立体几何初步教学建议

1. 立体几何初步教学建议 ---学习《标准》和《人教Ａ版必修2》的体会 象山三中　　　胡庆彪

2. 一.《标准》必修中“立体几何”与原课程中“立体几何”的比较一.《标准》必修中“立体几何”与原课程中“立体几何”的比较 １．内容上的变化： (1)呈现上的变化 在内容呈现上，通过直观感知、操作确认，获得几何图形 的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。 删掉（后移）： 　　　　　异面直线所成的角的计算 　　　　　直线与平面所成角的计算 　　　　　三垂线定理及其逆定理 　　　　　二面角及其平面角的计算 　　　　　多面体及欧拉公式 增加: 　　　　　　简单空间图形的三视图； 　　　　　　台体的表面积和体积等内容。

3. (2)定位上的变化 《标准》定位于培养和发展学生： 　　　把握图形的能力 　　　空间想像能力和几何直觉的能力 　　　逻辑推理能力和合情推理能力 　　教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是： 先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认， 对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识， 在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有 关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对 性质定理加以逻辑证明。

4. 2.要求上的变化 原《大纲》对“直线、平面、简单几何体”的教学要求是（A版）： ⑴掌握平面的基础性质，会用斜二侧画法画水平放置的平 面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种 位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 ⑵掌握两条直线平行与垂直的判定定理；掌握两条直线所 成的角和距离的概念。 ⑶掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线 和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、 直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线 定理及其逆定理。 ⑷掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握二面角、 二面角的平面角、两个平行平面的距离的概念；掌握两个平面 垂直的判定定理和性质定理。 　 ⑸进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单的问题。

5. ⑹了解多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球 的概念，了解多面体的欧拉公式；会画直棱柱、正棱锥的直 观图。 ⑺通过空间图形的各种位置关系的教学，培养空间想像能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点。 《标准》对“立体几何初步”的教学要求是： 空间几何体 （1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形， 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运 用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 （2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表 示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜 二侧法画出它们的直观图。

6. （3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的 视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 （4）完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在 不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。 （5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 　（不要求记忆公式）。 点、线、面之间的位置关系 （1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面 　 的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并 　 了解如下可作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线在此平面内。 ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线。

7. 　　 ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行 ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 （２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通 过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线 与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。

8. 　　通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，　　通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理， 并加以证明。 　　◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个 平面与此平面的交线与该直线平行。 　　◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相 交所得的交线相互平行。 　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 　　◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。 　　（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的 简单命题。

9. 《标准》与原《大纲》在要求上的变化主要有：《标准》与原《大纲》在要求上的变化主要有： ⑴对于“空间几何体”： 　　原《大纲》要求：了解概念，掌握性质； 《标准》则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体 的结构特征。 《标准》把重点放在了空间想像能力上，对概念、性 质则降低了要求。 ⑵对于“点、线、面之间的位置关系”： 《标准》把重点放在了定性研究（平行和垂直）上， 定量研究(角和距离)在必修中不作要求（移到选修中）， 对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证。 分段设计，分层递进。

10. ⑶对知识发生的过程提出了较高的要求： 　　多处使用了“观察”、“认识”、“画出”、“直观感知、操作 确认，归纳”等情感、态度与价值要求的行为动词。 　　对空间几何体的要求是直观感知；对线、面关系则要求 操作确认、思辨论证；对判定定理的要求是操作确认、合情 推理；对性质定理则要求思辨论证、逻辑推理。 3.处理方法的变化 (1)从整体到局部，具体到抽象： 　　传统教材：点、线、面→柱、锥、台、球； 　　　新教材：柱、锥、台、球→点、线、面。 (2)专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点 在于培养空间想像能力。

