实数的运算性质的证明

实数的运算性质的证明 郇中丹 2006-2007学年第一学期

实数运算性质的证明 • 实数的运算性质 • 加法和乘法的交换律 • 加法和乘法的等价定义 • 加法结合律 • 乘法结合律 • 加法的序性质 • 乘法的序性质 • 加法与乘法的分配律 • x  1/x=1 • 有理数的十进小数表示

实数的运算性质 • 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c • 乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac • 0是加法零元: a: a+0=a • 1是乘法单位元: a: a1=a • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0 • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1

加法和乘法的交换律 • 加法和乘法的交换律: a+b=b+a, ab= ba • 证明: 这直接由有理数的加法和乘法满足交换律来得到. • 1. 由a, bR, sn(a)+sn(b)=sn(b)+sn(a) 就有A={sn(a)+sn(b)|nN}={sn(b)+sn(a)|nN}=B. 所以a+b=sup A=sup B=b+a • 类似地，由sn(a)sn(b)=sn(b)sn(a)有A={sn(a)sn(b)|nN}={sn(b)sn(a)|nN}=B.所以a  b=sup A=sup B=b  a. #

加法和乘法的等价定义(I) • 为了证明加法的结合律,需要对加法的定义作适当的改进. • 记号: Qf ={rQ | r是有限十进小数} • 命题1.  a, bR, 对乘法设a, b>0. • a + b=sup{x|  a, bQf, a < a, b < b, x a + b} • a  b=sup{x| a,bQf, 0<a<a, 0<b<b,xab} • 证明: 分三种情形: a,b为都为无限十进小数、都为有限是进小数以及一个无限和一个有限. 先考虑加法.

加法和乘法的等价定义(II) • 记A={sn(a)+sn(b) | nN}和B={x | a, bQf, a<a, b<b, xa+b}. 记x=sup A, y=sup B. 希望证明x=y. • 1. 设a和b都是无限小数. 在现在的情形AB, 这样xy. • 下面证明yx. 这只要证明x是B的上界就够了. • 任取xB, 由B的定义a, bQf, a<a使得xa+ b. a<a,b<b给出m,nN,有a<sm(a)和b<sn(b)成立. • 不仿设mn根据有理数的性质xa+b<sm(a)+sn(b) sn(a)+sn(b) x. 所以yx.

加法和乘法的等价定义(III) • 2.设a和b都是有限小数. 则nN, x=sn(a)+sn(b) A. 由有理数的性质, 就有x是B的上界,所以yx. 下面证明x是B的上确界. • 设a=p+0.a1…am, b=q+0.b1…bn, am>0, bn >0.为确定起见, 设mn. 对于i>n, 记t(i)=p+0.a1…(am-1) tm+1…ti+q+0.b1…(bn-1)tn+1…ti, 其中tj=9, j>n. • 记C={t(k) | k>n}, 类似第一部分中的讨论, y=sup C. 因此, 只要能够证明x=sup C就够了. x是C的上界是显然的. 下面x是C的上确界.

加法和乘法的等价定义(IV) • 设x=x0+0.x1…xk,其中kn.这里考虑k>0的情形. 则xk >0. 注意对于i>n+1, t(i)有i位小数, 其整数部分与前k-1位与x相同,第k位为xk-1,第k+1至i-1位为9,第i位为8. 即t(i)=x0+0.x1…(xk-1)9…98. • c<x, 若cx= x0+0.x1…xk-1,或其第k位小数小于xk-1, 则当i>n+1时, t(i)>c; 当c的第k位小数等于于xk-1时, 设c第k位小数后第一个不为9的小数位是j, 则当i>j时, t(i)>c. • 因此x=sup C, 也就是x=y.

