התארגנות עצמית או סיפורן המופלא של מולקולות סבון

1. התארגנות עצמית אוסיפורן המופלא של מולקולות סבון

2. השפעת סבון על מתח הפנים של מים • למים יש מתח פנים גבוה – מתח הפנים של מים ביחס לאוויר גדול פי 2 מזה של שמן ביחס לאוויר! מה הסיבה לכך? נבחן את פרמטר האינטראקציה J במערכת בינרית של: מים-אווירשמן- אוויר JWA = 2EWA - EAA - EWW = JOA = 2EOA - EAA - EOO = JWA = 0- 0- EWW = - EWW JOA = 0- 0- EOO = - EOO J של מערכת מים-אוויר חיובי הרבה יותר מאשר J של שמן-אוויר. • למולקולות סבון יש ראש הידרופילי שנמשך למולקולות המים, וזנב הידרופובי שמופנה כלפי הפאזה השנייה (אוויר או שמן). בצורה כזו, שטח הפנים הופך "שומני" במקום מימי, ואנרגית פני השטח קטנה. • לכן, מולקולות סבון מתמקמות בפני השטח ובתהליך הכיסוי המהיר הן יכולות אפילו "לדחוף" סירה כפי שראינו בניסוי.

3. קבוצת החומרים ה"סבוניים" ראש הידרופילי • הסבון שייך למשפחה של חומרים שנקראת סורפקטנטים (Surfactants) או חומרים פעילי שטח (חפ"שים). • חומרים אלה מתמקמים בממשק שבין שתי פאזות ומקטינים את מתח הפנים. • המבנה הכימי של החומרים כולל זנב הידרופובי שעשוי משרשרת פחמימנית, וראש הידרופילי שהוא לרוב יון טעון במטען שלילי. • בגלל המבנה ה"דו-פרצופי" של המולקולות נתנו להם את השם אמפי-פיליים (amphiphlies) שמשמעותו "אוהבי-שניים". • שמות שונים לקבוצת החומרים דמויי סבון: אמפיפיליים, חפ"שים, סורפקטנטים. זנב הידרופובי

4. מדוע מולקולות המים נמשכות ל"ראש" ולא ל"זנב"? ה"ראש" גם הוא מקוטב טעון במטען שלילי מולקולות המים הן מקוטבות: Na+ מטענים מנוגדים נמשכים זנב הידרופובי

5. מולקולות חפ"ש במים • נניח מערכת שבה יש הפרדות פאזות בין פאזה שהיא ברובה מימית לפאזה שהיא ברובה שומנית • מה קורה לאנרגיה החופשית של הממשק אם נוסיף חפ"ש לממשק? • מולקולות חפ"ש מכסות את פני השטח ובכך מקטינות את האנרגיה החופשית של הממשק. • מה קורה למולקולות החפ"ש שאין להן מקום בפני השטח? האם הן תתערבבנה עם המים? • למולקולות החפ"ש יש אפשרות להתארגן במבנה מאורגן, המאפשר להסתיר את הזנב ההידרופובי מהמים ובכך להוריד את פרמטר האינטראקציה עד קרוב לאפס. • דוגמא למבנה שכזה - "מיצלה" (micelle). חתך רוחב במבנה של מיצלה כדורית

6. מבנים שיוצרות מולקולות חפ"ש קיימים מבנים שונים ומשונים של התארגנות עצמית של מולקולות חפ"ש: גליל מיצלה "שעירה" מיצלה דמוית דיסקה (צילינדר) (מיצלה הפוכה) (פיתה) מבנה דמוי ספוג מבנה דו-שכבתי (לָמֶלָה) bilayer שלחופית vesicle

7. מדוע חשוב לחקור את הנושא? • מולקולות חפ"ש יכולות לשמש כאריזה מסיסה במים עבור חומרים שאינם מסיסים במים כמו חומרים שמנוניים, ננו-חלקיקים שעשויים ממתכות ועוד. מבנה כאלה נקראים ליפוזום (Liposome) או שלחופית (Vesicle). • חקר ההתארגנות העצמית של מולקולות חפ"ש הוא בסיס להתארגנות עצמית מורכבת יותר הקיימת במערכות ביולוגיות, לדוגמה: • קרום התא (הממברנה) הוא מבנה של מולקולות הנקראות ליפידים (או פוספוליפידים) הדומות למולקולות הסבון בצורתן, אך יש להן שני זנבות פחממניים. מולקולות אלו נוטות ליצור מבנה של שכבה כפולה הנקראת למלה ונראית כמו ממברנה. מיצלות למלה חפ"ש פוספוליפיד

