第 1 章随机变量

第1章随机变量 • 第1.1节随机事件及其概率 • 第1.2节条件概率与独立性及其应用 • 第1.3节随机变量及其分布 • 第1.4节随机变量的分布函数返回

第1.1节随机事件及其概率 确定性现象： ⒈抛一石块,观察结局; ⒉导体通电,考察温度; ⒊异性电菏放置一起,观察其关系; …… 随机现象： ⒈某人射击一次,考察命中情况; ⒉某人射击一次,考察命中环数; ⒊掷一枚硬币,观察向上的面; ⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量; ……

《实用概率统计》的研究对象 • 随机现象在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 • 随机现象的统计规律性在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。 • 实用概率统计的研究对象实用概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。

一、基本概念 1.随机试验（E）——对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性, 明确性 , 随机性. 2.随机试验的样本点——随机试验的每一个可能结果. 3.随机试验的样本空间（Ω或S）——随机试验的所有样本点构成的集合. 4.基本事件——Ω的单元素子集，即每个样本点构成的集合. 5.随机事件——Ω的子集，常用A、B、C…表示. 6.必然事件（Ω） 7.不可能事件（Φ）

二、事件的出现（或发生） • 称在一次试验中事件A出现（发生）当且仅当此次试验出现了A中的样本点. • 注意： • 1.在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现； • 2.在一次试验中，有且仅有一个基本事件出现.

课堂练习 写出下列各个试验的样本空间 1 掷一枚均匀硬币，观察正面（H）反面（T）出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 3.某袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球，编号A、B、C，有 2 个黄球，编号D、 F，现从中任取一个球，观察颜色。若是观察编号呢？

4.袋中有编号为 1，2，3，…，n 的球,从 中任取一个，观察球的号码； 5.从自然数 1，2，3，…，N（N≥ 3）中接连随意取三个 , 每取一个还原后再取下一个。若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？ 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。

三、事件的关系与运算 • 事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。

记号概率论 集合论 S(Ω)样本空间,必然事件空间,全集 φ不可能事件空集 ω样本点元素 A事件集合 A是B的子事件 A是B的子集 A与B是相等事件 A与B是相等集合 A与B互斥(互不相容) A与B无相同元素 A与B的和(并)事件 A与B的并集 A与B的积(交)事件 A与B的交集 A与B的差事件 A与B的差集 A的对立事件(逆事件) A的余(补)集

课堂练习 1.设有事件A、B，用它们将必然事件S与和事件A+B表示为若干个互斥事件的和。 2.若A是B的子事件，则A+B=( )，AB=( ) 3.设当事件A与B同时出现时C也出现,则( ) ①A+B是C的子事件； ②C是A+B的子事件； ③AB是C的子事件； ④C是AB的子事件。

4.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}， 则A的对立事件为（） ①甲种产品滞销，乙种产品畅销； ②甲、乙两种产品均畅销； ③甲种产品滞销； ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 5.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 ①A={|x-a|＜σ}，B={x-a＜σ}（σ＞0） ②A={x＞20}，B={x≤20} ③A={x＞22}，B={x＜19}

6. 设A、B、C为任意三个事件,试用 它们表示下列事件: ①A出现，B、C不出现； ②A、B出现，C不出现； ③A、B、C都出现； ④A、B、C都不出现； ⑤A、B、C中恰有一个出现； ⑥A、B、C中至少有一个出现； ⑦A、B、C中至多有一个出现； ⑧A、B、C中不多于一个出现； ⑨A、B、C中至少有两个出现； ⑩A、B、C中最多有两个出现.

7.接连进行三次射击，设事件 Ai={第i次射击命中} i=1，2，3， Bj={三次射击恰好命中j次} j=0，1，2，3， Cr={三次射击至少击中r次} r=0，1，2，3， ①用Ai（i=1，2，3）表示Bj ，Cr （j，r=0，1，2，3） ②用Bj （j=0，1，2，3）表示Cr （r=0，1，2，3）

四、概率的定义 • 描述性定义——刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于0与1之间的一个实数。 • 统计定义——某事件在同一试验的大量重复下出现的频率的稳定值称为该事件的概率。 • 公理化定义——把满足非负性、规范性、可列可加性的事件的函数称为概率。

五、概率的要点性质 • (1)P(φ)=0，P(S)=1，逆不一定成立. • (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 • P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) • (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P( S-A)=1-P(A). • 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)≤P(B); • (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), • P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC)+P(ABC) • 可推广到有限个事件的情形(多退少补原则)。

所以，P( )=1-0.2=0.8 例题 • 1.AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，思考：在以上条件下，P(A-B)=？

解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（ ）=0.15， P（A+B）=1-P（）=1-P（）=0.85 2.设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都不发生的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B). 则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5 P（B-A）=P（B）-P（AB）又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以， P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35 从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25

(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12 (4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p 课堂练习 • (901) P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求P(A-B). • (915)P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB) • (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 • (941) A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B). 解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3 (2)P( -AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6

2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k(k<n)个不同的元素,与元2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k(k<n)个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用表示,其中预备知识一.排列与组合 1.非重复的选排列:从n个不同元素中,每次取出k个不同的元素, 按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作

二.加法原理: 完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推,在第n类方法中有mn种方法,则完成这件事共有N = m1+m2+…+mn种不同的方法,其中各类方法彼此独立. 三.乘法原理: 完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.

