统计学导论

1. 统计学导论

2. 第九章 时间序列分析 • 第一节 时间序列分析概述 • 第二节 时间序列的水平分析与速度分析 • 第三节 长期趋势的测定 • 第四节 季节变动和循环波动测定 • 第五节 时间序列预测模型

3. 第一节 时间序列分析概述 • 时间序列的概念 • 时间序列的种类 • 时间序列的编制原则

4. 表9-1

5. 一、时间序列的概念 • 时间序列（time series）— 动态数列, 把同一现象在不同时间上的观察数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。 • 两个基本要素： • 时间 t ； • 时间t 的数据（水平） yt . • 基期水平与报告期水平； • 期初水平（y0或y1）, 期末水平（yn）与中间水平。 • 时间序列是动态分析的依据。

6. 二、时间序列的种类 • （一）绝对数时间序列——最基本的时间序列 • 时期序列 • 时点序列 • （二）相对数时间序列 • 如 第三产业所占比重序列 • （三）均值时间序列 • 如居民消费水平序列 有关的绝对数序列派生的

7. （一）绝对数时间序列 • 又称为总量指标时间序列； • 是指一系列同类的总量指标数据按时间先后顺序排列而形成的序列，反映现象在各个时间上达到的绝对水平。 • 可分为时期序列和时点序列。 • 时期序列，如国内生产总值序列 • 时点序列，如年末总人口序列

8. 时期序列和时点序列的特点： • ①时期序列的各个数据为时期指标(流量)，表示现象在各段时期内的总量。时期序列的各个数据为时点指标(存量)，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平. • ②时期序列中各期数据具有可加性，通过加总即可得到更长一段时间内的总量。时期序列中不同时点上的数据不能相加，即它们相加的结果没有意义。 • ③时期序列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时期序列中各时点数值大小与时点间隔长短没有直接的联系。 • ④时期序列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，时点序列中数据通常不可能也不必要连续登记，

9. 三、时间序列的编制原则 • 保证时间序列中各项数据的可比性，是编制时间序列的基本原则。 • (一) 时间一致 • (二) 总体范围一致 • (三) 经济内容、计算口径和计算方法一致

10. 第二节 时间序列的水平分析与速度分析 • 时间序列分析的水平指标 • 时间序列分析的速度指标 • 水平分析与速度分析的结合与应用

11. 一、时间序列分析的水平指标 • 描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。 • 包括： • 发展水平 • 平均发展水平 • 增长量 • 平均增长量

12. （一）平均发展水平 • 平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。 • 统计上习惯把这种不同时间上数据的平均数称为序时平均数。 • 它将现象在不同时间上的数量差异抽象掉，从动态上说明现象在一定发展阶段的一般水平。 • 不同性质的时间序列，其计算方法也有所不同。

13. 1. 绝对数时间序列的平均发展水平 • （1）时期序列的平均发展水平 • 采用简单算术平均法： • 【例9-1】根据表9-1的数据，计算我国1991-2003年国内生产总值的年平均水平。 • 解：

14. （2）时点序列的平均发展水平 • 连续时点序列——用简单算术平均法 • 对社会经济现象而言，已知每天数据可视为连续序列。 • 不连续时点数列计算序时平均数 • 先求分段平均数 • 用来代表相邻两个时点之间各个时点上的水平 • 假定现象均匀变化，分段平均数＝相邻两点数据的简单算术平均 • 再求全期总平均数 • 求全期总平均数＝分段平均数的加权算术平均 • 权数f＝时点间的间隔长度

15. 不连续时点数列计算序时平均数—图示

16. 不连续时点数列计算序时平均数的公式 当时点间隔相等，上式简化为: “首末折半法”——

17. 【例9-2】 • 某地区2004年生猪存栏数量的几个时点数据,试计算该地区全年的生猪平均存栏数量。 • 解：

18. 【例9-3】 • 根据表9-1中各年年末人口数，计算1991～2003年这13年间的平均人口数。 • 解： • 由不连续时点序列计算平均发展水平的计算公式是有假定条件的。实际中，计算结果通常只是近似值。 • 一般认为，间隔越短，计算结果就越准确。 • 例如，由一年中各月底数计算的全年平均数，就比只用年初和年末两项数据计算的结果更准确。