8. איך אפשר לזהות מיצלות? • מכיוון שהמבנים של מולקולות חפ"ש נמצאים בנוזל ונעים כל הזמן, זיהוי המבנים של המיצלות והממברנות הוא מורכב. דרך אחת לעשות זאת היא: • cryo-TEM – קירור מהיר של המים והמיצלות בתוכן, וסריקת שכבת המים הקפואה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרוני. (הקירור חייב להיות מהיר כדי ל"הקפיא" את התמונה ולא לאפשר למולקולות המים להתגבש – נוצר מצב "זכוכיתי"). מיצלה

9. נתרכז במיצלות ראינו שישנם הרבה מיבנים של התארגנות עצמית של חפשי"ם במים. אנו נחקור באופן כמותי רק סוג אחד של התארגנות עצמית: מיצלות כדוריות בשלב ראשון, נבחן באופן איכותי, מה משפיע על צורתה וגודלה של המיצלה.

10. מה מכתיב את גודל המיצלה? • במיצלות קיים איזון בין כוחות דחייה הקיימים בין ראשי מולקולת הסבון (לרוב מטען קבוצת הראש הוא שלילי אך גם אם המטען חיובי תהיה דחייה), ובין כוחות משיכה שמקורן בנטייה של זנבות המולקולה ללחוץ את הראשים אחד אל השני כדי למסך את המים. (האפקט ההידרופובי) • מהאיזון בין הכוחות ניתן לחשב שטח אופטימלי לקבוצת הראש שיאזן בין המשיכה והדחייה. • גורם נוסף המשפיע על גודל המיצלה הוא אורך הזנב: זנבות ארוכים תופסים נפח גדול יותר מאשר זנבות קצרים יותר. • בדרך כלל – מספר מולקולות הסבון פר מיצלה הוא קבוע. מרחק מאזן בין משיכה לדחייה זנבות ארוכים זנבות קצרים

12. האם בכל תמיסה נוצרות מיצלות? לא! מסתבר שהדבר תלוי בריכוז מולקולות הסבון במים. בריכוזים נמוכים של מולקולות סבון – לא יווצרו מיצלות. בריכוז נמוך - מערכת ללא מיצלות מערכת עם מיצלות בריכוזים גבוהים

13. נתחיל בניסוי • בתוך 5 ויילים, מכינים תמיסות עם ריכוזים שונים של חפ"ש במים • מוסיפים לכל תמיסה כמות זהה של תמיסת צבע בציקלוהקסן. • בודקים איזו תמיסה צבועה ואיזו תמיסה נשארה חסרת צבע.

14. מה ראינו בניסוי? • הוספנו לכל התמיסות כמות זהה של צבע צהוב הנמס בחומר שומני ולא במים. • בריכוזי סבון גבוהים, התמיסה נעשתה צהובה אך בריכוזי סבון נמוכים התמיסה לא נצבעה כמעט בכלל! מולקולות צבע במיצלה

15. מה המסקנה? • בכמויות קטנות של סבון אין אפשרות לחומר שומני להיכנס אל המים. • מריכוז סבון מסויים, בתוך המים ישנה התארגנות של מיצלות המאפשרת לחומר שומני להתמוסס בהן.

16. הסבר תיאורטי לתופעה שראינו ראינו שריכוז מולקולות הסבון משפיע באופן משמעותי על צורת ההתארגנות שלהן. נקרא לערך הריכוז בו ההתארגנות במיצלות הופכת להיות משמעותית :הריכוז הקריטי ליצירת מיצלות או CMC=Critical Micelle Concentration נשאל שתי שאלות: • מדוע חל שינוי חד בצורת ההתארגנות של מולקולות הסבון בCMC? • מהו הקשר כמותי בין תכונות מולקולת הסבון והממס ובין ה-CMC?

