Electrónica Digital Unidad III

1. Electrónica DigitalUnidad III Ing. Raúl V. Castillo C.

2. Lógica Booleana Ing. Raúl V. Castillo Carrillo

3. Introducción • El Álgebra de Boole es una herramienta matemática que permite modelar y diseñar los llamados Sistemas Digitales. • Fue desarrollada por el matemático ingles George Boole (1815-1864) y propuesta en sus libros "The Mathematical Analysis of Logic" El Análisis Matemático de Lógica (1847) y "An Investigation of the Laws of Thought" “Una Investigación sobre las Leyes del Pensamiento” (1854). • Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948

4. Introducción El Algebra de Boole es importante pues permite representar matemáticamente el funcionamiento de los circuitos digitales. Los circuitos digitales son capaces de permanecer en 2 estados, a saber, encendido y apagado, presencia o ausencia de energía. Estos dos estados son representados matemáticamente por los valores 1 y 0.

5. Introducción Postulados de HUNTINGTON Para sustentar la estructura algebraica propuesta por Boole y definir las operaciones entre los elementos del álgebra, es necesario establecer una serie de postulados básicos. Un conjunto de postulados fue propuesto por Huntington en 1904, que definen básicamente la relación de equivalencia, y las operaciones de unión, intersección y complementación y sus propiedades

6. Introducción • Equivalencia y sus propiedades Existe un conjunto N de n elementos sujetos a una relación de equivalencia representada por el símbolo “=”, la cual satisface las siguiente propiedades. Nombre de la Propiedad Significado Reflexiva a = a Simétrica a = b entonces b = a Transmutativa Si a = b y b = c, entonces a = c Sustitución Si a = b, entonces a puede reemplazarse por b en cualquier parte de una expresión, sin cambiar la validez de la expresión

7. Introducción • Definición de operación Unión e Intersección Se define la operación “UNION ” representada por el símbolo “”tal que: Si a y b  N entonces a  b  N Se define la operación “INTERSECCIÓN” representada por el símbolo “” tal que: Si a y b  N entonces a  b  N

8. Introducción • Definición de elemento neutro de la unión y elemento neutro en la intersección. (a) Existe un elemento “0” en N tal que: Si a  N entonces a  0 = a (b) Existe un elemento “1” en N tal que: Si a  N entonces a  1 = a

9. Introducción • Propiedades de la Unión y la Intersección . Si a, b, c  N entonces Nombre Propiedad UniónIntersección Conmutativa a  b = b  a a  b = b  a Distributiva a (b  c) = a (b  c) = =(a  b) (a  c) =(a  b) (a  c)

10. Introducción • Existencia del complemento y sus propiedades. Si a  N entonces existe un elemento (complemento de a, no a)  N tal que • Cantidad mínima de elementos del conjunto N Existen por lo menos 2 elementos a y b  N tales que a ≠ b. • Observación importante: Es posible verificar que el conjunto N = {0,1} cumple con los postulados de Huntington.

11. Axiomas Básicos El Álgebra de Boole es un sistema matemático cerrado que consiste en un conjunto N de dos o más elementos y dos operaciones llamadas: OR (+) y AND ()

12. Axiomas Básicos • y que cumplen los siguientes axiomas: • Conmutatividad

13. Axiomas Básicos • Asociatividad • Distributividad

14. Axiomas Básicos • Existen elementos neutros 0 y 1 • Existencia de Complemento

15. Álgebra de Conmutación • Postulado de Huntington : Considera al conjunto N como • El Postulado de Huntington define un caso especial del Álgebra de Boole llamada Álgebra de Conmutación. De aquí en adelante es ésta álgebra la que se utiliza para la modelación de los sistemas digitales.