加法和乘法的等价定义(V) • 3. 设a和b一个是有限小数,一个是无限小数. 设a是有限小数a=p+0.a1…am.类似第一部分中的证明,可以得到yx. 类似第二部分中的想法: • 令t(i)=p+0.a1…(am-1) tm+1…ti+sn(b), tj=9, j>m. 记C={t(k) | k>m}. 则y=sup C. 这是因为CB,且B中的任意一个数一定比C中的某个数小. • 下面证明x=sup C. 设c<x, 则n, c<sn(a)+sn(b). 只要考虑n>m的情形. 并且只需要考虑b的第n位小数不为0的那些情形.

加法和乘法的等价定义(VI) • 注意当n>m时,sn(a)+sn(b)=x0+0.x1…xm bm+1…bn, 而t(n)=x0+0.x1…xmbm+1…(bn -1).所以n>m,j>0 sn(a)+sn(b)<t(n+j). 由此得到x=sup C.即x=y. • 4. 对于乘积ab. 当a和b都是无限小数时, 证明与加法第一部分的证明完全平行. • 5.当a=p+0.a1…am,b=q+0.b1…bn, am>0, bn >0时, 设mn. 对于i>n, 记t(i)=(p+0.a1…(am-1) tm+1…ti) (q+0.b1…(bn-1)tn+1…ti,)其中tj=9. • 记C={t(k) | k>n}. 则y=sup C.

加法和乘法的等价定义(VII) • 设x=x0+0.x1…xm+n,其中xm+n>0. 记k=p+q+2. 则s>0, 当i=m+n+s+k时, t(i)=x0+0.x1…(xm+n-1)tm+n+1…t2i,其中tm+n+j=9,j=1,…,s. 利用这个事实和第二部分思路就可以证明x=sup C. • 6. a是有限小数a=p+0.a1…am, am>0, b是无限小数. 记t(i)=(p+0.a1…(am-1) tm+1…ti)sn(b), tj=9,j>m. • 注意当n>m, b(n)0时, sn(a)sn(b)=x0+0.x1…xm+n, xm+n0.则s>0, k=[b]+1,当i=m+n+s+k时, t(i)= =x0+0.x1…(xm+n-1)tm+n+1…t2i, 其中tm+n+j=9, j= 1, …,s. 类似第五部分就可以证明x=sup C.#

加法结合律 (I) •  a, b, cR, a+(b+c)=(a+b)+c • 证明: 1.记A={x |  a, bQf, a<a, b<b+c, xa+b}, B={x |  a, b, gQf, a<a, b<b, g <c, xa+b+g}和C={x |  a, bQf, a<a+b, b<c, xa+b}.下面证明A=B=C. 只要证明A=B就够了, B=C的证明类似. • 设xA, 则存在 a, bQf满足a<a, b<b+c以及xa+b.由加法定义和b<b+c得到存在g,dQf满足g<b, d<c和bg+d, 即, xB. 因此, AB.

加法结合律 (II) • 类似地可以证明BA • 2. 这样就得到加法的结合律:  a, b, cR, a+(b+c)= sup A =sup B =sup C =(a+b)+c • 这样加法结合律就证明了.#

乘法结合律 (I) •  a, b, cR, a  (b  c)=(a  b)  c • 证明: 当a, b, c中有一个为零时, 很容易验证结合律的成立. 由乘法定义, 只要考虑正实数的情形就够了. • 1.记Qf+={xQf | x >0}, A={x |  a, bQf+, a<a, b<bc, xab}, B={x |  a, b, gQf+, a<a, b<b, g <c, xabg}和C={x |  a, bQf+, a<a+b, b<c, xa+b}.下面证明A=B=C. 只要证明A=B就够了, B=C的证明类似.

