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統計學

統計學. 郭信霖 許淑卿. 第九章 假 設 檢 定. ■ 9-1 基本概念 ■ 9-2 母體平均數  的檢定 ■ 9-3 母體比例 p 的檢定 ■ 9-4 母體變異數  2 的檢定 ■ 9-5 兩母體平均數差  1 -  2 的檢定 ■ 9-6 兩母體比例差 p 1 - p 2 的檢定 ■ 9-7 兩母體變異數比  1 2 /  2 2 的檢定 ■ 9-8 電腦範例 ■ 9-9 流程圖. 一、假設檢定的觀念

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  1. 統計學 郭信霖 許淑卿

  2. 第九章 假 設 檢 定 ■ 9-1 基本概念 ■ 9-2 母體平均數的檢定 ■ 9-3 母體比例p的檢定 ■ 9-4 母體變異數2的檢定 ■ 9-5 兩母體平均數差1-2的檢定 ■ 9-6 兩母體比例差p1-p2的檢定 ■ 9-7 兩母體變異數比12/22的檢定 ■ 9-8 電腦範例 ■ 9-9 流程圖

  3. 一、假設檢定的觀念 所謂假設檢定，係指在尚未蒐集樣本資料、進行推論之前，就事先對母體的某種特徵性質作一合理的假設敘述，再利用隨機抽出的樣本及抽樣分配，配合機率原理，以判斷此項假設是否為真。 若抽出的樣本資料與所陳述的假設很不一致，檢定的結果必然認為這個假設不對，則否定或拒絕（reject）這個假設。

  4. 若抽出的樣本資料與所陳述的假設不會很不一致，檢定的結果就沒有充分理由斷定這個假設不對，但也不認為這個假設是對的，。若抽出的樣本資料與所陳述的假設不會很不一致，檢定的結果就沒有充分理由斷定這個假設不對，但也不認為這個假設是對的，。 假設檢定的主要精神在於尋找證據來拒絕H0而接受H1，所以假設檢定只能檢定H0是否顯著錯誤，而不能判斷其絕對正確，因此又稱為『顯著性檢定』（significant test）。

  5. 二、假設的類型 進行假設檢定時，必須建立兩種互斥且互補的假設。 虛無假設（null hypothesis）：是希望被否定、放棄的假設，以H0表示。 對立假設（alternative hypothesis）：是希望成立的假設，以H1表示。 若將估計量的可能數值，劃分為兩個互斥的子集合： 其一為C集合，通常稱為拒絕域、棄卻域、危險域（critical region，CR）；另一為C的餘集合C ，通常稱為接受域（accept region，AR）。 臨界值（critical value）：為兩個互斥區域C與C 的分界點，其圖形如下：

  6. ( b ) ( c ) 圖9-1 其中1，2為斜影部分(拒絕H0)與空白部分(接受H0)之分界點

  7. 至於母數可能數值的那一個集合應為H0或H1並無定論，一般皆依下面兩原則處理：至於母數可能數值的那一個集合應為H0或H1並無定論，一般皆依下面兩原則處理： 1. 樣本未獲得之前，將預期拒絕或很可能被拒絕的假設放置H0。例如，某人的宣稱或拒絕後其後果較嚴重者。 2. 樣本獲得之後，則依樣本統計量，將不可能存在的假設放置H0。

  8. 統計假設有三種型態：（其中與0分別表示某參數及其特定值）統計假設有三種型態：（其中與0分別表示某參數及其特定值） 1. 雙尾檢定（two sided test或two tailed test）：如圖9 - 1之(a) H0：= 0 H1：0，即> 0或< 0若發現母數的值，有大於或小於0的跡象時，可建立雙尾檢定。

  9. 2. 右尾檢定（right sided test或right tailed test）：如圖9 - 1之(b) H0：0 H1：> 0若發現母數 的值有大於特定值0的跡象，或預期> 0時，應建立右尾檢定。