17. כנראה כך "משתלם יותר", מבחינת השינוי באנרגיה החופשית: F = E - TS מבחינה איכותית, מה אנו יודעים? מהו השינוי באנטרופיה? כאשר מולקולות הסבון מתפזרות באופן חופשי, זהו מצב יותר מבולגן, שיש לו יותר אפשרויות סידור, לכן יש לו אנטרופיה גבוהה יותר והשינוי באנטרופיה יהיה שלילי. מהו השינוי באנרגית האינטראקציה? כאשר מולקולות הסבון מתארגנות במבנה כדורי, אנרגית האינטראקציה הגבוהה שבין הזנבות לבין המים מתבטלת, ולכן מבחינת אנרגית האינטראקציה, המיצלות מועדפות. לכן, השינוי באנרגית האינטראקציה יהיה שלילי. כלומר, כאשר הרווח באנרגית האינטראקציה גובר על ההפסד באנטרופיה, המולקולות יעדיפו להתארגן במיצלות. מדוע המערכת עוברת מתמיסה שרובה מולקולות בודדות לתמיסה שרובה מיצלות?

18. האנטרופיה של תמיסת מולקולות בודדות כאשר מולקולות הסבון מפוזרות בצורה של מולקולות בודדות, ניתן להתייחס למערכת של סבון ומים כאל תערובת בינרית, כמו שלמדנו במפגשים קודמים: חלקיק כחול – מייצג מולקולת מים חלקיק ירוק – מייצג מולקולת סבון. לכן, בקירוב ניתן לקבל את האנטרופיה של המערכת באותה דרך שכבר חישבנו בעבר: ∆Ssingle =- kBN(cslncs+(1-cs)ln(1-cs)) להזכירכם: csi= חלק יחסי של מולקולות הסבון מכלל המולקולות במערכת: חלק יחסי של מולקולות המים =1 – csi

19. האנטרופיה של תמיסת מיצלות כאשר מולקולות הסבון יתארגנו בצורה של מיצלות, ריכוז המיצלות במים קטן יותר מריכוז מולקולות הסבון הבודדות. נגדיר:cm ריכוז מולקולות הסבון הבודדות (מכלל המולקולות בממס) שהתארגנו במיצלות. אם נניח שמספר מולקולות הסבון במיצלה הוא קבוע=n מכאן שריכוז המיצלות מכלל המולקולות בממס הוא cm/n לדוגמה: אם ריכוז הסבון הוא 0.05 ומספר המולקולות במיצלה הוא n=50 אז ריכוז המיצלות הוא: cm/n=0.05/50=0.0001 האנטרופיה של תמיסה בה יש מיצלות בלבד: בגלל ש- cm/nקטן מ-cm, האנטרופיה כאן קטנה יותר מאשר האנטרופיה של מולקולות בודדות.

20. אינטראקציה של מולקולות סבון עם מים נשים מולקולת סבון בסריג שבו כל תא (אלמנט נפח) יכול להכיל: • "ראש" הידרופילי • יחידת CH2או CH3 • מולקולת מים • יון Na+ 3 קיימים שלושה פרמטרי J על הסריג: • Ja – אינטראקציה בין "ראש" למולקולת מים • Jb– אינטראקציה בין יון Na+לבין מולקולת מים • Jc – אינטראקציה בין יחידת CH2או CH3 למולקולת מים

21. פרמטר האינטראקציה של מולקולת הסבון למעשה, ניתן להניח שיש רק שני פרמטרים במערכת: • Jb = Ja– האינטראקציות בין אזורים הידרופיליים הן כמעט זהות וניתן להתייחס אל פרמטר האינטראקציה בין אזורים אלה כזהה (בדומה למה שעשינו במערכת של אתאנול ומים). • Jc – אינטראקציה בין יחידת CH2 או CH3 למולקולת מים. בדף העבודה, נחשב את J1 – פרמטר האינטראקציה הכולל של מולקולת סבון אחת עם מים, כסכום האינטראקציות במערכת בה מולקולת סבון אחת CH3(CH2)9COONa מוקפת במולקולות מים (כמו בציור). מניחים שרק שכנים קרובים תורמים לאינטראקציה.

