VYČÍCHLOVÁ SÚŤAŽ

1. VYČÍCHLOVÁ SÚŤAŽ RIEŠENIE HORIZONTÁLNEJ ZLOŽKY MAGNETICKÉHO POĽA

2. OBSAH ● Odvodenie Biot – Savartovho zákona ● Solenoid ● Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa ● Príklad ● Výsledky numerického výpočtu ● Záver príkladu ● Literatúra

3. ODVODENIE BIOT-SAVARTOVHO ZÁKONA Magnetické pole sa prejavuje silovými účinkami jednak na vodiče pretekané makroskopickým prúdom, jednak na pohybujúce sa teleso nesúce ľubovoľný náboj, ale ma taktiež účinky na všetky druhy látok v pokoji. Podrobný kvantitatívny rozbor výsledkov jednotlivých typov experimentu dovoľuje formulovať základný definičný vzťah pre veličinu charakterizujúcu magnetické pole, ktorá sa z historických dôvodov nazýva magnetická indukcia.

4. ODVODENIE BIOT-SAVARTOVHO ZÁKONA platí, že celkovú silu pôsobiacu na časticu možno vyjadriť vzťahom Táto rovnica môže byť považovaná za definičný vzťah pre magnetickú indukciu a to i v prípade, že elektrické pole je v danom mieste nulové. Ďalšie zobecnenie dostaneme, ak namiesto jedného náboja Q budeme uvažovať pôsobenie magnetického poľa na ľubovoľný prúd popísaný prúdovou hustotou Vyšetrovanie cirkulácie indukcie vedie k vyjadreniu zákona celkového prúdu

5. ODVODENIE BIOT-SAVARTOVHO ZÁKONA Magnetický tok je definovaný vzťahom Magnetický tok ľubovoľne uzavretou plochou je nulový, teda .Pomocou matematickej analýzy to možno vyjadriť v tvare . Platnosť vzťahu ukazuje, že magnetické pole je solenoidálne. Magnetické pole možno teda vyjadriť pomocou nového vektorového poľa tzv. vektorového potenciálu magnetického poľa .Platí: . Pomocou úprav a vzťahov vektorovej analýzy sa dopátrame

6. ODVODENIE BIOT-SAVARTOVHO ZÁKONA čo je vyjadrením Biot-Savartovho vzťahu.

7. SOLENOID Pod pojmom solenoid rozumieme kruhovú cievku polomeru R, dĺžky l a N počtu závitov. Tým pádom je magnetické pole rotačné, súmerné podľa osi solenoidu.

8. SOLENOID Použitím Biotovho – Savartovho zákona je možne spočítať indukciu magnetického poľa budeným prúdom pretekajúcim týmto vodičom. Pre magnetickú indukciu v strede kruhového vodiča platí kedy po úprave pre celkovú indukciu v danom mieste osi, ktorá smeruje do stredu kruhového závitu platí

9. SOLENOID Po ďalších úpravách získame vzťah, kedy a=0 čo je prípad stredu solenoidu, potom:

10. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa Ak skrutkovica (solenoid) s celým počtom závitov N, osou totožnou s osou z a stredom v začiatku súradnicovej sústavy má parametrickú rovnicu, potom po úpravách Biot-Savartovho vzťahu získame jednotlivé zložky v tvare:

11. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa ktoré riešenie bolo hlavným cieľom tejto úlohy.

12. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa Z nepárnosti prvého integrálu v premennej t vyplýva, že jeho riešenie bude nulové. Na riešenie druhého integrálu sa použila nasledujúca úvaha, kedy v čitateli sa funkcie sin(t) a cos(t) rozvinuli v radu:

13. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa Menovateľ sa vyjadrí pomocou binomickej rady, t.j. Ďalší postup spočíval v prenásobení rady radou a to pomocou Cauchyho súčinu, t.j. Po tomto kroku sa dostávame k riešeniu

14. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa

15. Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa Výpočet posledného integrálu spočíval v substitúcií Po úpravách a riešení integrálu získame výsledok v tvare

16. PRÍKLAD Predchádzajúce tvrdenia si overme na príklade. Vypočítajme indukciu magnetického poľa v strede solenoidu dĺžky l = 1m, s počtom závitov N = 2000 a polomerom R = 2cm, keď závitom preteká prúd veľkosti I = 5A. Podľa vzťahu Riešením je výsledok že B = 4π10-3 T čo je približne 0,01257 T. Z riešenia integrálu Bz vyplýva Bz= 0,01256, no pri riešení integrálu By vznikol problém, kedy po vyjadrení integrálu z-ovej zložky magnetickej indukcie pomocou postupu uvedeného vyššie a po následnom dosadení hraníc integrálu t = <-Nπ, Nπ> zistíme, hodnota výsledku je príliš veľká (jej hodnota dosiahne hodnotu e+11) a spôsobená buď zlým zvoleným postupom výpočtu, prípadne hrubou chybou.

17. PRÍKLAD Priklonil som sa k variante, kedy výpočet tohto integrálu analytickým spôsobom nie je možný a volil som numerický spôsob výpočtu. Medzi numerické metódy patrí napr.: • Obdĺžniková • Lichobežníková • Simpsonová

18. PRÍKLAD Iný problém nastal pri výpočte odhadu chyby Simpsonovej metódy, kedy výpočty a graf na intervale –pi, pi ukázali, že odhad je nereálny a Tailorov rozvoj je možný len v okolí počiatku.

19. PRÍKLAD

20. ZÁVER PRÍKLADU Z výsledkov výpočtu vyplýva, že lichobežníková a obdĺžniková metóda pri veľkom rozdelení n podávajú približne rovnaké výsledky. Ďalej, výsledky poukázali na fakt, kedy pri veľkom N je výsledok výpočtu simpsonovou metódou väčší ako by mal byť, čo potvrdzuje nevhodnosť použitia tejto metódy.

21. VYUŽITIE MAGNETICKÉHO POĽA • Magnetické pole ma nepriamy vplyv aj na merania spojené s geodetickou činnosťou. Súvis magnetického poľa sa dáva dokopy nájme s banským meraním, resp. meraním uhlov magnetickými prístrojmi. Magnetické meranie uhlov sa dnes už len ojedinele používa pri meraní banských polygónových ťahov.

22. VYUŽITIE MAGNETICKÉHO POĽA • Ďalšie využitie, napríklad v medicíne (magnetoterapia) užíva nízkofrekvenčné pulzné magnetické pole apod.

23. LITERATÚRA • [1] Hrkota, K.: K meraniu magnetického poľa Zeme podľa prepracovaného vydania učebnice: Fyzika pre 3. ročník gymnázií. Publikácia v časopise: OBZORY MATMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 3/2004 (33). • [2] Sedlák, B. – Štoll, I.: Elektřina a magnetismus, ACADEMIA, Praha 2002 • [3] Kočandrlová,M.: Úvod do integrálního počtu, Študijný text pre obor G+K, Praha 2004;

24. VYČÍCHLOVÁ SÚŤAŽ VĎAKA ZA POZORNOSŤ !! Vyhotovil: ELIAŠ Michal Email: misko_elias@yahoo.com