19. 2.相对数(或平均数) 序列的平均发展水平 • 相对数(或平均数) zi＝ yi / xi (yi 和 xi 为总量指标) • 由于各个zi 的对比基数 xi 不尽相同，所以不能将各期 zi 简单算术平均。 • 正确的计算方法是： • 分别计算绝对数序列 y 和 x的平均发展水平； • 再由这两个平均发展水平对比来得到所求的平均发展水平，即： 其实质是对各期的相对数（或平均数）加权算术平均！

20. 【例9-4】 • 根据表9-1的数据，试计算1991～2003年中国人均国内生产总值的平均发展水平。 • 解： • 年平均国内生产总值为 69238.06 亿元， • 平均人口数为 122588.23 万人， • 故人均国内生产总值的平均发展水平(单位：元/人)

21. （二）增长量与平均增长量 1. 增长量（增减量）＝报告期水平－基期水平 • 说明现象在观察期内增长的绝对数量； • 基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分： * 逐期增长量＝报告期水平－上期水平 • 逐期增长量说明现象逐期增长的数量。 * 累计增长量＝报告期水平－固定基期水平 • 累计增长量说明一段时期内总共增长的数量。 关系：累计增长量＝相应时期的逐期增长量总和. * 同比增长量＝报告期水平 -上年同期水平

22. 2. 平均增长量 平均增长量 • 逐期增长量的序时平均数； • 计算方法采用算术平均法。

23. 例9-3 根据下表数据，计算我国居民消费水平的增长量和平均增长量。 • 解：居民消费水平的年平均增长量为：

24. 二、时间序列分析的速度指标 （一）发展速度＝报告期水平／基期水平 • 说明现象在观察期内发展变化的相对程度； • 有环比发展速度与定基发展速度之分 • 环比发展速度＝报告期水平／上期水平 • 反映现象逐期发展变动的程度，也可称为逐期发展速度。 • 定基发展速度＝报告期水平／固定基期水平 • 反映现象在较长一段时间内总的发展变动程度，也称为发展总速度。

25. 发展速度（续） • 二者关系： • 定基发展速度＝相应时期的环比发展速度之积。 • 相邻两定基发展速度之商＝相应的环比发展速度。 • 为了消除季节变动因素的影响，可计算：

26. （二）增长速度（增长率） 增长速度（增减速度）——增长量与基期水平之比，说明现象增长变化的相对程度； 基期不同，分环比增长速度与定基增长速度 • 环比增长速度＝逐期增长量／上期水平 • ＝环比发展速度－１ • 定基增长速度＝累计增长量／固定基期水平 • ＝定基发展速度－１

27. 环比增长速度 定基增长速度 环比发展速度 定基发展速度 乘/除 • 二者关系： • 定基增长速度（总增长速度）不等于相应各环比增长速度之和（积）。 • 几种速度指标之间的相互关系如下所示：

28. 为了消除季节变动因素的影响，也常常计算：

29. 速度的表现形式和文字表述 • 速度指标的表现形式：一般为 %、倍数，也有用‰、番数等等。 • 翻 m 番，则有：报告期水平= 基期水平×2m • 速度的文字表述： • 发展速度—相当于、发展为、增长到、减少到、下降为… • 报告期水平增长为基期水平的…%； • 以基期水平为100%，报告期水平增长为…%. • 增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）… • 报告期水平比基期水平增长（了）的…%； • 以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。

30. （三）平均发展速度和平均增长速度 平均增长速度——表示逐期增长变动的平均程度，即各期环比增长速度的一般水平，但不能对各环比增长速度直接平均。 • 因为算术平均法或几何平均法都不符合增长速度这种现象的性质。 • 正确的计算方法： • 平均增长速度＝平均发展速度— 1 • 平均增长速度为正（负）值，表明平均说来现象在考察期内逐期递增（减）。

31. 平均发展速度的计算方法 1.几何平均法计算平均发展速度（水平法） 以xi表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度可该采用几何平均法： ｎ＝环比发展速度个数 ＝时间序列水平项数－1 三个计算公式实质上是一致的。可根据所掌握的数据来选择。

32. 【例9-7】 • 根据表9-4的数据，计算中国1991～2003年居民消费水平的平均发展速度和平均增长速度。 • 解：平均发展速度可根据三种资料来计算： 平均增长速度＝107.84％-100％＝7.84％ 即1991～2003年间，我国居民消费水平平均每年递增7.84%.