22. מודל לאינטראקציה של מערכת סבון-מים במודל שלנו אנחנו מניחים: 1. במצב של מולקולת סבון בודדת, האינטראקציה של הזנב ההידרופובי עם המים גורם ל- J1 חיובי(*). 2. במצב בו מולקולת סבון נמצאת בתוך מיצלה ורק הצד ההידרופילי (אוהב מים) פונה לכוון מולקולות המים, הפרמטר J נמוך מאד (J=0). שימו לב: למרות שיש רק שני מרכיבים במערכת (סבון ומים) קיימים שני פרמטרים שונים של אינטראקציה: מים ומולקולות בודדות Jsingle=J1 מיםומיצלותJmicelle=0 (*)הערה: במצב בו ריכוז מולקולות הסבון הוא נמוך, לא סביר שלמולקולות הסבון בודדות יהיו אינטראקציות בינן לבין עצמן.

23. בשווי משקל יש גם מולקולות סבון בודדות וגם מיצלות, השאלה איזה משני המצבים הוא הדומיננטי?

24. "תחרות" בין מיצלות ומולקולות בודדות • כאשר מוסיפים סבון למים חלקו מסתדר במיצלות וחלקו נשאר בצורת מולקולות בודדות. • האנרגיה החופשית של מערכת כזאת כוללת אנרגיה חופשית של מיצלות ושל מולקולות בודדות. • כדי לנתח את האנרגיה החופשית מבלי לכתוב ביטויים מתמטיים ארוכים מידי, נבחן את התרומה לאנרגיה החופשית ממיצלות ואת התרומה של מולקולות בודדות - נבחן כל מקרה בנפרד. • לאחר מכן, נשווה בין השינויים באנרגיה החופשית של מיצלות לעומת מולקולות בודדות ונראה מתי נקטין יותר את האנרגיה החופשית: כאשר נוסיף למערכת מולקולה בודדת? או כאשר נוסיף מולקולת סבון למיצלה?

25. הנחות נוספות במודל בהמשך הפיתוח, נבחן מערכת שיש בה מולקולות סבון בודדות ומולקולות סבון המאורגנות במיצלות. מכיוון שתמיד נתייחס להפרשים באנרגיה החופשית, נוכל להזניח גם את כל הפרמטרים שאינם משתנים בין מערכת המכילה מולקולות בודדות של סבון, או מיצלות: • השינוי באנרגיה הקינטית של חלקיקי המערכת זהה בשתי המערכות, כי התהליך איזותרמי. • השינוי באנטרופיה של זנבות המולקולה הוא זהה: בקירוב לא רע ניתן לומר שלזנב אותו מספר המצבים של קיפול בין אם הוא שייך למולקולה בודדת ובין אם הוא שייך למולקולה בתוך מיצלה. • מתייחסים רק לפרמטר האינטראקציה הכולל J1 שחושב עבור מולקולת סבון בודדת עם המים ומזניחים את האינטראקציה בין מיצלות למים מפני שהיא נמוכה הרבה יותר.

26. אנרגיה חופשית של ערבוב • כפי שעשינו בעבר, נרצה לראות מה יהיה השינוי באנרגיה החופשית של הסבון כאשר מערבבים אותו עם מים. • נרצה לחשב: ∆f = ffinal – finitialשבו המצב הראשוני הוא מצב של סבון ומים בנפרד, והמצב הסופי שהסבון והמים מעורבבים. • השינוי באנרגיה החופשית (פר חלקיק) עבור המערכת : • ריכוז מולקולות הסבון הכולל הוא סכום הריכוזים של המולקולות במיצלות והבודדות: שימו לב: הסימון ב-f קטנה מבטא אנרגיה חופשית לחלקיק ולא לכלל המערכת

27. אנרגיה חופשית של מולקולות סבוןבודדות בשלב ראשון נגדיר את האנרגיות החופשיות של מולקולות הסבון במים. נשתמש באותו ביטוי שפותח במערכת בינרית, עם שתי התאמות: • הצבת פרמטר האינטראקציה של מולקולת סבון בודדת עם מים = J1 • התרומה לריכוז מהחלק של מולקולות הסבון הבודדות בלבד:cS ∆fSingle=2J1cS (1-cS)+ kBT(cSlncS+(1-cS)ln(1-cS))

28. ערבוב של מולקולות סבון בודדות במים • ראינו שלמרות שיש למולקולות הסבון צד אוהב מים, האינטראקציה הכוללת של הסבון עם המים היא אינטראקציה של דחייה, עם J1חיובי. • לכן, אילו המולקולות לא היו מתארגנות במבנים, הייתה נוצרת הפרדת פאזות בטמפרטורות נמוכות. סבון מתערבב בריכוז נמוך • אבל, בריכוזים נמוכים מספיק, מולקולות הסבון הבודדות מתערבבות במים, גם ללא היווצרות של מיצלות, כפי שניתן לראות בדיאגרמת הפאזות. מצב מעורבב הפרדת פאזות