11. (3)“点、线、面之间的位置关系”推进路线： 　　原教材：平面→线线→线面→面面； 　　新教材：平面→平行→垂直。 (4)空间几何体：强调直观感知，认识结构特征； 线、面关系：强调操作确认，学会思辨论证。 (5)线线、线面、面面关系： 原教材：判定定理和性质定理都要求逻辑推理； 对于平行与垂直，既重定性又重定量。 新教材：判定定理，要求操作确认、合情推理； 性质定理，要求思辨证论、逻辑推理。 对于平行与垂直，重在定性。 (6)不要求用反证法证明简单的问题。

12. 二．各章节教学意见 第一章　空间几何体（８课时） 1．1　空间几何体的结构（２课时） 基本要求: 理解柱、锥、台、球的结构特征。 　　了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义。 　　了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义。 　　了解简单组合体的结构特征。 发展要求: 了解和正方体、球有关的简单组合体。 能根据条件判断几何体的类型。 说明: 柱、锥、台、球的结构特征只须通过实例概括，不必证明。 　　空间几何体的性质不必深入挖掘。

13. 重点:让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、重点:让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、 球的结构特征。 难点:如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征。 教学建议: 　　新课标在几何数学中强调几何学习的直观性，强调实物、模 型对几何学习的作用。因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物 图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的 概念，进一步研究它们的结构和分类。课外可让学生动手做一做， 更直接的感受空间几何图形的特征。如建议学生用纸板或游戏棒 或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型： ⑴正方体；⑵长方体；⑶三棱锥；⑷四棱锥；⑸三棱台。 学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮 助学生逐步形成空间想像能力。

14. 1．2 　空间几何体的三视图和直观图（２课时） 基本要求： 了解中心投影和平行投影的意义。 理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图。 掌握斜二测画法，能作简单几何体的直观图。 能识别三视图所表示的空间几何体。 发展要求： 理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 说明： 对于画三视图和直观图的几何体，只要求前一节介绍的柱、 锥、台、球及它们的一些简单组合，不必研究较复杂的几何体。 重点:让学生画出组合体的三视图，用斜二测画法画空间几 何体的直观图。 难点：识别三视图所表示的空间几何体。

15. 　　教学建议： 　　先要让学生明确画好空间图形的必要性； 　　然后向学生介绍空间图形在平行投影和中心投影下的表现形式， 　　（三视图是正投影的主要应用，斜二侧画法是斜投影的应用）； 进而理解画三视图和直观图的基本要求，掌握画三视图和直观 图的基本技能，丰富学生的空间想象能力。 在三视图的教学中要通过学生的亲身体验来完成，教师应该 充分利用“探究”栏目中提出的问题，让学生在探究中学会三视图 的画法，体会三视图的作用，同时要让学生感到三视图缺乏空间 图形的立体感，为我们进一步学习直观图的画法埋下伏笔。 为突破本节的难点“识别三视图所表示的空间几何体”，先举 例分析根据三视图找对应物体，再由简单图形入手分析识别方法， 所选的例题不必太难，注意例题的梯度性。

16. 　　用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形，　　用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形， 它是画空间几何体直观图的基础。而水平放置的平面图形的画法 可以归结为确定点的位置的画法。在平面上确定点的位置我们可 以借助直角坐标系来完成，因此画水平放置的直角坐标系是学生 首先要掌握的方法。通过例题的教学使学生明确画直观图的基本 要求。 教学中可设计用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图 及几何体的三视图的问题，让学生动手去画。 让学生用所学的投影知识，解答下面的问题： 　　⑴画水平放置的正六边形的直观图；　 　⑵画一个五棱柱，其中底面五边形为正五边形，俯视图也 是正五边形；　　 ⑶已知某个简单几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的 直观图。

17. 1．3 　空间几何体的表面积与体积（２课时） 基本要求： 　　了解表面与展开图的关系； 　　了解柱、锥、台、球表面积的计算公式，并能计算一些简单 组合体的表面积； 　　了解柱、锥、台、球的体积公式，并能计算一些简单几何体 的体积。 发展要求： 　　了解柱体、锥体、台体的关系； 　　了解三棱柱和三棱锥图形的变化关系。 说明： 　　球的体积公式的推导不要求学生掌握。 重点：让学生了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积计算 　　　公式。 难点：球的表面积与体积公式的推导。

