1. 四个公理的内容及作用 :

1. A、B、C三点不共线 有且只有一个平面 , 使得 复习回顾 1.四个公理的内容及作用: 2.等角定理的内容及作用. 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补. 3.异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线.

2. b β β β β b b B A A A O a a a a a α α α α α α b b b B a §4 空间图形的基本关系与公理(3) 一.异面直线的画法 练习1.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线使它们成为： （1）平行直线； （2）相交直线； （3）异面直线.

3. b2 b b1 其中 O a a2 a1 α O1 O2 当异面直线a、b所成角是 时, 二.异面直线所成的角 1.定义： 分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）θ叫做这两异面直线所成的角, 特别： 就称a、b互相垂直. 记作：a⊥b

4. a 例1.如图,已知a、b为异面直线, N B M、N分别为 A AD、BC的中点,且MN=5, 求a、b所成的角. O C M D b O为AC的中点 O为AC的中点 M为AD的中点 N为CB的中点 异面直线a、b所成的角为 2.异面直线所成的角的求法 解： 连结AC,取AC的中点为O, 连OM、ON, OM//b ON//a ∠MON(或其补角)是a、b所成的角

5. a B 例1.如图,已知a、b为异面直线, N M、N分别为 A C AD、BC的中点,且MN=5, 求a、b所成的角. M Q D c b 异面直线a、b所成的角为 在平面α内过点A作直线b的平行线c,连结CM,并延长与直线c交于点Q, 另解： 连结BQ. CD//AQ ∠BAQ(或其补角)是a、b所成的角 CD=6 M为AD的中点 CD=AQ CD//AQ ∠DCM=∠AQM △DMC≌ △AMQ ∠AMQ=∠DMC AQ=6 AB=8 M为CQ的中点 BQ=2MN BQ=10 N为BC的中点 MN=5

6. 2.异面直线所成的角的求法 平移法： （1）将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交； （2）在同一平面内求相交直线所成的角； （3）把相交直线所成的角化归到某个能求解的三角形中去,利用解三角形的知识求角. 即 “一作二证三计算” 注意！ 两异面直线所成的角转化成某三角形中的角后,该角可能是所求的角,也可能是其补角.这一点要认真对待,以免求出钝角.

7. A α E F B C H β G D P 三、线共点问题 例2.如图,α∩β=BC,A∈α,D∈ β,E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点,求证：若EF∩GH=P,则P点必在直线BC上.

8. A α E F B C H 直线EF β G D 直线AC 直线AB 直线AC 直线AB P 直线EF 同理 直线BC. 证明： 即证点P必在直线BC上.

9. 三、线共点问题 A α E 例2.如图,α∩β=BC,A∈α,D∈ β,E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点,求证：若EF∩GH=P,则P点必在直线BC上. F B C H β G D P 线共点问题的判定方法： 根据公理3,证明某两条直线的交点在两个平面的交线上.

10. M A D N S E B F P C 四、点共线问题 例3.已知D、E、F分别是三条射线SA、SB、SC上的点, 且FD与CA 交于M, FE与CB交于N, DE与AB交于P, 求证：M、N、P三点共线. 点共线问题的判定方法： 根据公理3,证明点在两个平面的交线上.

11. 其中 五、课堂小结 1.异面直线所成的角 (1)定义： 分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）θ叫做这两异面直线所成的角, (2)异面直线所成的角的求法： 平移法 平移法： （1）将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交； （2）在同一平面内求相交直线所成的角； （3）把相交直线所成的角化归到某个能求解的三角形中去,利用解三角形的知识求角. 即 “一作二证三计算” 2.线共点、点共线问题的判定 根据公理3, 证明点在两个平面的交线上.