29. התמקדות בריכוזי מולקולות סבון נמוכים • מכיוון שמולקולות הסבון מתערבבות בריכוזים נמוכים בלבד. נתמקד מעתה רק בתערובות בהן ריכוז מולקולות הסבון קטן מ-7% (c < 0.07) • כלומר נתמקד בחלק השמאלי ביותר של הגרף: מדוע זה חשוב? כי כך נוכל לבצע קירוב נוסף ולקבל פשוט יותר לאנרגיה החופשית!

30. אנרגיות חופשיות בריכוזי סבון נמוכים בדרך כלל ריכוז הסבון במים נמוך מאד. בריכוזים נמוכים ניתן לקרב את הביטוי: בדקו עבור c = 0.01 גם הביטוי c(1-c) מצטמצם פשוט ל-c כי: בדרך כלל ריכוז הסבון במים נמוך מאד. בריכוזים נמוכים ניתן לקרב את הביטוי: בדקו עבור c = 0.01 גם הביטוי c(1-c) מצטמצם פשוט ל-c כי: אם נשתמש בקירובים אלו עבור הנוסחא לאנרגיה חופשית: נקבל את הביטוי הבא לאנרגיה החופשית:

31. אנרגיה חופשית של מיצלות במים האנטרופיה של תמיסת המיצלות היא: כיוון שהאינטראקציה של המיצלות עם המים זניחה: האנרגיה החופשית לחלקיק במערכת ובה רק מולקולות סבון מאורגנות במיצלות: 0 תרגיל, מהו הקירוב לביטוי האנרגיה החופשית של מיצלות בריכוזים נמוכים?

32. כיצד נשווה בין שתי המערכות? • כיצד נדע אם עדיף למולקולות הסבון ליצור מיצלות או להתערבב במים כמולקולות בודדות? • היחס בין המערכות מתקבל מתנאי שיווי משקל: האנרגיה החופשית הכוללת צריכה להיות מינימלית! • איך זה קורה במערכת שמורכבת למעשה משתי מערכות? • המערכות בשיווי משקל אם כאשר מולקולה בודדת מצטרפת למערכת המיצלות השינוי באנרגיה החופשית שלה כתוצאה מירידה באינטראקצית הדחיה של מולקולה בודדת במים, זההלשינוי באנרגיה החופשית כתוצאה מירידה באנטרופיה שלה! כדאי לי להצטרף? גם אם החופש שלי יאבד? איזה כיף לנו, אף אחד לא דוחה אותנו, מסודר כאן וכולם רגועים

33. מה קורה במערכת בשיווי משקל? המערכת בשיווי משקל לא קפואה, ויכולים להיות מעברים בין מיצלות ובין מולקולות בודדות. בשיווי משקל, השינוי באנרגיה החופשית של המולקולה הבודדת זהה במערכת של מולקולות בודדות ובמערכת של מולקולות סבון במיצלות

34. שיפוע גרף האנרגיה החופשית • מתמטית, תנאי שיווי המשקל בין המערכות הוא: ששינוי האנרגיה החופשית ביחס לשינוי בריכוז צריך להיות זהה בשתיהן, שינוי זה הוא שיפוע הגרף: • בריכוזים נמוכים, שיפוע הגרף של המולקולות הבודדות שלילי יותר (מסומן באדום ולכן משתלם למולקולות להישאר בודדות, כי השינוי באנרגיה החופשית גדול יותר. בתחום זה יש מעט מאוד מיצלות. • כאשר השיפועים משתווים זוהי נקודת ה- cmc.