乘法结合律 (II) • 设xA, 则存在 a, bQf+满足a<a, b<bc以及xab.由乘法定义和b<bc得到存在g,dQf+满足g<b, d<c和bgd, 即, xB. 因此, AB. • 类似地可以证明BA • 2. 这样就得到加法的结合律: 对于正是数a, b, c a  (b  c)= sup A =sup B =sup C = (a  b)  c • 这样加法结合律就证明了.#

实数序的三歧性和稠密性 • 实数序的三歧性: a,bR, 则a<b, a=b, a>b中有且仅有一种情形成立 • 序与加法和乘法的关系: • a,b,cR, a>b a+c>b+c • a,b,cR且c>0, a>b ac>bc • 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b • 实数的稠密性: a,bR, a<b, cR\Q, dQ, a<c<d<b.

加法的序性质 • 引理1 • 引理2 • 加法的序性质

引理1 • 引理1. 设xR, nN. 则当mn时, sm(x+10^{-n}) =sm(x)+10^{-n}, 因而x+10^{-n}>x. • 证明: 记a=10^{-n}, a满足a(n)=1, mn, a(m) =0. 记y=x+a. 则m>n, y(m)=x(m). 若n=0, 则sm(y)=sm(x)+1 • 设n>0. 若x(n)<9, 则m<n, y(m)=x(m), 而y(n)=x(n)+1,当mn时, sm(y)=sm(x)+10^{-n}. 若x(n)=9,则m<n满足m=0或x(m)<9, y(m)=x(m)+1, 也有当mn时sm(y)=sm(x)+10^{-n}.#

引理2 • 引理2. 设x,yR.若x>y,则nN,有x>y+10^{-n}. • 证明: 由x>y, mN, j<m, x(j)=y(j), x(m)>y(m).取定n>m满足y(n)<9. 则y+10^{-n}<x. #

加法的序性质 • 设x,y,zR.若x>y,则x+z>y+z. • 证明: 由x>y和引理2, nN, x>y+10^{-n}. 注意m, sm(x) sm(y+10^{-n}), 所以, m, sm(x)+sm(z)sm(y+10^{-n})+sm(z) • 两边对m取上确界就得到x+y(y+10^{-n})+z.有加法的结合律和引理1,x+y(y+z)+10^{-n}>y+z.证明完毕.#

乘法的序性质 • 引理3-5 • 引理6 • 乘法的序性质

引理3-5 • 引理3.设x,yR.若x, y>0. 给定mN. 则 xy=sup{sn(x)sn(y) | nm}. • 证明: 留作习题. # • 引理4.设x, yR.若x>0, y>0, 则x  y>0. • 证明: 由x>0和y>0, 则n, sn(x)>0和sn(y)>0.由有理数的性质sn(x)  sn(y)>0. 在有乘法的定义就得到x  y  sn(x)  sn(y)>0. # • 引理5.设x, yR.若x >y, 则-x<-y. • 证明: 由x>y和实数的序性质, -y=-y+((-x)+x)= x+((-y)+(-x))>y+((-y)+(-x))>(y+(-y))+(-x)=-x.#

引理6 • 引理6. 设A是一个有上界的非空集合, c是一个给定的实数.则sup{x+c | xA}=sup A + c. • 证明: 1.任取xA, xsup A, 由加法的序性质, x+csup A+c. 因此sup A+c是{x+c|xA}的上界. • 2. 任取b<sup A+c.由加法的序性质, b-c<sup A. 在由sup A的定义, 存在xA, x>b-c. 再一次利用加法的序性质, x+c>b. • 因此, sup{x+c | xA}=sup A + c. #

乘法的序性质 (I) • 设x,y,zR.若x>y, z>0, 则x  z > y  z. • 证明: 1. 若y=0, 则x>0, 由引理4, x  z > 0 = y  z. 若x=0, 则y<0, 由引理5, -y>0, 由引理3, (-y)z>0,由乘法的定义, y  z=- (-y)z<0= x  z. • 下面假设x和y都不为零. 分成三种情形: (1) y>0; (2) x<0; (3) x>0, y<0; • 2. 设y>0. 由x>y和引理2, n,kN, x>y+10^{-n}, z>10^{-k}. 则当mn, mk时, 由引理1, sm(x) sm(z)sm(y+10^{-n})sm(z)=sm(y)sm(z)+10^{-n}sm (z)>sm(y)sm(z)+10^{-n-k}.