33. 几何平均法的特点 用所求平均发展速度代表各环比发展速度， • 推算的最末一期的水平与实际相等 • 推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等 。 几何平均法计算平均发展速度着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。 • 如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 几何平均法较为简单直观，既便于各种速度之间的推算，也便于预测未来某期的水平，因此有着广泛的应用。

34. 平均发展速度的应用 • 根据平均速度预测现象经过一段时间以后可能达到的水平。 • 例如，若我国居民消费水平继续按上面所求出的平均速度递增，则可预测到2010年，居民消费水平可达: • y2010＝y2003×(平均发展速度)7 • ＝4089×1.07847=6935.48(元)

35. 平均发展速度的应用（续） • 利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率 zm（季增长率zs）之间进行换算。它们的关系可表示为： • 例如，某地区居民消费总额2003年9月为200亿元，2005年5为260亿元。则居民民消费总额的月平均增长率和年平均增长率分别为：

36. 2.方程式法计算平均发展速度 • 各期实际水平的总和为： • 将各期水平 yi 用期初水平与各期环比发展速度 xi的乘积来表示，则上式可变成为： 以平均发展速度 作为各环比发展速度的代表值，用它来推算各期水平，并能使所推算的各期水平总和与实际相等，则有： 解上述方程，其正根＝平均发展速度。

37. 方程式法计算平均发展速度的特点 • 方程式法计算结果取决于考察期内各期实际水平的累计总和，所以计算平均发展速度的方程式法又称为“累计法”。 • 以所求平均发展速度代替各期环比发展速度，推算的考察期内各期水平的累计总和与实际相等。 • 着眼于考察全期的累计水平时，就适合用方程式法来计算平均发展速度。 • 例，采用方程式法计算居民消费水平的平均发展速度：

38. 三、水平分析与速度分析的结合与应用 1.正确选择基期 • 首先要根据研究目的，正确选择基期。 • 基期的选择一般要避开异常时期。 2.注意数据的同质性 • 不容许有0和负数，否则就不适宜计算速度，而只能直接用绝对数进行水平分析。 • 如果现象在某各阶段内的发展非常不平衡，大起大落，就会降低甚至丧失平均速度以及平均发展水平和平均增长量的代表性和意义。 3.将总平均速度与分段平均速度及环比速度结合分析 4.将速度与水平结合起来分析 • 既要考虑速度的快慢，也要考虑实际水平的高低 • 把相对速度与绝对水平结合，可计算增长1%的绝对量。

39. （续） • 增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的. • 一般只对环比增长速度计算，其计算公式为： 例，

40. 第三节 长期趋势的测定 • 时间序列的构成与分解 • 长期趋势的测定方法

41. 一、时间序列的构成与分解 （一）时间序列的构成因素 按照影响的性质和作用形式，将时间序列的众多影响因素归结为 以下四种： • 长期趋势 ( Trend ) • 季节变动 ( Seasonal Fluctuation ) • 循环变动 (Cyclical Variation) • 不规则变动 (Irregular Variations )

42. 1.长期趋势 ( Trend ) 长期趋势是指现象在相当长一段时间内沿某一方向持续发展变化的一种态势或规律性。 • 它是时间序列中最基本的构成因素； • 由影响时间序列的基本因素作用形成； • 长期趋势有不同多种不同的类型 • 按变化方向不同来分，有上升趋势、下降趋势和水平趋势三类。 • 按变化的形态来分，长期趋势可分为线性趋势 和非线性趋势两类。

