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函数的应用

函数与方程. 函数零点与对应方程根的关系. 用二分法求方程的近似解. 一次函数模型. 函数的应用. 二次函数模型. 指数函数模型. 常见的 函数模型. 对数函数模型. 函数模型及其应用. 幂函数模型. 分段函数模型. 对勾函数模型. 利用已知函数模型解决问题. 建立实际问题的函数模型. 忆 一 忆 知 识 要 点. 1 ．几类函数模型及其增长差异. (1) 几类函数模型. f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a , b 为常数， a ≠ 0). ( k , b 为常数且 k ≠ 0).

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Presentation Transcript

  1. 函数与方程 函数零点与对应方程根的关系 用二分法求方程的近似解 一次函数模型 函数的应用 二次函数模型 指数函数模型 常见的 函数模型 对数函数模型 函数模型及其应用 幂函数模型 分段函数模型 对勾函数模型 利用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型

  2. 忆 一 忆 知 识 要 点 1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 f(x)＝ax＋b (a, b为常数，a≠0) (k, b为常数且k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a, b, c为常数, a≠0) f(x)＝bax＋c (a, b, c为常数, b≠0, a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)

  3. 忆 一 忆 知 识 要 点 2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：

  4. 一次函数、二次函数模型 【例1】某企业生产A, B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位：万元)． (1)分别将A, B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

  5. (1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

  6. 分段函数模型

  7. 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．

  8. 指数函数、幂函数模型 【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (万人) 与年份x (年) 的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)； (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？ (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)

  9. 指数函数、幂函数模型 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指 数函 数 模 型 y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

  10. 用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的高与宽应各为多少？ 解:设框架的宽度为x m， 则其高度为h＝(6－2x) m, 0<x<3. 设框架的面积为y m2， 则y＝xh＝x(6－2x)＝－2x2＋6x ＝－2(x－1.5)2＋4.5， 当x＝1.5时, y取最大值4.5, 此时h＝3. 故当框架的高度为3 m, 宽度为1.5 m时, 框架的面积最大，从而窗户通过的阳光最充足．

  11. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨).某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的水量和水费.

  12. 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

  13. 解答数学应用题关键有两点： 一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题； 二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案．

  14. 1．函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域． 3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

  15. 三、解答题

  16. 三、解答题 7．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建 成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点 在AM上，D点在AN上，且对角线MN过 C点，已知AB＝3米，AD＝2米． (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米， 则DN的长应在什么范围内？ (2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.

  17. 8．(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．8．(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

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