乘法的序性质 (II) • 由引理6和引理3就有xzyz+10^{-n-k}. 再利用引理1就有xz >yz. • 3. 设x<0, 则引理5, (-y)>(-x)>0, 由第二部分的结果(-y)z>(-x)z. 由乘法的定义和引理5, xz=- (-x)z>-(-y)z=yz. • 4. x>0和y<0. 由引理4和乘法定义可得xz>0和yz<0. 所以xz>yz. • 这样乘法的序性质就证明完了.#

加法与乘法的分配律 (I) •  a, b, cR, a(b+c)=ab+ac • 证明: 先考虑情形1: a>0, b>0,c>0. • 1.记A={x |  a, bQf+, a<a, b<b+c, xab}, B={x |  a, b, gQf+, a<a, b<b, g <c,xa(b+g)}, C={x |  a, bQf, a<ab, b<ac, xa+b}. 下面证明A=B. • 设xA, 则存在 a, bQf+满足a<a, b<b+c以及xab.由加法定义和b<b+c得到存在g,dQf+满足g<b, d<c和bg+d,由乘法的序性质, xa(g+d) 即xB. 因此, AB.

加法与乘法的分配律 (II) • 类似地, 任取xB, a, b, gQf+, a<a, b<b, g <c, xa(b+g). 由a<a, b<b, g <c,利用加法的序性质得到b+g<a+b, 再由b+g>0, 就有xA.因此, BA. 所以, B=A. • 2. 下面证明B=C.设xB, 则a, b, gQf+, a<a, b<b, g <c, xa(b+g)=ab+ag. 由a, b, gQf+满足a<a, b<b, g<c和乘法的序性质ab<ab, ag< ac, 所以xC. 因此BC.

加法与乘法的分配律 (III) • 设xC.则a, bQf , a<ab, b<ac. 由ab>0和ac>0, 不妨设a, bQf+. 由乘法定义g,d,s,tQf+,有g<a, d<b, s<a, t<c, a<gd, b<st. 由乘法的序性质, 可以取g=s. 因而就有xa+b<gd+gt=g (d+t), 这样就有xB. 所以CB. 因此, B=C. • 这样就证明了当a>0, b>0, c>0时, a(b+c)=ab+ ac. 下面考虑其他情形: • 3. 当a=0, 或b=0, 或c=0时, 分配律显然成立. • 4. 当b+c=0时, a(b+c)=0, 而c=-b. 由乘法定义, ac=-ab, 因此分配律成立.

加法与乘法的分配律 (IV) • 下面考虑a, b, c和b+c都不为零的情形. • 5. 当a>0和b+c>0时, 不妨设b>0, c<0. 则由情形1 的结果: ab= a((b+c)+(-c))=a(b+c)+a(-c). 因此a(b+c)=ab-a(-c)=ab+ ac. • 6. 剩下的情形a<0和b+c>0, a>0和b+c<0, 以及a<0和b+c<0,可以通过乘法定义化成5的情形.这需要用到下列事实: -(b+c)=(-b)+(-c). • 这样分配律就证明了. #

x  1/x=1 • 加法引理和乘法引理 • x  1/x=1

加法引理和乘法引理 • 加法引理: 设A={anQf | nN}, B={bnQf | nN}满足nN, anan+1,bnbn+1.如果x=sup A,y=sup B R, 则x+y=sup{an+bn | nN} • 证明: 加法的序性质给出x+ysup{an+bn|nN}.再由加法的等价定义, c<x+y, a,bQf, a<x, b<y, c<a+b. 利用x=sup A,y=sup B和anan+1, bnbn+1, 存在n, c<an+bn. # • 乘法引理: 设A={anQf+|nN}, B={bnQf+|nN}满足 nN, anan+1, bnbn+1. 如果x=sup A,y=sup BR, 则xy=sup{an  bn | nN}. • 证明: 与加法引理完全平行.#

