第三讲 : 初等分析模型 ( 续 )

1. 第三讲: 初等分析模型(续) 冯永平 ffyyppmath@163.com

2. (三) 几何分析法 实例四: 动物的身材与体重 【问题】假如你现在某一生猪收购站实习，站长希望你帮助他能够从生猪的身长（头尾不算）估计出它的体重来。 【分析】一种办法是对一批生猪（数量要足够多）一一记录下它们的身长与体重，然后用统计的办法找出身长与体重的关系。现在我们希望不仅得到生猪身长与体重的关系，而且得到对所有四足动物都适用的估计公式，这就要另辟途径了。如果我们对动物的生理结构进行生物学上的复杂研究，将很难得到有使用价值的模型来。其实，体重与体积成正比，体积与身长有什么关系？另外请想象一下，动物的四足支撑着的躯干，象不象一根圆的横梁？

3. 【假设】 1).四足动物的躯干是一圆柱体，设长为l,直径d,横断面积s；（简化假设） 2). 躯干是一支撑在四肢上的弹性梁，在体重f 的作用下其最大下垂度（挠度）为b；（类比假设） 3). 对同一种动物而言，躯干的相对挠度b/l是一常数。（生物进化假设，b/l太大将导致四肢无法支撑，太小则是一种浪费） 【建模】因为体重f与体积v成正比，而v = sl =π(d/2)2 l ,所以 我们的目标是找出f与l的比例关系，下面只需先找出d与l的关系即可。 由假设2及弹性梁的理论，挠度与梁的重量及长度的立方成正比，与梁的横断面积及直径的平方成反比，故有 图 四足动物躯干示意图

4. 但 ，所以 再由假设3，b/l为常数，从而l3/d2亦为常数，可得 将上式代入即得 (5) 即四足动物的体重与身长的4次方成正比。其比例系数仍需由统计数据确定。

5. (四) 逻辑分析法 实例五: 核军备竞赛 • 建模准备： (核)军备竞赛是否会无限扩张？ 是否存在暂时的平衡状态？ 这一平衡状态下双方拥有的核武器数量各是多少？ 这些核武器数量受哪些因素影响？ 平衡状态可能发生的变化方向？ • 模型假设： 双方采取同样的核威慑战略： 1、对方可能发起第一次核打击，倾其全部核导弹攻击另一方核导弹基地； 2、另一方在经受对方第一次核打击之后，应有足够的核导弹能给予对方毁灭性的打击。

6. 模型分析、构造 设x=g(y)、y=f(x)分别为甲、乙两方当对方拥有一定导弹数量时相应所需的最小核导弹数量。 当x=0时，y=y0为乙方的威慑值，即：当乙方受到甲方倾其核导弹的第一次核打击之后拥有的足够的能给予甲方毁灭性打击的核导弹数目； 　　乙方的威慑值y0确定了乙方导弹数y=f(x)可能取值的扇形区域：y=y0到y=y0+x之间； 　　而乙方导弹数曲线y=f(x)确定了乙方的安全线和安全区；

7. 模型分析、构造 对甲方也有类似结果，由其导弹数曲线y=f(x)确定了其安全线和安全区。 两个安全区的交即为双方安全区，也是核军备竞赛的稳定区域； 　　　两条安全线y=f(x)、 x=g(y)的交点为平衡点，其确定稳定状态下双方分别拥有的最小核导弹数。 　　　目标：考虑平衡点的影响因素和变化趋势，探讨安全线函数y=f(x)、 x=g(y)的形式。

8. 模型求解 　　甲乙双方对称，先考虑乙方安全线y=f(x)的形式。 　　　相关概念与确定步骤： 1、残存率：当甲方以全部x枚导弹攻击乙方的y个核基地时，乙方基地未被摧毁的概率s； 2、威慑值：在甲方发起第一次核攻击之后，乙方所保留的核导弹数y0。 当x<y时，y0为未被撕摧核基地sx与未被攻击的核导弹数y-x之和，即：y0=sx+y-x；当x=y时，y0=sx=sy； 　 　　当y<x<2y时，y0=(x-y)s^2+(2y-x)s；当x=2y时，y0=ys^2；…… 3、交换比：甲乙双方导弹数量之比a=x/y。 　　　假设双方导弹数量x、y可取连续值，则可得乙方安全线函数y=f(x)的形式： y=y0/s^a=y0/s^(x/y)

9. 模型结果分析、检验、应用 安全线y=f(x)=y0/s^(x/y)的性质： • 曲线上凸； • 如果残存率s变大，曲线变平，y值减少； • 如果威慑值y0变大，曲线上移变陡，y值增加； • 如果交换比a变大，曲线上移变陡，y值增加。 　对甲方安全线x=g(y)也有类似结果，对称得出。 　考虑平衡点的移动，观测核军备竞赛的现象: 　１、改换固定核导弹为可移动发射架； 　２、一方增强对己的保护； 　３、多弹头。

10. 模型结果分析、检验、应用 • 对复杂现象作出合理假设，可引出能说明一定问题的模型 • 分析可以由粗到细，从简单定性到确定相互储存的升降关系，到一定程度的定量关系 • 此为一般函数关系分析，非微分方程工具。微分方程可用否？能否得到更深入的结果？

11. (五)类比分析方法 实例六:可口可乐饮料罐的形状 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的?

