電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ 電磁気学Ⅱ 7/14講義分共振器と導波路山田博仁

完全導体による電磁波の反射 電場の法線成分 Enは必ずしもゼロではない導体表面に電荷が現れる場合がある En≠ 0 完全導体 E = 0 磁場の接線成分 Htは必ずしもゼロではない導体表面に電流が流れる場合がある変動磁場の法線成分 Bnはゼロより Bn = 0 Ht≠ 0 完全導体変動磁場静磁場完全導体表面に高さ無限小の微小円柱を考え、Gaussの法則を適用すると分かる完全導体(σ = ∞)表面における電磁波の境界条件は、電場 E より、何故なら、 ie = σEより、E=0でないと無限大の電流が流れることになる完全導体界面での電場の接線成分 Etはゼロ σ =∞ E = 0 より、静磁場に対しては必ずしもゼロでない界面に高さ無限小の長方形を考え、Ampere-Maxwellの法則を適用すると分かる変動磁場静磁場完全導体内では E = 0、従って rot E = 0 従って、電磁波は完全導体内には進入できず、全反射される

完全導体による電磁波の反射 x 媒質: Z 完全導体 Eix Hiy 入射波 z 0 反射波は電磁波の波数 Hry Erx z < 0の領域を固有インピーダンス Zの媒質が占め、x-y (z = 0) 平面を境にしてz > 0の領域の完全導体と接しているとする。そこに、 x方向に電場ベクトルを有する角周波数ωの正弦電磁波が、媒質中 (z < 0) から導体界面に対して垂直入射する場合を考え、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、反射波の磁界は -y方向を向いている完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面即ち z = 0において、Ex = 0であるから、従って、媒質中の電磁場は、となる。

完全導体による電磁波の反射 定在波の腹の位置定在波の節の位置電場反射端(導体表面) λ 入射波 z 反射波定在波 z = 0 出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html 電場の節は、kz = nπ (nは整数)の関係から求められ、電場の節電場の腹 (n = 0, 1, 2‥) (n = 0, 1, 2‥) 磁場の節磁場の腹 (n = 0, 1, 2‥) (n = 0, 1, 2‥)

参考) 伝送線路の場合との比較 Is Ix I0 送電端無損失線路(α = 0) 受電端 Vs V0= 0 Z0 Vx 短絡 x = 0 xs x βx = 0 電圧電流短絡 x=0 xs 受電端を短絡した場合に対応全反射定在波

波の反射と定在波 反射端 λ +x方向に進行する波反射波定在波=進行波+反射波 ωt = 0 x p

電磁波の共振器 n = 1 n = 2 n = 3 完全導体完全導体 z = 0 z = L 平行平板共振器 (Fabry-Perot共振器) 完全導体による平行平面で挟まれた空間に存在する電磁波はどのように表される? ? 簡単のため、電磁波は x方向の電場ベクトルを有する正弦波とし、z = 0, Lに位置する完全導体面に対して、垂直に入射しているものとする。電界 Exは、いつの瞬間においても完全導体表面でゼロとなるから、において、z = 0, Lにおいて Ex = 0となるためには、 (n = 1, 2, 3‥) よって、であるから、 (n = 1, 2, 3‥)

電磁波の導波路 平行平板による導波路 (Slab導波路) 完全導体による平行平面で挟まれた空間に斜めに入射した電磁波は、図のように反射を繰り返しながら伝搬していく。従って、電磁波の導波路として機能する。完全導体完全導体

電磁波の導波路 平行平板による導波路 (Slab導波路) 完全導体による平行平面で挟まれた間隙に入射角度 θで斜めに入射した電磁波は、図のように導体表面で全反射を繰り返しながら伝搬していく。このとき、導波路を伝搬している電磁波の自由空間における波数を k0とすると、電磁波の伝搬方向での波数 kgは、 kg = k0 cosθとなる。また、伝搬方向と垂直方向での波数を ktとすると、 kt = k0 sinθとなる。従って、完全導体 θ θ kt d k0 kg 完全導体 kt = k0 sinθ kg = k0 cosθ d: 導体間の間隙の距離

電磁波の導波路 完全導体 θ θ q = 3 q = 2 d kt q = 1 2qπ 完全導体それぞれの波長との関係は、k = 2π /λより、 λ0は自由空間での波長 λgは導波路内での波の伝搬方向の波長で、管内波長と言う導波路を伝搬することが許されるのは、伝搬方向と垂直方向に対して定在波条件つまり、kt 2d = 2qπ(q は自然数)の関係が成立するときのみ。即ち、 (q = 1, 2, 3, ‥‥であり、モード番号という) q = 1の時が、伝搬することが許される最低次のモードで、λt = 2dとなる。この最低次のモードでは、波長 λ0が長くなるにつれて、入射角度 θが大きくなる。 λ0 λt λg kt = k0 sinθ

