第 四 章

1. 第 四 章 控制系统的稳定性分析 ----Lyapunov稳定性理论

2. 稳定性是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程解是否收敛，而与输入作用无关。稳定性是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程解是否收敛，而与输入作用无关。 给定一个静止的系统， （1）施加一个初始扰动，它 是否会恢复到静止状态； （2）在持续扰动下，系统的输出是否有界； 不同的稳定性概念： （1）李雅普诺夫意义下的稳定性（内部稳定性）； （2）输入输出稳定性(外部稳定性，BIBO稳定性)。

3. 输入输出稳定性 经典控制理论： 代数判据、奈魁斯特判据、对数判据、根轨迹判据。判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性、时变系统。 分析非线性系统稳定性的描述函数法，则要求系统线性部分有良好的滤除谐波的性能；而相平面法只适合于一阶、二阶非线性系统。

4. 李雅普诺夫稳定性 1892年俄国学者Lyapunov提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般理论,它不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 李雅普诺夫（1857－1918） • 1892年在博士论文中提出稳定性理论 • 1907（15年后）出版了法文版 • 1992（100年后）出版了英文版 • 当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字

6. Lyapunov理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了：Lyapunov理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了： 第一方法__依赖于线性化系统方程的特征解来判断稳定性,也称间接法； 第二方法__利用经验和技巧来构造Lyapunov函数籍以判断稳定性，又称直接法。 特别是后者，在现代的控制系统分析与综合中，如最优控制、自适应控制、非线性、时变系统的分析设计等方面，不断得到应用与发展。

7. 李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用 • 经典动力学􀀹 • 结构动力学 • 流体力学 • 化学动力学 • 生物学􀀹 • 经济学 • 控制

8. 目 录 第一节 动态系统的外部稳定性 第二节 动态系统的内部稳定性 第三节 Lyapunov判稳第一法 第四节 Lyapunov判稳第二法 第五节 Lyapunov法在LTI系统分析中的应用 第六节 MATLAB应用

9. 一、SISO系统 X0=0的情况下，若|u|≤m1，则|y|≤m2 外部稳定。 第一节 动态系统的外部稳定性 BIBO稳定P133~134

10. 二、MIMO系统 对于零初始条件的定常系统，设初始时刻t0=0，单位脉冲响应矩阵为g(t) ，传递函数矩阵为G(s) ，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为： 存在一个有限常数k，使g(t) 的每一个元素 满足 或者G(s) 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数Gij(s) 的所有极点处在左半复平面。

11. 第二节 动态系统的内部稳定性 • 系统的平衡状态 • 状态向量范数 • 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种） • 稳定 • 渐近稳定 • 大范围渐近稳定 • 不稳定

12. 一、系统的平衡状态 平衡状态：对所有时间t，如果满足 ，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。 说明： 1、对于线性定常系统： A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 ，总可经过一定的坐标变换，把它转换到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。

13. 二、状态向量范数 符号 称为向量的范数， 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：

14. 三、李雅普诺夫意义下稳定性意义 1、稳定与一致稳定(系统的自由响应是有界的) 设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、半径为的闭球域S()内，即若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为的闭球域S()内，即 则称该xe是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。 与t0无关的平衡状态称为一致稳定的。

15. x2 S() S()   x0 xe x1 该定义的平面几何表示见下图。

16. x2   x0 xe x1 S() S() 如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。 2、渐近稳定和一致渐近稳定 设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有： 即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。

17. 3、大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点x0，都有渐近稳定特性，即： 称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。当与t0无关时，则称为大范围一致渐近稳定。 条件：整个状态空间中只有一个平衡状态。（假设有多个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。） 结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。

18. 4、不稳定 不管有多小， 有多大，只要 S()内由x0出发的轨迹超出S()以外，则xe不稳定。 x2   x0 S() • 线性系统：平衡状态不稳定→系统不稳定。 • 非线性系统：平衡状态不稳定→只说明存在局部发散的轨迹。是否趋于无穷远? S()域外是否存在其它平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。 xe x1 S()

19. 不稳定 稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 一致（与t0无关） * 线性定常系统的内部稳定性与外部稳定性间的关系 内部稳定 外部稳定 外部稳定 内部稳定 若系统能控且能观测，则 内部稳定 外部稳定。

20. 第三节 Lyapunov判稳第一法(间接法) 基本思路: 通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。 • 线性定常系统：只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。 • 非线性不很严重的系统：可通过线性化处理，取其一次项近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。