18. 　　教学建议： 应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究 展开图和表面积的关系。 对于课本通过“思考”提出的“如何根据圆柱、圆锥的几何 结构特征，求它的表面积”的问题，可以进行探究教学，充分 发挥学生的主观能动性，并进一步把它推广到圆台，并最终 把他们都统一到圆台的表面积公式下。 通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题解决中的作用。 实习作业与小结（２课时）（略）

19. 本章教学中还须重申的几个问题 本章内容与义务教育阶段学习的“空间与图形”内容相关，区 别在于学习的深度和概括程度上。 由于没有点、直线与平面的有关知识，本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上。 空间几何体的结构的教学应向学生展示大量几何体的实物、 模型并利用信息技术工具，给学生展现丰富多彩的图形世界。 　　在比较中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观认识 ，又从 比较中加深认识。 　　比较准确的画出空间几何图形是学好本章的的前提，所以应 该重视空间图形画法的教学。 　　表面积和体积的教学 重在方法：根据结构特征并结合展开图推导表面积 ；将义务段习得的体积公式推广到一般柱体、锥体的体积公式。

20. 　 第二章　点、线、平面之间的位置关系（１０课时） 2．1　空间点、直线、平面之间的位置关系（３课时） 基本要求： 　　了解平面的概念，掌握平面的画法、及表示方法。 　　了解平面的基本性质，即公理1、2、3。 　　会进行“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转化。 　　掌握空间点与直线、点与平面位置关系的分类。 　　理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线。 　　掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类。 　　理解公理4和等角定理。 发展要求： 　　会说明两条直线是异面直线。 　　初步体验将空间问题转化为平面问题的思想方法。 说明： 　 确定平面的3个推论、两条异面直线的公垂线、距离及有关概 　念不作必修要求。

21. 重点：平面的基本性质（公理1、2、3）； 　　　　直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。 难点：文字语言、符号语言与图形语言的转化； 　　　　　对异面直线的认识。 教学建议： 可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的 兴趣，然后引入最简单的几何体——长方体模型，有关点、线、 面用彩色来突出，让学生仔细的观察； 设计一些实例，再给出实物图片，，让学生觉得四个公理 确实是显而易见的； 设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信。

22. 2.2直线、平面平行的判定及其性质（３课时） 基本要求： 　　 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、 平面与平面平行的判定定理。 　　 掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理。 　　 能运用上述定理证明一些空间位置关系的简单命题。 发展要求： 　　 发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进 行交流的能力、几何直观能力。 说明：平行关系的判定定理的证明不作要求。 重点： 　　 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面 与平面平行的判定定理和性质定理。 难点： 　　 性质定理的证明，线线平行、线面平行、面面平行这 三种平行关系的联系与应用。

23. 　　教学建议： 可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习的兴趣， 让学生觉得直线和平面平行，平面和平面平行在生活中处处 可见； 长方体模型中有关点、线、面最好用彩色来突出，这样 显得更直观，让学生仔细的观察“教室”这一长方体模型和其 他长方体模型的线面的位置关系，容易得出直线和直面平行 的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平 行的性质定理，平面和平面平行的性质定理； 例题和习题的设计要有意识的考虑长方体、正方体模型 以及一些不太规则的图形。 本节四个定理的教学:

24. 先观察“教室”这一长方体模型的线面的位置关系，注意平行先观察“教室”这一长方体模型的线面的位置关系，注意平行 的情况。再请学生观察如右图所示的长方体，请填上结果： （1）如果直线BC不在平面A' ADD' 内，直线AD在平面A‘ ADD’ 内，直线 BC和直线AD的关系为，那么直 线BC与平面A‘ADD’的关系为。 （2）如果直线B ' C不在平面A'ADD‘ 内，直线A ‘ D在平面A’ ADD‘内 ，直线 B ‘ C与直线A ’ D的关系为，那么 直线B’C与平面A’ADD‘的关系为。 根据上述的探索，让学生形成 猜想，然后再归纳得到： 定理1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。