13. 可口可乐饮料罐的形状 找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.

14. 我们先看这样的数学题: • “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题). • 实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少?

15. 表面积用S表示, 体积用V表示, 则 即圆柱的直径和高之比为1:1 ,

16. 问题分析和模型假设 • 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. • 实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.

17. 模型的建立 饮料罐的半径为r (因此,直径为2r), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b和V是固定参数, 是待定参数

18. 饮料罐侧面所用材料的体积 顶盖和底部所用材料 所用材料的体积 罐内体积

19. 其中是S目标函数, 是约束条件, V是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和 使得r,h和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 这是极其重要的合理假设或简化! • 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以 ,

20. 模型的求解 • 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 • 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小.

21. 求临界点:令其导数为零 得 测量数据为 , 即 即 顶盖厚度是其他材料厚度3倍 本题还可Lagrange乘子法来解 (增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)

22. 模型验证及进一步的分析 • 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 装不下那么多饮料，为什么？ 模型到底对不对 ？

23. 测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量. • 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. • 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.

24. 进一步讨论 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合. • 此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压.

25. 实例七: 雨中行走 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

26. 1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体. 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。

27. 由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体.由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体. 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。

28. 3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。

29. 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

30. 2）考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 （米/秒） 雨滴的密度为 雨滴下落的反方向 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。 人前进的方向 所以， 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。

31. 顶部的淋雨量 • 前表面淋雨量 • 总淋雨量（基本模型）

32. 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。 情形1 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得

33. 情形2 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 情形3 此时，雨滴将从后面向你身上落下。

34. 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。 • 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为

35. 再次代如数据，得 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角 从背后落下，你应该以 此时，淋雨总量为 这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

36. 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 淋雨总量为

37. y yo • . p y • 0 x xo x 实例八 实物交换 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 问题 用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y)

38. y yo M . M1 . y1 p1 p3(x3,y3) . 将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, p2 N1 y2 N 0 x1 x2 xo x 分析与建模 甲的无差别曲线 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的， 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。

39. y f(x,y)=c1 c1 . p2 0 x . p1 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 （f ~等满意度曲线） 无差别曲线族的性质： • 单调减(x增加, y减小) • 下凸(凸向原点) • 互不相交 在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的 y。 在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;

40. y y g(x,y)=c2 yo c2 O x f=c1 O xo x’ O‘ B p P’ A g=c2 x y’ 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c1 两族曲线切点连线记作AB 乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系x’O’y’, 且反向） 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p

41. B A 双方的无差别曲线族 . y D yo . C 0 xo x 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 交换路径AB 0xx0, 0yy0矩形内任一点 AB与CD的交点p 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为 p (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0+by0)

42. 构造数学模型，说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？ 假设： （i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不计。 分析： 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 在地面有: 得: k=gR2 假设(ii) 故引力: 实例9 为什么要用三级火箭发射人造卫星 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? （1）卫星能在轨道上运动的最低速度 R为地球半径，约为6400公里

43. 卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有: 从而: 设g=9.81米/秒2，得: 卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) v 分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 7.86 200 7.80 m-dm 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数）， 有： 400 7.69 由动量守恒定理： dm 600 7.58 u-v 800 7.47 故： 由此解得： (**) 1000 7.37 υ0和m0一定的情况下，火箭速度υ(t)由喷发速度u及质量比决定。 假设(i) （2）火箭推进力及速度的分析 假设：火箭重力及空气阻力均不计

44. 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS，初始速度为0， 所以末速度： （2）火箭推进力及速度的分析 火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？ 根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星

45. 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。 建模: 由 得到： 解得： 所以最终速度为： 2、理想火箭模型 哈哈，我还是有可能上天的！ 考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/ mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭 只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，

46. （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为k。 该假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧 由(**)式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 当第二级火箭燃尽时，末速度为： 3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： 考虑二级火箭：

47. 又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可得： 要使υ2=10.5公里/秒，则应使: 即k≈11.2，而: 类似地，可以推算出三级火箭： 三级火箭比二级火箭几乎节省了一半 在同样假设下: 是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。 要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。

48. n（级数） 1 2 3 4 5 …∞（理想） 火箭质量(吨) / 149 77 65 60 … 50 表3-2 考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。 由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。

49. 记 解条件极值问题： W1=m1+…+ mn+ mP W2=m2+…+ mn+ mP …… Wn= mn+ mP Wn+1= mP 则 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： 又 记 可以解出最优结构设计应满足： 4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。 火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！ 问题化为，在υn一定的条件下，求使k1 k2…kn最小

50. 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 练习题: 公平的席位分配 问题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 对丙系公平吗 比例加惯例