  10. 3. 左尾檢定（left sided test或left tailed test）：如圖9-1之(c)H0：0H1：< 0若發現母數 的值有小於特定值0的跡象，或預期< 0時，應建立左尾檢定。 簡單假設（simple hypothesis）：假設中母體未知參數只有一個假設值。 複合假設（composite hypothesis）：假設中母體未知參數的假設值不僅一個時。

  11. 三、型I誤差，型II誤差及關係 1. 型I誤差與型II誤差 表9-1 檢定結果以及所發生的機率

  12. 此兩種誤差所發生的機率如下： (1)型I誤差所發生的機率大小為P(type I error) = P(拒絕H0｜當H0為真)顯著水準（significant level，）： = max P(type I error) = max P(拒絕H0｜當H0為真) (2) 型II誤差所發生的機率大小，一般皆以表示。= P(type II error) = P(接受H0｜當H1為真) = P(拒絕H1｜H1當為真)= 1 - P(拒絕H0｜當H1為真)

  13. 圖9-2 與之圖形，1 < 0

  14. 檢定力（power of test，1 -）：來衡量假設檢定的表現能力。 1 - =P(拒絕H0｜當H0為假)= P(拒絕H0｜當H1為真) 檢定力曲線（power curve）：在H1下所對應的檢定力1 -之曲線。 作業曲線（operation characteristic curve O.C.曲線）：由 之所有可能值建立的圖形，如圖9-4。

  15. 圖9-4 PF曲線與O.C.曲線

  16. 2. 和的關係 圖9-3 和的變化（以右尾檢定為例）

  17. 綜合以上的結論，可得到下列五個重要性質： (1) 和互有關聯，其中之一的機率變大（小），則另 一個機率就變小（大）。 (2) 若拒絕域的範圍愈小，則就愈小，值就愈大；反 之，拒絕域的範圍愈大，則就愈大，值就愈小。 (3) 增加樣本數n，就可以找出另外的拒絕域，使得和值將同時減少。 (4) 若H0不對，則H1中參數的真值愈接近H0的假設值 時，值就愈大；反之，真值和假設值之間的距離愈 大， 值就愈小。見圖9-5 (5) 顯著水準是參數的真值等於H0的假設值時的值。

  18. 圖9-5

  19. 四、如何建立拒絕H0的區域 最佳檢定： 的大小決定後，如何使Type II error所發生的機率 達到最小呢？ (1)雙尾檢定： H0：= 0，H1：0 圖9-7 雙尾檢定的拒絕區域為CR = { > C2或 > C1}。

  20. (2)右尾檢定： H0：0或H0：=0，H1：> 0 圖9-9 右尾檢定的拒絕區域為CR = { > C }。

  21. (3)左尾檢定：H0：0或H0：=0，H1：<0(3)左尾檢定：H0：0或H0：=0，H1：<0 圖9-11 左尾檢定的拒絕區域為CR = { < C }。

  22. 五、假設檢定步驟 檢定的一般步驟，歸納如下： 1. 首先確定問題，以建立假設。 2. 決定合適的檢定統計量。 3. 選取顯著水準，並由檢定統計量的機率分 配，建立拒絕區域CR。 4. 由樣本資料，計算統計量的值。 5. 結論

  23. 六、檢定的方法 不論檢定母體的何種參數，有四種方法，敘述如下： 1. 古典法（classical method）又稱臨界值檢定法 （critical-value test）。 2. 信賴區間法。 3. 統計量檢定法。 4. p-值法（p-value method）。 (1)臨界值檢定法：

  24. 表9-2 2已知，的臨界值檢定法

  25. 信賴區間： 表9-3 2已知，檢定的信賴區間法

  26. 檢定統計量： 表9-4 常態母體2已知，的檢定統計量法

  27. p - 值（p-value）又稱為顯著性機率檢定法（Significance Probability of the test）： p-值= P ( 新的拒絕區域｜H0為真) 表9-5 常態母體2已知，檢定的p-值法

  28. 9-2 母體平均數 的檢定 一、種類 分別說明如下： 1. 2已知： 在常態母體下，不論n的大小，均採用常態分配處理。  ～ N 或 Z = ～ N(0, 1)

