนธรรมชาติ ได้แก่ 1, 2, 3, … เราเรียกจำนวนนับเหล่านี้ว่า จำนวนเต็มบวกโดยมีข้อสังเกตว่าสมาชิกตัวแรก คือ 1 จำนวนนับถัดไปจะมากขึ้นกว่าจำนวนที่อยู่ข้างหน้าอยู่ 1 เสมอจำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวกมีจำนวนตรงข้าม เช่น เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จำนวนตรงข้ามของ aคือ -a ในทำนองเดียวกัน จำนวนตรงข้ามของ -aคือ a

13. จำนวนเต็ม... สัญลักษณ์แสดงจำนวนตรงข้ามจำนวนตรงข้ามของ 3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ -3 จำนวนตรงข้ามของ -3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ -(- 3)เนื่องจาก -(-3) หมายถึง จำนวนตรงข้ามของ -3 แต่จำนวนตรงข้ามของ -3 คือ 3 ดังนั้น -(-3) = 3

14. จำนวนเต็ม... เช่น ถ้า a = 4 จำนวนตรงข้ามของ 4 คือ -4 ถ้า a = -4 จำนวนตรงข้ามของ -4 คือ -(-4) = 4 ดังนั้น จำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็มบวก ได้แก่ -1,-2,-3, … เราเรียกจำนวนเหล่านี้ว่า จำนวนเต็มลบ

15. จำนวนเต็ม... เมื่อนำจำนวนนับมาบวกกับจำนวนตรงข้ามของ จำนวนนับนั้นผลลัพธ์ที่ได้เท่ากับหมดไปหรือการไม่มี ใช้สัญลักษณ์แทนการไม่มีนั่นคือ “0 ” เช่น 2 + (-2) = 0เราเรียกจำนวนนี้ว่า จำนวนเต็มศูนย์ *จำนวนตรงข้ามของ 0คือ -0 = 0

16. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่1จงบอกค่าของจำนวนตรงข้ามต่อไปนี้ 1.) 23 2.) -54 3.) -31 4.) -(-43) วิธีทำ1.) 23 = 2.) -54 = 3.) -31 = 4.) -(-43) = 54 -23 43 31

17. จำนวนเต็ม... จำนวนนับแบ่งเป็นจำนวนนับที่ 2 หารได้ลงตัว เช่น 2, 4, 6, 8, 10, … เรียกว่า จำนวนคู่ และจำนวนนับที่ 2 หารไม่ลงตัว เช่น 1, 3, 5, 7, 9, … เรียกว่า จำนวนคี่

18. จำนวนเต็ม... ตัวประกอบของจำนวนนับใด คือจำนวนนับ ที่หารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว เช่น ตัวประกอบของ 20 ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20

19. จำนวนเต็ม... ตัวประกอบร่วม คือจำนวนนับทั้งหมดซึ่งเมื่อ นำไปหารจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนที่กำหนดได้ลงตัว เช่น จงหาตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 วิธีทำ ตัวประกอบของ 12 ได้แก่1, 2, 3, 4, 6และ 12 ตัวประกอบของ 18 ได้แก่ 1, 2, 3,6, 9 และ 18 ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1, 2, 3และ 6

20. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่2 จงหาหาตัวประกอบร่วมของ 10 และ 12 วิธีทำ หาตัวประกอบแต่ละตัวก่อน จะได้ ตัวประกอบของ 10 ได้แก่1, 2, 5, และ 10 ตัวประกอบของ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 10 และ 12 คือ 1 และ 2

21. จำนวนเต็ม... ตัวประกอบที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับใด ๆ คือ 1 ตัวประกอบที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนนับใด ๆ คือจำนวนนับจำนวนนั้นนั่นเอง

22. จำนวนเต็ม... จำนวนนับที่มีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และจำนวนนับนั้น เรียกว่า จำนวนเฉพาะ เช่น ตัวประกอบของ 2 คือ 1 และ 2 ดังนั้น 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบของ 13 คือ 1 และ 13 ดังนั้น 13 เป็นจำนวนเฉพาะ เป็นต้น