電磁波の導波路 θ θ そして、θ= π/2 となった時、電磁波の伝搬方向への波数 kgは kg = 0 つまりλg = ∞となり、もはや電磁波は伝搬しなくなる。従って、伝搬することが許される最も長い自由空間中での波長 λ0を遮断(Cutoff)波長 λcと言い、となる。遮断波長においては、の関係が成り立つ。完全導体 θ= π /2 kt 2π λt d q = 1 完全導体 kc = kt

導波管 x 波動方程式　　　　　　　　　　　　　より、 z y 電磁波(特にマイクロ波、ミリ波)の伝送には、図のような中空の金属導波管が用いられることがある。このような導波管内での電磁波の伝搬を以下で扱う。 (教科書p.22312.8) 導波管の中の電磁場が角周波数 ωで正弦波的に時間変化をする場合を考える。また、導波管内を z方向に伝搬定数 γ で伝搬すると仮定する。つまり、  :伝搬定数(複素数) cは自由空間での光速度 Eのz成分 Ezは、従って、ただし、方形導波管

導波管 同様に、磁波の波動方程式　　　　　　　　　　　　　より Hのz成分 Hzは、 x z y ところで、k = 0 の場合には　　　　　　となり、 Ezと Hzは全く同形で別々の微分方程式に従うことから、Ez = 0 で Hz ≠ 0の解と、 Ez ≠ 0 で Hz =0の解が独立に存在し、一般解はこれらの解の重ね合わせとして表せる。波の進行方向のベクトル成分を持たないこと Ez = 0 で Hz ≠ 0の波を、電場成分が進行方向に垂直なことから(Transverse Electric) TE波、Ez ≠ 0 で Hz =0の波を磁場成分が進行方向に垂直なことから(Transverse Magnetic) TM波と呼ぶ。 z方向に光速で伝搬する電磁波が期待される。この場合、 Ez =Hz = 0 であり、(Transverse Electric Magnetic) TEM波と呼ぶ。方形導波管これは同軸ケーブルやレッヘル線の場合で、導波管ではTEM波での伝搬形態はない。

導波管 x z y a b 0 導波管の断面を x-y面にとり、内部の辺長を a, bとする。電磁場に対する境界条件は、導波管壁で E・t = 0および H・n = 0 だから、 Hz = 0 の電磁波、即ちTM波について考えると、Ezに対する微分方程式の解は、 (Aは定数) で与えられ、この場合の境界条件は、導体壁(x = 0, a; y = 0, b)でEz = 0となるから、 (mと nは整数) 従って、方形導波管 (mn ≠ 0)

導波管 gが実数でない、即ち　　　　　　　　とすると、前式で、整数 mと nがいろいろな値をとれば、それに対応する電磁波のモードが導波管の中に存在する。一般に、TE波に対応するモードをTEmn、 TM波に対応するモードをTMmnで表す。電磁波が導波管の中をz方向に伝搬するためには、伝搬定数 gは実数である必要がある。 aがゼロでなければ、これは z方向に伝搬するにつれて減衰する波となる。従って、z方向に伝搬する電磁波が存在するためには、方形導波管の例でなければならない。

導波管 従って、= 0 のときには電磁波は伝搬できなく(Cutoff)なり、この時の ωの値 ωcは、　　　　　　　となる。 (mn ≠ 0) となり、となる。一方、TE波の場合のカットオフ波長は、となる。 (ただし、a < b) (例題12.6) 従って、遮断(Cutoff)波長は、 fc は、遮断(Cutoff)周波数と呼ばれている lcよりも波長の短い電磁波しか伝搬できない。最長の遮断波長は、条件 mn ≠ 0のもとで kを最小にする TM11モードの場合であり、この時の遮断波長は、電界磁界 TM11モードの電磁界分布ところで、右の式で与えられる vpを、位相速度(phase velocity)と呼ぶ

モードの分散関係 方形導波管において、TM11モードの分散関係(ωとβの関係)を図示するとより、下図のようになる・遮断周波数ωcにおいては、群速度はゼロとなり、エネルギーや情報としての電磁波は伝わらない。ところが、 ω 位相速度は∞となる。位相速度は、常に光速度cを超えている ωc この傾きは光速度 c ・周波数が高くなると、群速度および位相速度共に光速度cに漸近する。 β つまり、自由空間での伝搬形態に近くなる

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