  29. 表9-6 常態母體2已知之的檢定

  30. 2. 2未知且n  30 依CLT，以S2 = 代替2，則以常態分配處理。 Z = ～N(0, 1) 請注意： (a) 上面所說明的母體都為無限母體（或 0.05時），因此所得到 的Var( ) = 。 (b)若母體為有限母體時，所得到的 Var( ) =  。

  31. 3. 2未知且n < 30：以t分配處理設從常態母體N(, 2)，2未知，隨機抽出一組大小為n < 30的隨機樣本，此時 T = ～t(n - 1)

  32. 表9-7 n < 30且2未知之常態母體 的檢定

  33. 圖9-15 推論母體平均數 ，所選擇統計量分配的流程圖

  34. 9-3 母體比例p的檢定 二項試驗中，成功比例恰等於某特定數的假設檢定，即我們要檢定 H0：p = p0，H1：p p0或，H1：p > p0或H1：p < p0 當np0 5，且nq0 5，根據中央極限定理， 可知 = ～ N ， 則Z = = ～N(0, 1)

  35. 表9-8 大樣本（np  5且n(1 - p)  5），母體比例p的檢定 在H0之下， Z0= 在H0之下， Z = =

  36. 9-4 母體變異數2的檢定 • 關於母體的一致性、齊一性的假設檢定，或比較兩母體齊一性的假設檢定。

  37. 表9-9 未知時，常態母體2的檢定 ～2(n) Note：當 已知時，2 =

  38. 9-5 兩母體平均數差1－2的檢定 一、基本概念 討論兩母體平均數差1 - 2等於某數d0的檢定問題，譬如： (1) 比較新、舊處方治療某種疾病的成效。 (2) 比較新、舊兩種教學法的成效。 (3) 比較甲、乙兩廠牌日光燈所使用的平均壽命。

  39. 諸如以上的檢定問題都是比較兩個母體的平均數大小，此時常用的1 - 2的統計量為-，而關於1 - 2的假設檢定有如下列三種： (1) H0：1 - 2 = d0，H1：1-2d0 (2) H0：1 - 2d0，H1：1-2 > d0 (3) H0：1 - 2d0，H1：1-2 < d0 若d0 = 0，所檢定者，就是為兩個母體平均數相等的虛無假設，H0：1 = 2，也就是純為比較1與2的大小而己。

  40. 二、獨立樣本時，1 - 2的檢定 設從兩常態母體N(1 , )，N(2 , )中，分別隨機抽出一組樣本大小為n1，n2的獨立樣本(X1 , X2 , …, )與(Y1 , Y2 , …, )，則1 - 2的統計量為 - ，而 - 的抽樣分配是否為常態分配，而檢定法則需依，已知與否以及n1，n2的大小而定，玆按下列三種情況討論：

  41. I II 獨立 N(２, ) N(1, ) … … n1 n2 (X1, X2, …………,) (Y1, Y2, …………,)  - ～N

  42. 1. 與 已知： 在常態母體下，不論n1，n2的大小，皆以常態分配處理。 - ～N 或 Z = ～N(0, 1)

  43. 當d0 = 0時，三種檢定類型，就為如下所示，其他步驟如上表。

  44. 與 　未知且n1 30，n2 30 根據CLT，以 ， 分別代替 ， ，則以常態分配處理。

  45. 表9-11 未知且為大樣本(n1  30，n2  30)之1 - 2的檢定表

  46. 當d0 = 0時，三種檢定類型，就為如下所示，其他步驟如上表。

  47. 3. ， 未知且n1 < 30，n2 < 30 A. = = 2（未知）且n1 < 30，n2 < 30時，則 T = ～t( v ) 其自由度v = n1 + n2 - 2，其中 =

  48. ※ B.  未知且n1 < 30，n2 < 30時，以t分配處理。 設從兩個獨立常態母體N(1 , )，N(2 , )，  未知，分別隨機抽出兩組樣本大小n1 < 30，n2 < 30的隨機樣本，則 T = ，其中v = 稱T的抽樣分配為近似於t分配，其自由度為v，而由上式計算出的v不一定為整數，則以四捨五入的方式表示。

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