25. 先观察“教室”这一长方体模型的面面的位置关系，仍然注意先观察“教室”这一长方体模型的面面的位置关系，仍然注意 平行的情况。 再请学生观察如右图所示的长方体，请填上结果： （1）如果直线B'C∩直线BC=C， 直线BC与平面A‘ADD’的关系为 ，直线B‘C与平面A’ADD‘的 关系为，那么平面B‘BCC’与 平面A'ADD'的关系为； （2）如果直线B'C'∩直线A'B'= B'， 直线B'C'与平面ABCD的关系为， 直线A‘B’与平面ABCD的关系为， 那么平面A‘B’C‘D’与平面ABCD的 关系为。 根据上述的探索，让学生形成猜想，然后再归纳得到： 定理2 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。

26. 先观察“教室”这一长方体模型的线面的位置关系，仍然注意先观察“教室”这一长方体模型的线面的位置关系，仍然注意 平行的情况。 再请学生观察如右图所示的长方体，请填上结果： （1）如果直线B'C'∥平面A'ADD'， 且经过直线B'C'的平面A‘B’C‘D’与平面 A'ADD'交于直线A'D'，那么直线B'C‘ ___ 直线A'D' . （2）如果直线B'C∥平面A'ADD'， 且经过直线B‘C的平面A’B‘CD与平面 A'ADD'交于直线A'D，那么直线B'C 直线A'D . 一般地，……我们来研究…… 根据上述论证，我们可以得到： 定理3 如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意 一个平面与此平面的交线与该直线平行。

27. 先观察“教室”这一长方体模型的面面的位置关系，仍然注意先观察“教室”这一长方体模型的面面的位置关系，仍然注意 平行的情况。 再请学生观察如右图所示的长方体，请填上结果： （1）如果平面A‘B’C‘D’∩平面 A'ADD' =直线A'D'，平面A'B'C'D'∩ 平面B'BCC'=直线B'C'，平面A'ADD‘ 与平面B‘BCC’的关系为，那么 直线B'C'与直线A'D'的关系为； （2）如果平面A'B'CD∩平面A'ADD‘ =直线A'D，平面A'B'CD∩平面B'BCC'= 直线B‘C，平面A’ADD‘与平面B’BCC‘的 关系为，那么直线B'C与直线A'D的关系为。 一般地，…根据上述的探索，我们可以归纳得到： 定理4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。

28. 2．3直线、平面垂直的判定及其性质（３课时）2．3直线、平面垂直的判定及其性质（３课时） 基本要求： 　　通过直观感知、操作确认，归纳理解直线和平面垂直的定 义。 　　归纳出直线和平面、平面和平面垂直的判定定理。 　　掌握直线和平面、平面和平面垂直的性质定理。 　　理解直线和平面所成角的概念。 　　了解二面角及其平面角的概念。 　　能运用判定定理、性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。 发展要求： 　　发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流 的能力、几何直观能力。 说明： 　　垂直关系的判定定理的证明不作要求； 　　线面距离、面面距离的概念以及三垂线定理及其逆定理不必 补充； 　　二面角的平面角的作法仅限于用定义求作。

29. A C B 　重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、 　　　　平面与平面垂直的判定定理和性质定理。 　难点：性质定理的证明，线线垂直、线面垂直、面面垂直 　　　　三种关系的联系与应用。 　教学建议： 1．先做一个小实验，再结合长方体 模型和教室里的有关实物，正确理解 直线和平面垂直的定义。 　　小实验：如右图，拿一块教学用 的直角三角板，放在墙角，使三角板 的直角顶点C与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三 角板绕AC转动，在转动过程中，直角 边CB与地面紧贴，这就表示，AC与 地直垂直。