16. Definiciones • Variable: Son símbolos que pueden representar cualquier valor de P. El valor de las variables puede cambiar en el transcurso del tiempo. El concepto es igual a variables de los lenguajes de programación. A Accionar Alarma

17. Definiciones • Constante: Son símbolos que representan sólo un valor de P para cualquier instante de tiempo. Su concepto es igual a constantes de los lenguajes de programación. Constante 1 Accionar Alarma

18. Definiciones • Expresión de Conmutación: Es una combinación de un número finito de variables y constantes relacionadas mediante operaciones OR y AND. Para simplificar el uso de paréntesis se aplican reglas de procedencia de operadores al igual que las expresiones del álgebra normal, considerando el OR como suma y el AND como producto. • Ejemplo:

19. Definiciones • Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar en una expresión de conmutación. • Ejemplo: • Existen 4 variables: A, B, C y D • Existen 6 literales:

20. Definiciones • Expresión Dual: Es la expresión que se obtiene intercambiando las operaciones AND por OR, OR por AND y las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en una expresión de conmutación. • Ejemplo: Dual

21. Teoremas • De los axiomas anteriores se desprenden un conjunto de teoremas. La forma de demostración es: • Aplicando axiomas • Por inducción • Se verán un conjunto de teoremas que sirven para trabajar con las expresiones de conmutación dándoles un sentido práctico.

22. Teoremas • Teorema 1: Operaciones básicas • 1+0=1 11=1 • 0+0=0 01=0 • Se demuestra aplicando el Axioma 4 • A+0=A A1=A

23. Teoremas • Teorema 2: Operaciones básicas • A+1=1 A0=0 • Se demuestra aplicando el Axioma 4 • Luego 0+1=1 y 1+1=1

24. Operaciones AND, OR y NOT • AND OR • 00=0 0+0=0 • 01=0 0+1=1 • 10=0 1+0=1 • 11=1 1+1=1 • NOT

25. Teoremas • Teorema 3: El Complemento de A es único. • Supongamos que existen dos complementos para A: A1 y A2. • A+A1=1 A+A2=1 • AA1=0 AA2=0 • A1=A11=A1(A+A2)=A1A+A1A2 • A1=0+A2A1 • A1=AA2+A1A2=(A+A1) A2 • A1=A2

26. Teoremas • Teorema 4: El Complemento de A es A. • Teorema 5 • A+A=A • AA=A • Se demuestra por inducción comprobando exhaustivamente todas las combinaciones.

27. Teoremas • Teorema 6: Absorción. • A+AB=A • A(A+B)=A • Demostración: • A+AB=(A1)+(AB)=A(1+B)=A

28. Teoremas • Teorema 7: Simplificación. • A+AB=A+B • A(A+B)=AB • Demostración: • A+A=1 En ambos lados se hace una AND con B • AB+AB=B En ambos lados se hace una OR con A • AB+A+AB=A+B • A(1+B)+AB=A+B • A+AB=A+B

29. Teoremas • Teorema 8: Teorema de De Morgan. • A+B+C+D…=ABCD… • AB CD… =A+B+C+D+… • La demostración se hace por inducción: • A=B=C=D=…=0 0+0+0+….=0=1 • A=B=C=D=…=1 1+1+1+….=1=0 • 1+0+X=1=0

30. Teoremas • El Teorema de De Morgan establece que para obtener el complemento de una expresión, se debe complementar cada variable e intercambiar las operaciones OR y AND y las constantes 1 y 0. • Ejemplo: • A(B+C)=A+BC

31. Funciones de conmutación • Definición: Una función de conmutación es una aplicación f: Pn P • Cada elemento xPn es un conjunto de variables de P x=(x1, x2, …, xn). A este conjunto de variables se le denomina n-tupla. • Una función de conmutación es completamente especificada cuando asigna un valor (0 o 1) a todos los posibles valores de sus variables. En otro caso, la función es incompletamente especificada.

32. Funciones de conmutación • Representación de funciones de conmutación • Existen varias formas de representar una función de conmutación: • expresión • tabla de verdad • mapa • circuito • Existen funciones de conmutación completamente especificadas de n variables.