35. הריכוז הקריטי ליצירת מיצלות • בריכוזים נמוכים לא משתלם למערכת ליצור מיצלות, אך החל מריכוז מסוים יצירת המיצלות הופכת משתלמת יותר, ורוב המולקולות יתארגנו במיצלות. ריכוז זה נקרא הריכוז הקריטי ליצירת מיצלותcmc = critical micelle concentration)) • בריכוזים נמוכים מהריכוז הקריטי, • הגדלת ריכוז מולקולות הסבון מגדיל בעיקר את ריכוז המולקולות הבודדות. • בריכוז הקריטי מוגדר כריכוז שבו ריכוז המולקולות הבודדות שווה לריכוז מולקולות הסבון במיצלות: • csinglemolecule= cmicelle • כדי למצוא את ה-CMC צריך להחיל את תנאי שווי המשקל של שוויון הנגזרות ולהגדיר שריכוז המולקולות הבודדות והמולקולות במיצלות שווים

36. מציאת הCMC מתוך הגרף • מכיוון שב-CMC ריכוז המולקולות שבמיצלות שווה לריכוז המולקולות הבודדות, ניתן להציב שתי העקומות יחד בגרף אחד • csingle = cmicelle. • הריכוז בו הנגזרות (שיפועי הגרף) שוות הוא ה-CMC.

37. הגורמים המשפיעים על הריכוז הקריטי • ניתן לקבל ביטוי לריכוז הקריטי (דרך החישוב מופיעה בנספח) כתלות במשתני הבעיה: • להזכירכם, e הוא הבסיס הטבעי של פונקצית הלוג וערכו e = 2.71 • מכיוון של-e חזקה שלילית, ככל שהיא גדולה יותר הריכוז יהיה נמוך יותר. לכן: • כאשר J1של מולקולת סבון הוא מספר גדול, הריכוז הקריטי יהיה קטן והמולקולות יעדיפו ליצור מיצלות גם בריכוז נמוך. J1 גדול גם מתקבל כאשר ה"זנב" של הסורפקטנט הוא ארוך מאוד. • כאשר הטמפרטורה גבוהה החזקה תהיה נמוכה, כלומר הריכוז הקריטי יהיה גבוה יותר תהיה העדפה למולקולות בודדות בטמפרטורה גבוהה.

38. דיאגרמת פאזות של מולקולות אמפיפילויות • הריכוז הקריטי אינו מעבר פאזה של המערכת, שכן מולקולות בודדות קיימות עדיין בתמיסה והיא לא עברה כולה למיצלות. לכן בדיאגרמת הפאזות, הוא מופיע בתור קו מקווקו. • 2. לעומת זאת, קיימת טמפטורה קריטית שמתחתיה תיפרד המערכת לשתי פאזות (הסבון יהיה מוצק בד"כ), • זוהי טמפרטורת • KRAFT שסימונה TK • 3. למולקולות סבון • מסוימות יש אפשרות • ליצור מבנים מסוגים • שוניםכאשר הריכוז גבוה • גם הם מופיעים בדיאגרמה CMC

39. שימושים של תמיסות של סבון • מולקולות הסבון משמשות לניקוי, והן עושות זאת על ידי "עטיפה" של לכלוכים שמנוניים לשם המסתם במים. • מבנה של מולקולות סבון העוטפות טיפה שמנונית נקרא אמולסיה. (Emulsion) • גם את מבנה האמולסיה ניתן לחשב, את כמות הסבון הדרושה ואת מבנה המולקולה הנחוצה. • זה יכול להיות נושא לפרוייקט של אחד מכם לכלוך מולקולות סבון אמולסיה

40. חישוב הריכוז הקריטי (נספח) בריכוז הקריטי,קיים שוויון בין ריכוז המולקולות במיצלה ובין ריכוז המולקולות הבודדות, כך ש: cS=cM לכן מכאן ואילך נתעלם מהאינדקסים ונגדיר ריכוז c שהוא גם ריכוז המולקולות הבודדות וגם ריכוז המולקולות במיצלות. • תנאי שיווי המשקל מתקבל משוויון הנגזרות של האנרגיה החופשית. • הנגזרות הן: ∆fSingle= 2cJ1 + kBT(clnc-c)

41. חישוב הריכוז הקריטי (נספח) כדי למצוא את הריכוז הקריטי נשווה בין הנגזרות ונמצא ביטוי ל-c: נחלק בkBT ונעביר אגף: נכפיל ב-n נשתמש בכללי הלוגריתם: נעלה את שני הצדדים בחזקת e:

42. חישוב הריכוז הקריטי (נספח) קיבלנו: אם מספר מולקולות הסבון במיצלה n גדול בהרבה מ-1 ניתן לקרב: ולקבל ביטוי פשוט יותר עבור c: כאשר n מספר גדול, 1/n הוא שבר קטן קרוב לאפס לכן: