Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes

2. Bevezetés 1. Matematikai háttér • Probability theory and statistics • Time interval distributions • Arrival processes • The Poisson process Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

3. Bevezetés 2. • A beérkezési folyamatokat sztochasztikus pont folyamatokkal lehet leírni. • A pont folyamat leírása alkalmas beérkezések megkülönböztetésére, de nem foglalkozik a beérkezett „valamik” (pl. foglaltsági igények) jellemzőivel. • Forgalmi vizsgálatokhoz • az igényeket kiszolgáló erőforrások műszaki jellemzőit, • az igények időtartam eloszlását és • az igények beérkezési folyamatát kell elsősorban ismerni. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

4. Pont folyamatok 1. Hívások beérkezése (példa) Time [min] Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

5. Pontfolyamatok 2. Egyszerű pontfolyamatok, egy időpontban csak egyetlen érkezés (telefonhívások: finom időskála). Az i-dik hívás a Tiidőpontban érkezik. A [0,t[ félig nyitott intervallumban Nthívás érkezik. Ntvv. Ha t növekszik, Nt nem csökken. ( ) Érkezések közötti idő (interarrival time) Érkezések közötti idő eloszlása (interarrival time distribution) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

6. Intervallumok International Standard ISO 31-11 defines the below notation for intervals, which is the one commonly taught in many European and South American countries (e.g., Germany, France, Brazil) in secondary school: ]a,b[ = { x | a < x < b } [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } [a,b[ = { x | a ≤ x < b } ]a,b] = { x | a < x ≤ b } This notation is somewhat easier to remember (inwards pointing bracket for inclusion, outwards-pointing bracket for exclusion). • Intervalsof the set of real • numbers are of the following • .... different types (where a • and b are real numbers, • with a < b): • itself, the set • of all real numbers http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

7. Pontfolyamatok 3. Darabszám megjelenítés Number representation: Nt darabszám Nt változó idő t = állandó Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

8. Pontfolyamatok 4. Időtartam megjelenítés Interval representation: Ti darabszám n = állandó idő Ti változó Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

9. Pontfolyamatok 5. A két megjelenítés kapcsolata: Vagyis Ntakkor és csak akkor kisebb n-nél, ha az igények beérkezése közötti n darab idő-intervallum együttes hosszúsága, Tn , hosszabb vagy egyenlő t –vel. (X1 = T1 – T0). A megfigyelés kezdeti időpontja: T0= 0 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

10. Darabszám megjelenítés 1. Felújítási függvény Feltételezés: t létezik és véges. Intenzitásnak tekinthető. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

11. Darabszám megjelenítés 2. Egyszerű pontfolyamatokra ! és variance expectation Poisson folyamatra IDC = 1 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

12. Időtartam megjelenítés 1. 4. A két egymást követő igény megjelenése közötti Xiidőtartamokra: (Az eloszlás önmagával végzett (i-1)-szeri konvolúcója megadja az i-dik igény megjelenéséig eltelő időtartam eloszlását. vv-k összegének eloszlása !) Felújítási folyamat(renewal process) olyan pontfolyamat, amelyben a beérkezések közötti idő intervallumok sztohasztikusan függetlenek és egyforma eloszlásúak. Igy (X1 kivételével): (IID = Identically and Independently Distributed) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

13. Időtartam megjelenítés 2. 5. Az egy véletlen kezdeti időponttól az első igény beérkezéséig eltelő idő külön kezelendő. IDI = 1 a Poisson folyamatra. IDC könnyebben meghatározható mérésekből (digitális technológia !), mint IDI. Utóbbi érzékenyebb a mérési pontosság iránt. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

14. Példák 1. • 1. Mérések: azonos időközönként (passzív, scanning) • azonos darabszámra (aktív) • 2. Forgalom lebonyolító képesség vizsgálata • blokkolt vizsgáló hívások (időbeli átlag !) • N (pl. N=1000) hívásonként blokkolt hívások • (darabszám átlag !) • 3. Hívás statisztikák • előfizetői mérés: sikertelen hívások száma (darabszám átlag !) • szolgáltató mérése: minden vonal foglalt (időbeli átlag !) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

15. Példák 2. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

16. Példák 3. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

17. Pontfolyamatok jellemzői 1. (Darabszám szemlélet) 1. Stationarity • Gyakorlatban hasznos a fenti meghatározás. • Más meghatározások (klf erősség!): • Minden Xi legyen IID • Várható érték és szórásnégyzet időeltolásra invariáns • Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti • deriváltjai 0-val egyenlőek, Erlang vezette be) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

18. Pontfolyamatok jellemzői 2. 2. Independence Ha ez minden t-re érvényes, akkor Markov folyamat. (Emlékezet nélküliség!) Ha ez a tulajdonság csak bizonyos időpontokban érvényes, akkor ezek neve: equilibrium points, vagy regeneration points. A folyamat emlékezete véges, az utolsó ilyen pontig tart. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

19. Pontfolyamatok jellemzői 3. Példák Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

20. Pontfolyamatok jellemzői 4. 3. Simple point proccess Időtartam szemlélet esetében nem lehet szakadás a t=0 pontban Példa. Közlekedési balesetek időpontjai egyszerű pontfolyamatot alkotnak. A sérült kocsik száma, vagy a balesetet szenvedett emberek száma nem-egyszerű folyamat többszörös eseményekkel. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

21. = = Little tétele 1. Both arrival and departure processes are considered asstochastic processes ... Görbék közti távolságok: rendszerben lévők száma = egy igény bent töltött ideje a k. beérkezés és a k. távozás közti időtartam Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

22. Little tétele 2. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

23. Little tétele 3. Minden várakozási rendszerre érvényes!! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.

24. Little tétele 4. Példák: Várakozási helyekre: Kiszolgáló eszközökre: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 10.