23. จำนวนเต็ม... วิธีการตรวจสอบจำนวนเฉพาะ ถ้าให้ nเป็นจำนวนเต็มบวก การที่จะตรวจสอบว่า n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ วิธีการหนึ่งก็คือการหาจำนวนเต็มบวกที่เป็นตัวหารที่น้อยกว่า n ถ้าไม่มีจำนวนใดหาร n ลงตัว ยกเว้น 1 กับ n ก็แสดงว่า n เป็นจำนวนเฉพาะ แต่วิธีการนี้เหมาะกับกรณีที่ n มีค่าไม่มากนัก

24. จำนวนเต็ม... เช่น เป็นจำนวนเต็มบวก n เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง ขั้นตอน เลือก กำหนด n ไม่ลงตัว เป็น p นำ p ที่เลือกทุกตัวหาร n ไม่เป็น p ลงตัว

25. จำนวนเต็ม... การตรวจสอบจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างที่ 359 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ วิธีคิด1. เลือกจำนวนเฉพาะที่ยกกำลังสองแล้วไม่เกิน 59 ได้แก่ 22 = 4 < 59 , 32 = 9 < 59, 52 = 25 < 59 , 72 = 49 < 59, 112 = 121 > 59 (เกิน 59 ไม่เอา)

26. จำนวนเต็ม... 2. นำจำนวนเฉพาะที่เลือกคือ 2, 3, 5 และ 7แล้วมาหาร 59 พบว่าไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดที่สามารถหาร 59 ได้ลงตัว ดังนั้น 59 เป็นจำนวนเฉพาะ

27. จำนวนเต็ม... • วิธีหาจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 – 100 • ตัด 1 ออกเพราะ 1 มีตัวประกอบเพียงตัวเดียว • เลือก 2 แล้วตัดจำนวนที่มี 2 เป็นตัวประกอบออก • เลือก 3 แล้วตัดจำนวนที่มี 3 เป็นตัวประกอบออก • เลือก 5 แล้วตัดจำนวนที่มี 5 เป็นตัวประกอบออก • เลือก 7 แล้วตัดจำนวนที่มี 7 เป็นตัวประกอบออก

28. จำนวนเต็ม... จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-100 มีดังนี้ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

29. จำนวนเต็ม... ดังนั้น จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 - 100 มีทั้งหมด 25 จำนวน ดังนี้ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 67 71 73 79 83 89 93 97

30. จำนวนเต็ม... การแยกตัวประกอบ การแยกตัวประกอบ คือการเขียนจำนวนนับ ให้อยู่ในรูปการคูณของจำนวนเฉพาะ อาจทำได้โดยวิธีการหารสั้น หรือ วิธีการเขียนแผนภาพต้นไม้

31. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่4 จงแยกตัวประกอบของ 108 วิธีที่ 1 ใช้วิธีการหารสั้น จะได้ดังนี้ 2)108 3 • = • =

32. จำนวนเต็ม... วิธีที่ 2 ใช้วิธีเขียนแผนภูมิต้นไม้ จะได้ดังนี้ 108 12 9 3 4 3 3 3 2 2 3 3 108 =

33. จำนวนเต็ม... ตัวประกอบร่วมของจำนวนสองจำนวนที่มีค่ามากที่สุด เรียกว่าตัวหารร่วมมากหรือ ห.ร.ม. เช่น 12 มีตัวประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, และ 12 30 มีตัวประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 30 คือ 1, 2, 3 และ 6 ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของ 12 และ 30 คือ 6 ดังนั้น 6 คือ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม.

34. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่5 จงหา ห.ร.ม ของ42, 60และ120โดยการพิจารณาตัวประกอบ

35. จำนวนเต็ม... วิธีทำ หาตัวประกอบแต่ละตัวก่อน 42 มีตัวประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 60 มีตัวประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30 และ 60 120 มีตัวประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 และ 120

36. จำนวนเต็ม... ตัวประกอบร่วมของ 42, 60 และ 120 คือ 1, 2, 3 และ 6 ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของ 42, 60 และ 120 คือ 6 ดังนั้น 6 คือ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม.

37. จำนวนเต็ม... • ข้อสังเกตการหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร • ในแต่ละขั้นตอนของการหารจำนวนที่นำไปหารต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของทุกจำนวนที่ต้องการหาซึ่งอาจมีหลายจำนวนเลือกจำนวนเฉพาะจำนวนใดจำนวนหนึ่งไปหารก่อนก็ได้

38. จำนวนเต็ม... 2. การหารจะยุติเมื่อไม่มีจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของทุกจำนวนที่ต้องการหา 3. ห.ร.ม. ที่ได้คือผลคูณของจำนวนเฉพาะที่นำไปหาร ในแต่ละขั้นตอน

39. จำนวนเต็ม... เช่นจงหา ห.ร.ม ของ 12, 28 และ 40 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทำ 2 ) 12 28 40 2 ) 6 14 20 3 7 10 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12, 28 และ 40คือ 2 2 = 4

40. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่6 จงหา ห.ร.ม ของ 24, 36 และ 48 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทำ2 ) 24 36 48 2 ) 12 18 24 3 ) 6 9 12 2 3 4 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48คือ 2 2 3 = 12

41. จำนวนเต็ม... ข้อสังเกตการหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ 1. การแยกตัวประกอบของทุกจำนวนที่ต้องการหา ห.ร.ม. ให้เลือกจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของทุกจำนวน ในแต่ละชุด 2. ห.ร.ม. ที่ได้คือ ผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เลือกได้ จากข้อหนึ่งทั้งหมด

42. จำนวนเต็ม... เช่น จงหา ห.ร.ม.ของ 12 และ 32 โดยวิธีแยกตัวประกอบ วิธีทำ 12= 2 2 3 32 = 2 2 2 2 2 ห.ร.ม. คือ 2 2 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 32 คือ 2 2 = 4

43. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่7จงหา ห.ร.ม.ของ 18 และ 30 โดยวิธีแยกตัวประกอบ วิธีทำ 18= 2 3 3 30 = 2 3 5 ห.ร.ม. คือ 2 3 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คือ 2 3 = 6

44. จำนวนเต็ม... ตัวคูณร่วมน้อย คือ พหุคูณร่วม ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุด เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. ของจำนวนนับนั้น ๆ

45. จำนวนเต็ม... เช่น พหุคูณของ 12 คือ 12, 24, 36, 48, 60, 72, … พหุคูณของ 30 คือ 30, 60, 90, … พหุคูณร่วมของ 12 และ 30 คือ 60, … และพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของ 12 และ 30 คือ 660 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 30 คือ 60

46. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่ 8 จงหา ค.ร.น. ของ 15 และ 25 โดยพิจารณาพหุคูณ วิธีทำ พหุคูณของ 15 คือ 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … พหุคูณของ 25คือ 25, 50, 75, 100, 125, 150, … พหุคูณร่วมของ 15 และ 25 คือ 75, 150, … และพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของพหุคูณร่วมทั้งหมด คือ 75 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 15 และ 25 คือ 75

47. จำนวนเต็ม... ข้อสังเกตการหา ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ 1. การแยกตัวประกอบของทุกจำนวนที่ต้องการหา ค.ร.น. ให้เลือกจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวนที่เป็นตัวประกอบร่วม ของทุกจำนวนหรือเป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนอย่างน้อยสองจำนวนในแต่ละชุด 2. ค.ร.น. ที่ได้คือ ผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เลือกได้จากข้อหนึ่งและจำนวนเฉพาะที่เหลืออยู่ทั้งหมด

48. จำนวนเต็ม... เช่น จงหา ค.ร.น.ของ 8 และ 20 โดยวิธีแยกตัวประกอบ วิธีทำ 8= 2 2 2 20 = 2 2 5 ค.ร.น. คือ 2 2 2 5 ดังนั้น ค.ร.น.ของ 8 และ 20 คือ 2 2 2 5 = 40

49. จำนวนเต็ม... ตัวอย่างที่9 จงหา ค.ร.น.ของ 18 และ 30 โดยวิธีแยกตัวประกอบ วิธีทำ 18= 2 3 3 30 = 2 3 5 2 3 3 5 ดังนั้น ค.ร.น.ของ 18 และ 30 คือ 2 3 3 5 = 90

50. จำนวนเต็ม... ข้อสังเกตโดยวิธีตั้งหาร 1. ในแต่ละขั้นตอนของการหาจำนวนที่นำไปหารต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนอย่างน้อย สองจำนวนที่ต้องการหาร2. จำนวนนับที่จำนวนเฉพาะไม่สามรถหารได้ลงตัวให้ดึงลงมาเป็นตัวตั้งในขั้นตอนถัดไป