30. 2.在讲授直线和平面垂直的判定定理时，先引导学生观察长2.在讲授直线和平面垂直的判定定理时，先引导学生观察长 方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认的过程，由此 “抽象概括”出直线和平面垂直的判定定理，然后注意讲清两点： ⑴三个条件：直线a和直线b都在平面α内，直线a和直线b相 交，直线l与直线a和直线b都垂直。三者缺一不可。在以后的学习 中，部分学生的典型错误是：只用第三个条件，而忽视前两个条 件，就得出直线l垂直于平面α; ⑵文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”。 在此基础上，再回到长方体模型教室里的有关实物来理解直 线和平面垂直的判定定理，将更直观、更深刻。 直线和平面垂直的判定定理，只要求学生理解和应用，不要 求进行证明。

31. 3．讲清与二面角有关的概念即可，教师不能讲得太多。 4．在讲授平面和平面垂直的判定定理时，先引导学生观察长 方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认的过程，由此 “抽象概括”出平面和平面垂直的判定定理，然后注意讲清两点： ⑴两个条件：直线AB在平面β内，直线AB垂直于平面α。 二者缺一不可； ⑵文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”。 在此基础上，再回到长方体模型和教室里的有关实物来理解 平面和平面垂直的性质定理，将更直观、更深刻。 平面和平面垂直的判定定理，只要求学生理解和应用，不要 求进行证明。

32. 5．在讲授直线和平面垂直的性质定理时，先引导学生观察 长方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认、思辩论证 的过程，从而提高学生的几何的直观能力和几何的论证能力。然 后注意讲清三点： ⑴引导学生提出一般性的问题，再要求学生结合直线和平 面垂直的定义，来给出一般性的问题的证明，即直线和平面平 行的性质定理的证明。 ⑵文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”； ⑶直线l垂直于平面α，根据直线和平面垂直的定义可知，直 线l和平面α内的所在直线都垂直。 在此基础上，再回到长方体模型和教室里的有关实物来理解 直线和平面垂直的判定定理，将更直观、更深刻。

33. 6．在讲授平面和平面垂直的性质定理时，先引导学生观察 长方体模型，注重引导学生经历直观感知、操作确认、思辩论 证的过程，从而提高学生的几何的直观能力和几何的论证能力， 然后注意讲清三点： ⑴引导学生指出一般性的问题，再要求学生结合平面和平面 垂直的定义（即直二面角的定义），来给出一般性的问题的证明， 即平面和平面垂直的性质定理的证明； ⑵文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”； ⑶平面α垂直于平面β，并非两个平面内的所有直线都垂直， 它们既可能是平行直线，也可能是异面直线，还可能是相交但不垂 直的直线。 在此基础上，再回到长方体模型和教室里的有关实物来理解平 面和平面平行的性质定理，将更直观、更深刻。 7．在讲完这一节后，应该引导学生把直线和直线垂直、直线和 平面垂直、平面和平面垂直这三种垂直关系进行比较。

34. 小结（１课时）略 　　本章教学中应注意的几个问题： ①注重过程，强调新的理念与思想。 　（突出直观感知、操作确认、抽象概括等学习活动过程） ②将合情推理与演绎推理有机结合。 ③改进学习方式。 　（自主学习、合作学习、探究性学习、接受性学习合理搭配） ④注意内容与呈现的变化。 　（加强过程，合情推理；从整体到局部，采用直观感知、操作确 　　认、思辩论证、度量计算研究几何；内容删多增少） ⑤力求解题规范化 　　定理体糸化： 4个公理、9个定理； 　　　　　 　　表达数学化：借用数学记号，不用或少用汉字； 　　过程简练化：（用立几定（公）理）详写，用平几定理从简； 　　推理模块化：降维与升维，变换转化；

35. E F C B G H I D A 例1 如图，正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直， G∈AE，H∈OB，AG=DH .求证：GH∥平面EBC. 证明：作GI⊥AB于I， AG=DH，则HI⊥AB， GI∥EB EB 面EBC GI∥平面EBC GI 面EBC 同理,HI∥平面EBC 又GI∩HI=I 平面GIH∥平面EBC GH 面GIH GH∥平面EBC