33. Representación de funciones de conmutación • Ejemplo: • F(x, y, z)=xy+xz+yz • x y z f(x, y, z) • 0 0 0 0 • 0 0 1 0 • 0 1 0 0 • 0 1 1 1 • 1 0 0 0 • 1 0 1 1 • 1 1 0 1 • 1 1 1 1 xy 00 01 11 10 z 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 f xy z f

34. Tabla de Verdad La forma más intuitiva de representar una función de conmutación es por medio de una Tabla de Verdad. La Tabla de Verdad expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada. La Tabla de Verdad permite modelar un tipo especial de sistema Digital llamado Sistema Combinacional.

35. Tabla de Verdad Ejemplo: Tabla de Verdad: x1 x2 x3 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

36. Formas Canónicas Problema: Dada una Tabla de Verdad, obtener la forma algebraica x1 x2 x3 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x1x2 x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

37. Formas Canónicas La forma algebraica queda: f(x1, x2, x3)=x1x2 x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1. La variable aparece sin complementar si vale 1 para la combinación en la cual la salida vale 1 y aparece complementada si vale 0 para la combinación en la cual la salida toma el valor 1.

38. Formas Canónicas: Minitérminos Se denomina minitérmino a un factor de una expresión booleana a que está formado por el AND de todas las variables. Una función de conmutación corresponde al OR de minitérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónico de AND. f(x1, x2, x3)=OR( m0, m1, …, mn) f(x1, x2, x3)=( m0, m1, …, mn)

39. Formas Canónicas: Minitérminos Para el ejemplo anterior: f(x1, x2, x3)=OR( 2, 4, 5, 6) f(x1, x2, x3)=(2, 4, 5, 6)

40. Formas Canónicas: Maxitérminos Una forma alternativa de expresar la función es examinando las combinaciones en las cuales vale 0. x1 x2 x3 f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 (x1+x2+ x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3)

41. Formas Canónicas: Maxitérminos La función queda ahora: f(x1, x2, x3)=(x1+x2+ x3 )(x1+x2+x3 ) ( x1+x2+x3 )( x1+x2+x3 ) Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0. La variable aparece sin complementar si vale 0 para la combinación en la cual la salida vale 0 y aparece complementada si vale 1 para la combinación en la cual la salida toma el valor 0.

42. Formas Canónicas: Maxitérminos Se denomina maxitérmino a un factor de una expresión booleana a que está formado por el OR de todas las variables. Una función de conmutación corresponde al AND de maxitérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónico de OR. f(x1, x2, x3)=AND( M0, M1, …, Mn ) f(x1, x2, x3)=( M0, M1, …, Mn )

43. Formas Canónicas: Maxitérminos Para el ejemplo anterior: f(x1, x2, x3)=AND( 0, 2, 4, 7 ) f(x1, x2, x3)=( 0, 2, 4, 7 )

44. Conversión entre Formas Canónicas Problema: dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR F(A, B, C)=( 0, 1, 2, 7 ) F(A, B, C)=( 3, 4, 5, 6 )=ABC+ ABC+ ABC+ ABC F(A, B, C)=(A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)(A+B+C) F(A, B, C)=( 3, 4, 5, 6 )

45. Funciones Equivalentes Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas. Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad

46. Funciones Equivalentes ¿Cuántas funciones de n variables existen? La respuesta a esta pregunta se encuentra fácilmente preguntando: ¿Cuántas Tablas de Verdad existen con n variables? La respuesta está en observar la columna de salida. El número de funciones es:

47. Funciones de una y dos variables F(x)=x NOT F(x, y)=xy AND F(x, y)=x+y OR F(x, y)=x+y NAND

48. Funciones de una y dos variables F(x)=x y NOR F(x, y)=xy+xy OR EXCLUSIVO F(x, y)= xy+ x y AND EXCLUSIVO Ejercicio: Construir las Tablas de Verdad de estas funciones.

49. Lógica Combinacional

50. X Y Z Circuito Lógico Entradas F Salida Lógica Combinacional contra la Lógica Secuencial • Representación de entradas/salidas de circuitos lógicos: • Circuitos de lógica combinacional: • La salida depende solo de las entradas actuales. • La relación de entrada/salida esta descrita por una tabla de verdad. • Circuitos de lógica secuencial: • La salida depende de las entradas actuales y de las salidas previas. • La relación de entrada/salida esta descrita por una tabla de estados.