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21.5 三重积分

第二十章 重积分. 21.5 三重积分. ( 一 ) 教学目的： 掌握三重积分的定义和性质 ． ( 二 ) 教学内容： 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换 ． 基本要求： 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．. §5 三重积分. 一、三重积分的定义. 二、三重积分的计算. 三 、 三重积分换元法. 一、 三重积分的概念. 问题的提出. 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z ).

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21.5 三重积分

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Presentation Transcript

  1. 第二十章 重积分 21.5 三重积分

  2. (一) 教学目的： 掌握三重积分的定义和性质． (二) 教学内容： 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求： 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．

  3. §5 三重积分 一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三、 三重积分换元法

  4. 一、三重积分的概念 问题的提出 设空间立体 V的密度函数为 f ( x, y, z ) 求立体 V的质量 M 为了求 V的质量，仍采用：分割、近似代替、 求和、取极限四个步骤. 首先把 V分成 n个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积 记为

  5. 其次在每个小块Vi上任取一点 则Vi的质量 然后对每个小块Vi的质量求和： 最后，取极限 其中

  6. 定义 1 设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积 的有界区域 V上的有界函数, 把 V任意地分成 n个小 区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积记为 记 在每个小块Vi上任取一点 若极限 存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V上可积，并称此极限为 f ( x, y, z ) 在 V上的三重积分，记为 或

  7. 三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质. 例如 V的体积

  8. 定理 设 在长方体 上可积，并且 含参变量积分 存在，则

  9. 即三重积分的计算可采用先计算一个定积分再计算一个二重积分的方法。即三重积分的计算可采用先计算一个定积分再计算一个二重积分的方法。 三重积分的计算也可以采用先计算一个二重积分再计算一个定积分的办法： 前面讨论了长方体上的三重积分的计算方法，下面考虑一般区域上三重积分的计算。

  10. 二、化三重积分为累次积分 设 f ( x, y, z ) 在长方体 上连续，则

  11. 设 则

  12. 例.计算 其中V为三个坐标 面及平面 所围成的闭区域 . 解

  13. 计算 例1 其中 V为由平面 x = 1, x = 2, z = 0 y = x, z = y所围的区域. 解

  14. 若 V可以表示为： 则三重积分可采用先在区域 Dz上计算二重积分， 再计算一个定积分的方法来计算

  15. 例. 计算 其中 V是椭球体 解:

  16. 计算 例3 其中 V是椭球体 解

  17. 二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分．

  18. 得 是 x、y的函数。

  19. 注意

  20. 得到 事实上， 三重积分化为三次积分的过程：

  21. 得到 事实上，

  22. 得到 事实上，

  23.  z  dz dx dy y x 0 §9-3. 三重积分 当   R3，有 X=(x, y, z) , d = dv 三重积分 则 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz 则

  24. z z=z2(x, y) y z=z1(x,y) D x 0 (1) 化成一个定积分和一个二重积分 y=y2(x) a b y=y1(x) 设 D 为  在 xy 平面上投影区域. 思考问题

  25. z x+y+z=1 y 0 1 y x+y=1 D x x 1 例1.计算 其中是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解：D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1

  26. 例1 计算三重积分 ，其中 为三个坐标 面及平面 所围成的闭区域. 解 得到 于是，

  27. z 解：D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤  x 0 y y D x 0 例2.计算 其中  是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0,

  28. z y=y2(x, z) y=y1(x, z) Dxz y 0  x

  29. z  Dyz y 0 x x=x1(y, z) x=x2(y, z)

  30. z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x 化为三次定积分，其中 例3. 将  是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影. x2+y2=1 z= x2+y2  z=1 z=1 D: x2+y2≤1

  31. z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x

  32. z Dxz y 1 0 1 x 解2：先对 y 积分，将  向 xz 平面投影： z= x2+y2 z=1 Dxy: x2 ≤z ≤1,  1 ≤x≤1 z= x2+y2 思考问题 先对 x 积分，怎样做？

  33. z z2  z D(z) z2 y 0 x (2) 化为一个二重积分和一个定积分  :(x, y)D(z), z1≤z≤z2

  34. z 1 D(z) y 0 1 x 例4.计算 其中  是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. 解：D(z): x2+y2≤z z[0, 1]

  35. z 1 1 0 y y 1x z=1xy x 1 D(x) x 0 1x 例5.计算 其中  是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解：D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤1xy x : 0 ≤ x ≤ 1

  36. 例 3 计算积分 积分区域 V 为椭球体 解 积分区域如图，

  37. 类似地，有 所以

  38. 过点 与椭球截得的截面 是 平面上的椭圆： 作垂直于 轴的平面 另解 此椭圆的面积为： 于是

  39. 例2 化三重积分 为三次积分， 其中积分区域 为由曲面 及 所围成的闭区域. 解 得交线投影区域

  40. 例3 计算三重积分 。 其中 ：平面 及 所围成的闭区域. 解：

  41. 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如在Z轴）投影，得投影 区间； (2) 对 用过Z轴且平行平面XOY的平面去截 ，得截面 ; (3)计算二重积分 其结果为Z的函数f(z)； (4) 最后计算单积分 即得三重积分值.

  42. 例4 计算三重积分 其中 是由椭球面 所成的空间闭区域. 解: 原式

  43. 因此， 原式

  44. 例5 计算三重积分 ，其中 由曲 面 ， ， 所围成 解：如图,将 投影到在ZOX平面得 先对y积分，再求 上二重积分,

  45. 三、三重积分换元法

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