例题: 1. 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1) 两件都不是次品的选法有多少种? (2) 只有一件次品的选法有多少种? 解: (1) 用乘法原理，结果为 (2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为:

六、古典概率 1.古典概型设S为试验E的样本空间，若 ①（有限性）S只含有限个样本点， ②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。 2.古典概率的定义设E为古典概型，S为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率P(A)=有利于A的基本事件数/实验的基本事件总数 ( 或=card(A)/card(S)）

㈠古典概型的判断方法， ㈡古典概率的计算步骤：　①弄清试验与样本点　②数清样本空间与随机事件中的样本点数 ③列出比式进行计算。　　　　　　　　　　　　注意：

典型例题 例（产品的随机抽样问题）例1 箱中有 6 个灯泡，其中 2 个次品4 个正品，有放回地从中任取两次，每次取一个，试求下列事件的概率：（1）取到的两个都是次品，（2）取到的两个中正、次品各一个, （3）取到的两个中至少有一个正品. 解：设A = { 取到的两个都是次品}，B={取到的两个中正、次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. （1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22，所以P（A）=4/36=1/9 （2）有利于事件B的基本事件数为4×2+2×4=16，所以P（B）=16/36=4/9 （3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32， P（C）=32/36=8/9 注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？

（2）P（）=(7×3)/(10 × 9)=7/30 例1.2.1在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求 ①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，（1）P（AB）=(3×2)/(10×9) =1/15 （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10) 若改为有放回抽样呢？

例1.2.2（964）已知 0＜P（B）＜1，且 P{(A1+A2)|B}=P(A1|B)+P(A2|B) 记C=S-B ,则下列选项成立的是（） ①P{(A1+A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C) ②P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B) ③P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B) ④P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 例1.2.3（965）设事件A是B的子事件 P(B)＞0，则下列选项必然成立的是（） ①P(A)<P(A|B) ②P(A)≤P(A|B) ③P(A)>P(A|B) ④P(A)≥P(A|B) 例1.2.4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( -B|A)=0.4,则P(B)=().

B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A| ）=0.3，P（B2| ）=0.4，所以，P（A）=P（ A）=P（）P（A| ）=0.8×0.3=0.24， P（B2）=P（ B2）= P（）P（ | ）P（B2| ）例1.2.5假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落乙机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。解：设A={甲机被击落}，B={乙机被击落}，B1={乙第一次被击落}， B2={乙机第二次被击落}，由题意得：B1.B2互斥， =0.8×0.7×0.4=0.224 P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424

推论2在 A 与 B，与 B，A 与，与 这四对事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。二、事件的独立性定义若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。推论1 A、B为两个事件，若P(A)>0, 则 A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B) 证明: 不妨设A.B独立,则其他类似可证

推论3设0<P(A)<1,0<P(B)<1 则下面四个等式 等价， P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A) 说明：推论3提供了一种判断两事件独立性的直观方法，即对于两事件，若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。

推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A2,…,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响,则称这n个事件相互独立.推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A2,…,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响,则称这n个事件相互独立. 性质:若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不一定成立。 ②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。推广2设A1，A2，…，An…为随机事件序列，若它们中的任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件序列是相互独立的。

4. P(A1+A2+…+An) P(C) = P(A1A2…An) 注意： 1. 对于有放回抽样，各次抽取是相互独立的。 2. 区别互斥事件（互不相容事件）、对立事件、独立事件。 3. 当 A 、B 独立时 , 计算 P(AB)， P(A+ B)，P(A-B). P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B); P(A-B)=P(A)-P(A)P(B) 当A1 A2 …An互斥时当A1 A2 …An独立时一般情形 (有限可加性) (广义加法) 当 A1 A2 … An 独立时当 A1 A2 … An 不独立时 (乘法法则)

例1.2.6 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,切各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少? 解: 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= =1-0.168=0.832

例1.2.8（944）设 0 < P ( A ) < 1 , 0 < P ( B ) < 1 , P ( A | B ) + P ( | ) = 1 , 则（） ① A和B互不相容 ② A和B互相对立 ③ A和B互不独立 ④ A和B相互独立 (2)P(A|B)=1-P( | )=P(A| ), 所以A,B相互独立. 例1.2.7（891）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为( ) 解:(1)设A=甲中,B=乙中,C=目标被击中, 所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)] =0.6/0.8=3/4

三、应用——全概率公式和Bayes公式 1、全概率公式A1,A2,…,An是两两互斥的正概率事件，且事件 A1+A2+…+An= , 则对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An) 注意：（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。

例1.2.9（935）设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概率为多少？解：设A=第一次取得不合格品，B=第二次取得不合格品，事件A和A的对立事件构成完备事件组，由全概率公式得： =（4/10）×（3/9）+（6/10）×（4/9） = 6/15

例1.2.10 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. 解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得: =0.025 (2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率? 分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的Bayes公式.

2、贝叶斯（Bayes）公式 设正概率事件A1，A2,...,An构成完备事件组 ,对于任何一个正概率事件B，有 P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（B） P ( Aj| B )= 注意: 1. A1,A2,...,An可以看作是导致事件B发生的原因; 2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发生的概率,称为 “后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 3. P(Aj)对应可以称为“先验概率”.

例1.2.11市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:例1.2.11市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为: 甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. (2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率? 解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得: =0.4

例1.3.1 (1)随机的掷一颗骰子，ω表示所有的样本点, 第1.3节随机变量及其分布 ω: 出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点 X(ω): 1 2 3 4 5 6 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数，则 ω 射击1次射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间, ω 候车时间一.随机变量的概念: X(ω) [0, 10] 1.定义:取值具有随机性的变量称为随机变量, 它是定义在样本空间上的实单值函数 . 随机变量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示 (1)多样性 (2)随机性离散型连续型 ⒉分类非离散型奇异型

X x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ... X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 二、离散型随机变量的概率分布 ⒈定义:只可能取有限个或至多可列个值的随机变量. 2.概率分布:设随机变量X一切可能值为x1,x2,...,xn,...,则 pn=p(x=xn),n=1,2,...,n,...,称为X的概率函数或概率分布. 或者 3.性质:(1)pn≥0,n=1,2,... (2)p1+p2+...+pn=1 (3)P(x∈A)= 例1(1)中X的概率分布为设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x∈A) =P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/3

X 0 1 P 1-p p X x0 x1 P 1-p p 注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)利用古典概型计算每个取值点的概率 (3)列出随机变量的概率分布表.. 例1.3.2.某实验成功的概率为p,现进行一次实验,求实验结果的概率分布. 解:设随机变量X表实验结果, X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“成功” P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为: 注:0-1分布用于描述实验只有两种对立结果,“成功”概率为参数p的概率分布. 0-1分布两点分布特别:

例1.3.3假定一个实验成功的概率为p(0<p<1),不断重复进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布.例1.3.3假定一个实验成功的概率为p(0<p<1),不断重复进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布. 解:设X表示实验次数,X取值为1,2,...,n,..., P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ..., P(X=n)=(1-p)n-1p,..., 记 q=1-p, 则X 的概率分布为: 几何分布 P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...) Possion分布定义:若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为λ的Possion分布,记为X~P(λ).

例1.3.4某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的例1.3.4某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布. 解:X的可能取值为0,1,2,3,4,5, 设事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai相互独立, P(X=0)= =(1-0.6)5 =0.45 P(X=1)= =5×0.6×(1-0.6)4 类推得: P(X=2) P(X=3) 即: P(X=4) P(X=5) i=0,1,2,3,4,5

一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复进行n次,一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的次数X服从的分布为: 记为 X~B(n,p) 注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重Bernoulli实验模型; (3)若A和Ac是n重Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二者中任意一个,p是“成功”的概率. 例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件, 取得合格品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, X对应的实验次数为n=4, “成功”即取得合格品的概率为p=0.8, 所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)

例1.3.5袋内有 5个黑球，3个白球，每次抽取一 个，不放回，直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目，Y为抽取次数，求X、Y 的概率分布及至少抽取 3次的概率。 X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 Y 1 2 3 4 P 5/8 15/56 5/56 1/56 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有 P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为 (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4) =6/56

X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 a 课堂练习: 1. 求常数a. 2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分布列:0.1,0.2,0.3,0.4. 3.设随机变量X的概率分布为求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4.某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.

三、连续型随机变量的概率分布 ⒈定义:对于随机变量X,若存在一个非负可积函数f(x),－∞ <x <＋∞, 使对于任意两个实数 a，b (a<b)都有则称X为连续型随机变量，称f(x)为 X的概率分布密度函数，简称密度函数。简记为X~f(x). 注意满足性质(1) (2)的函数都可以看为某个随机变量的概率密度. 2.性质:(1) f(x)≥0, －∞<x<＋∞; (2) 例如: 满足(1)f(x)≥0; (2) 所以f（x）是一个概率密度函数。

均匀分布 练习:验证是否一个概率密度函数. 指数分布称 r.v.X服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0), 定义: 若

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