21. 一、线性定常系统 S平面 临界稳定 不稳定区 稳定区 外部稳定性判据： 线性定常连续系统的传递函数是 ，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。 图解表示： 内部稳定性判据： 线性定常连续系统渐近稳定的充要条件：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复数。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。

22. [例4-6]设系统方程为： 试确定其外部稳定性、内部稳定性。 [解] （1）系统的传递函数为： 极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。 （2） 求系统的特征方程： 系统不是渐近稳定的。

23. 二、非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成Taylor级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程： 在平衡状态xe=0附近存在各阶偏导数，于是： f(x)--非线性函数 其中： h(x)--级数展开式中二阶以上各项之和

24. 令 则线性化系统方程为： 系统的Jacobian矩阵

25. 结论： • 1)若 ，则非线性系 • 统在 处是渐近稳定的，与 无关。 • 2)若 • 则不稳定。 • 3)若 ， • 稳定性与 有关，要用第二法判定。

26. 第二法判稳的过程：只要找到一个正定的标量函数v(x) ， 而 是负定的，这个系统就是稳定的。 第四节 Lyapunov判稳第二法（直接法） 基本思路： 不求解特征值，而是从能量观点分析稳定性。 • 系统被激励后，储能随时间推移逐渐衰减，到达平衡状态时能量达到最小值，这个平衡状态是渐近稳定的。系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，这个平衡状态就是不稳定的。系统的储能既不增加，也不消耗，这个平衡状态就是Lyapunov意义下稳定的。 • 实际系统很难找到一个统一的能量函数。虚 构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数， v(x)），根据v(x)和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。

27. v(x)说明： 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型 ，P是正定实对称方阵。

28. 一、标量函数V(x)的符号性质V(x)|x=0=0 正 定 负 定 例 例 半正定 半负定 例 例 不 定 例

29. 二、二次型标量函数的符号性质 1.二次型函数 实对称阵Pij=Pji 称为二次型函数。

30. P的定号性由Sylvester准则判定。 • 2. Sylvester准则： • P的各顺序主子行列式均大于零，即 则P称为正定矩阵，且V(x)正定。

31. P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 • 则P称为负定矩阵，且V(x)负定。 • 主子行列式含有等于零的情况，则V(x)半正定或半负定。 • 不属于以上所有情况的，V(x)不定。

32. 三、稳定性判据 判据1：设系统的状态方程为 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。

33. 判据2：设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是半负定的。 3）对任意初始时刻 的任意状态 ，在 ，除了在 时有 外， 不恒等于零。 则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 。 不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。

34. 判据3：设系统状态方程为： 为其平衡状态。如果存在一个标量函数 ，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是正定的， 在同样的邻域内是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。

35. 李氏第二法的步骤： [例1]设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。 [解]：1）找平衡状态 令 ，得 是唯一的平衡状态。 2）选李氏函数 选 ，则 正定 由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。

36. 3）当 ，即 ，得 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义： 等能量轨迹(整个平面)

37. [例2]设系统方程为： 试确定其平衡状态的稳定性。 [解]：1）平衡状态 令 ，得 是系统唯一的平衡状态。 2）李氏函数 同时有 不恒为零。 由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

38. [例3]：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。[例3]：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 [解]：平衡状态: 设 则 故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。

39. 可见 与x1无关，故非零状态(如x1≠0， x2=0 )有 ，而对其余任意状态有 则系统不稳定。 [例4]：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 [解]: 令 设

40. 一、线性定常连续系统的稳定性分析 第五节 Lyapunov法在线性定常系统分析中的应用 讨论：选择二次型函数 为李氏函数。 正定 目的：用李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 负定 由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据： 判据4：线性连续定常系统： 在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足： 且标量函数 就是系统的一个李氏函数。

41. 说明： 1）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 。 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。 3）如果 除了在 时有 外， 不恒等于零, 则由上一节判据2可知，Q可 取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：

42. [例1] [解]：选

44. P正定 是大范围一致渐进稳定

45. [例2]用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。[例2]用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。 [解]： 1、写出状态空间表达式

46. 状态空间描述为： 2、用李氏第二法判稳（令u=0） 1）Q能不能取做半正定？ 2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围 由判据4 得：

47. 注意：P为正定实对称矩阵。 解得： 根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k>0，且k>0 所以系统稳定的k值范围为0<k<6

48. 二、线性定常离散系统的稳定性分析 判据5：线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得： 且系统的李雅普诺夫函数是： 推导：

49. 说明1： 当取 时： 仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。 说明2：如果 沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。

50. 取： 根据 得： [例3]：已知线性离散时间系统状态方程为： 其中： 试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。 [解]：