43. 2.季节变动(Seasonal Fluctuation ) 季节变动——泛指现象在一年内所呈现的较有规律的周期性起伏波动。 • 周期长度可以是一年，也可以小于一年； • 例如，农产品的生产、销售和储存通常都有淡季和旺季之分，以一年为一个周期； • 例如，超市的营业额和顾客人数的变动常常以七天为一个周期，每个周末是高峰期。 • 引起季节变动的原因既可能是自然条件（如一年四季的更替），也可能是法规制度和风 俗习惯等（如节假日）。

44. 太阳黑子数目的变化 3.循环变动(Cyclical Fluctuation ) • 循环变动指在较长时间内（通常为若干年）呈现出涨落相间、峰谷交替的周期性波动。 • 例如，出生人数以20～25年为一个周期， • 太阳黑子数目大约11年为一个周期。

45. 3.循环变动(续) • 循环变动与长期趋势的异同 • 都是需要长期观察才能显现的规律性； • 但长期趋势是沿着单一方向的持续变动，而循环变动是具有循环特征的波动，通常围绕长期趋势上下起伏。 • 循环变动与季节变动的异同 • 都是属于周期性波动， • 但对循环波动的识别和分析更为困难 • 循环变动周期至少在一年以上，周期长短很不固定； • 波动形态和波幅等规律性也都不是很规则； • 引起循环变动的原因通常也不那么直观明显。

46. 4.不规则变动(Irregular Variation ) • 不规则变动（又称为剩余变动）——是没有规律可寻的变动，它是从时间序列分离了长期趋势、季节变动和循环变动之后剩余的因素。 • 可细分为随机扰动和异常变动两种类型。 • 随机扰动是短暂的、不可预期的和不可重复出现的众多细小因素综合作用的结果。表现为以随机方式使现象呈现出方向不定、时大时小的起落变动，但从较长观察时间内的总和或平均来看，一定程度上可以相互抵消。 • 异常变动则是指一些具有偶然性突发性的重大事件如战争、社会动乱和自然灾害等引起的变动，其单个因素的影响较大，不可能相互抵消，在时间序列分析中往往需要对这种变动进行特殊处理。 • 后面所讲的不规则变动一般仅指随机扰动。

47. （二）时间序列因素分解的模型 • 按照四种构成因素相互作用的方式不同，可以将上述关系设定为不同的合成模型，实际中最常用的有乘法模型和加法模型。 • 若以 Y 表示序列的数值，T 表示趋势值，S 表示季节变动值，C 表示循环变动值，I 表示不规则变动值，下标 t 表示时间（t=1,2,…n）.

48. 加法模型： • 假定四种因素的影响是相互独立的。 • 每种因素的数值均与 Y 的计量单位和表现形式相同. • 如绝对数序列中各种因素的数值都为绝对量。 • 季节变动和循环变动的数值有正有负，在它们各自的一个周期范围内，正负数值相互抵消，因而总和或平均数为零；不规则变动的数值也是有正有负，但只有从长时间来看其总和或平均数才趋于零。 • 对各因素的分离采用减法。 • 如， （Yt–St）表示从序列中剔除季节变动的影响。

49. 乘法模型 • 假定四种因素的影响作用大小是有联系的， • 只有趋势值与Y 的计量单位和表现形式相同（一般为绝对量）；其余各种因素的数值均表现为以趋势值为基准的一种相对变化率，通常以百分数表示。 • 各个时间上的季节变动和循环变动数值在100％上下波动，在它们各自的一个周期范围内，其平均值为100％；不规则变动值也是在100％上下波动，但只有从长时间来看其平均值才趋于100％。 • 对各因素的分离则采用除法。 • 例如，（Yt /St ）表示从时间序列中剔除季节变动的影响

50. 二、长期趋势的测定方法 长期趋势的测定和分析，是时间序列分析中最主要的一项任务。测定长期趋势，不仅可以认识现象发展变化的基本趋势和规律性，并作为预测的重要依据，而且也是准确地测定其他构成因素的基础。 （一）时距扩大法 • 将原序列中若干项数据合并，使数据所包含的不规则变动在一定程度上被相互抵消了，由较长时间上的数据形成的新序列更清晰地显示出现象发展的长期趋势。 • 对于包含季节变动的序列，若将数据的时期扩大到一个季节周期（如将月度或季度数据合并为年度数据），可使季节变动也相互抵消。