x  1/x=1 (I) • 设x0, 则x  1/x=1 • 证明: 1.由于x<0时, x1/x=|x|1/|x|,只要讨论x>0的情形就够了.设x>0.此时有x=sup{sn(x)|nN}.有定义1/x=sup{sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN}. • 2. 注意sn(x)sn+1(x). 而sn+1(x)+10^{-n-1}=sn(x)+ x(n+1)10^{-n-1}+10^{-n-1}sn(x)+10^{-n}, 所以1/(sn(x)+10^{-n})1/(sn+1(x)+10^{-n+1}),因此, sn[1/(sn(x)+10^{-n}]sn+1[1/(sn+1(x)+10^{-n+1}].

x  1/x=1 (II) • 3.注意yR, sn(y)y<sn(y)+10^{-n}. 这就有sn(x) sn[1/(sn(x)+10^{-n})]sn(x)/(sn(x)+10^{-n})<1. • 4.由sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]>sn(x)[-10^{-n} +1/(sn(x)+10^{-n})]=1-sn(x)/10^n-1/(1+sn(x)10^n)设k: j<k, x(j)=0, x(k)>0. 记m=max{x(0)+1, k}.则sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]>1-10^{n-m-1}. • 5.这样1=sup{sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN}, 也就是x  1/x=1. #

有理数的十进小数表示 • 有理数的十进小数分类 • 有限情形的十进小数表示 • 无限情形的十进小数表示

有理数的十进小数分类 • 有理数集Q={r=m/n | mZ, nN+, (m,n)=1} • r = m, 即n=1, 此时有理数r为整数. • 当n>1时, 则考虑用n去除m. 这个过程的数学表述就是不断地做带余除法.即 • m=q0n+m0, q0Z, 0 m0 <n,由假设m0>0; • 10mk-1=qkn+mk, qk{0,1,…9}.其中mk>0,0mk<n, k=1,…n+1. • 此时, 或者有某个mk=0(有限情形), 或者mk全不为零(无限情形).

有限情形的十进小数表示 • 取满足mk=0的最小k. 即 • m=q0n+m0; 10mj-1=qjn+mj,0<mj<n, j=1,…k-1, 10mk-1=qkn. 这样 m/n=q0+ q1/10+ q2/10^2+…+ qk/10^k • 也就是m/n=q0+0.q1q2 …qk, 这自然与实数中的有限小数一致.

无限情形的十进小数表示 (I) • 当k=0,1,…n-1, mk>0时, 由于mk{1,…,n-1}, 闭存在k和j>0, mk=mk+j. 取k为这样的k中最小的k, j为使得mk=mk+j成立的最小数.这样m0,…,mk-1(如果k>0)与mk,…,mk+j-1没有相同的数并且有下面的表达式: m/n=q0+q1/10+q2/10^2+…+qk/10^k+(a1/10+a2/10^2+ …+aj/10^j+h/m1/10^j)/10^k • 其中h=mk, ai=qk+i, i=1,…,j. • 注意:h/m= a1/10+a2/10^2+…+aj/10^j+h/m1/10^j

无限情形的十进小数表示 (II) • 因此, pN, • 其中 • 如此就可以猜测到

无限情形的十进小数表示 (III) • as不会全为9, 否则由as的定义有 • 这样就有h=n, 但是,0<h<n. • 定义: q: NZ, 若ik, q(i)=qi; 若i>k, q(i)=as, 其中s: i-k=tj+s, 0<sj. 则qR. • 不难证明: m/n是{si(q) | iN}在Q中得上确界.因而可以自然地把R中的循环小数等同为某个有理数.#

sn(x)  A A若bR   

实数的运算性质的证明

实数的运算性质的证明

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