Andmeturve ja krüptoloogia, IX Asümmeetrilised krüptoalgoritmid. RSA

1. Andmeturve ja krüptoloogia, IXAsümmeetrilised krüptoalgoritmid. RSA 1. november 2001 Valdo Praust vpraust@delfi.ee Loengukursus IT Kolledžis 2001. aasta sügissemestril

2. Avaliku võtmega krüptoalgoritm Avaliku võtmega krüptoalgoritm (public key cryptoalgorithm) ehk asümmeetriline krüptoalgoritm (asymmetric cryptoalgorithm) kasutab kahte võtit– esimese võtmega šifreeritud teave on dešifreeritav vaid teise võtmega ja vastupidi Ühest võtmest teist ei ole võimalik praktikas leida

3. Avaliku võtmega krüptoalgoritm: võtmed Avaliku võtmega krüptoalgoritmi võtmeid nimetatakse reeglina avalikuks võtmeks ja privaatvõtmeks (public and private key) • Avalik võti on tavaliselt kõigile soovijaile teada • Privaatvõti on reeglina aga subjekti (inimese, tehnilise süsteemi, programmi vms) ainuvalduses

4. Algoritmide tekke- ja kasutuslugu • Ilmusid krüptograafiasse 1970tel aastatel, varem neid ei teatud/tuntud • Peamised nimed, kes loomisega seotud: Diffie, Hellmann, Shamir, Adleman, Rivest • Kasutama hakati peamiselt 1980tel, kaasajal on põhilised tervikluse tagamise mehhanismid ja digitaalallkirja teoreetiline alus

5. Avaliku võtmega krüptoalgoritm: RSA Tuntuim avaliku võtmega krüptoalgoritm on RSA Seda loetakse turvaliseks alates 768 või 1024 biti pikkusest võtmest RSA korral on tingimused veidi pehmemad: privaatvõtmest avalikku võtit saab leida, kuid avalikust võtmest privaatvõtit mitte Nad on omavahel matemaatiliselt seotud, kuid avalikust võtmest privaatvõtme leidmine võtab aega miljoneid aastaid

6. RSA eripärad • Töötasid välja Rivest, Shamir ja Adleman 1978. aastal • Turvalisus põhineb matemaatilisel faktil, et suure kordarvu teguriteks lahutamine (kui ka tegurid on suured) on praktiliselt võimatu ülesanne • Tagab praktilise turvalisuse, ei taga teoreetilist (nagu kõik avaliku võtmag krüptoalgoritmid) • Murdmiseks läheb aega miljoneid aastaid (sõltub võtmepikkusest) • On maailmas väga levinud

7. RSA matemaatilised alused Algoritm on polünomiaalne (polünomiaalse keerukusega), kui pikkusega N ülesande lahendusaeg on võrdeline suurusega Nk mingi fikseeritud k korral Polünomiaalset algoritmi peetakse praktiliseks lahendamiseks heaks algoritmiks: N kasvades ei kasva lahendusaeg eriti kiiresti väga suurte arvudeni Palju halvemate omadustega on eksponentsiaalse keerukusega algoritmid: pikkusega N ülesande lahendusaeg on võrdeline suurusega 2N Eksponentsiaalse keerukusega algoritmid on praktikas mittelahenduvad

8. RSA matemaatilised alused Paljud praktikas kasutatavad algoritmid on polünomiaalsed: st nende kohta on teada vastavate omadustega lahendusalgoritm Paljude algoritmide kohta sellist algoritmi aga teada ei ole (need on praktikas lahendumatud) Näide 1: suuri algtegureid omavate kordarvude teguriteks lahutamine (Arvu pikkus on log N, vaja läbi vaadata N1/2 varianti) Näide 2: diskreetse logaritmi leidmine: a = gn (mod p), leida a, g ja p (algarv) põhjal n Nendel tõsiasjadel baseerub RSA turvalisus

9. RSA võtmete genereerimine valitakse kaks suurt algarvu p ja q (nt 512-bitised) arvutatakse kahe suure algarvu korrutis n = p • q valitakse arv e nii, et tal ei oleks ühistegureid arvuga (p-1)(q-1) leitakse arv d nii, et d • e = 1 mod (p-1)(q-1) avalik võti on (n, e) privaatvõti on (p, q, d)

10. RSA šifreerimine/dešifreerimine Šifreerida saab tekste (arve) mis on väiksemad kui pq bitti (512 bitiste p ja q korral 1024 bitti, ca 300 kümnendkohta) Šifreerimisel leitakse Y = Cip(X) = Xd (mod n) Dešifreerimisel leitakse X = Cip(Y) = Xe (mod n) Avatekst saadakse seepärast, et (Xd)e = X (mod n) põhjusel et d • e = 1 mod (p-1)(q-1)

11. Miks on RSA praktikas turvaline? Väide 1: kes teab avalikku võtit (n, e) ja avateksti X, kuid ei tea d, p ega q, ei suuda sooritada teisendust Y = Cip(X) = Xd (mod n) ilma p ja q või d teadmata, st ei suuda šifreerida • Selleks ta peab teadma d, mis sõltub definitsiooni põhjal aga suurustest p ja q • p ja q ei saa ta teada: teguriteks lahutamiseks ei ole teada polünomiaalset algoritmi

12. Miks on RSA praktikas turvaline? Väide 2: kes teab avalikku võtit (n, e) ja krüptogrammi Y = Cip(X) = Xe (mod n) kuid ei tea d, p , q ega X, ei suuda leida avateksti X Kuna X = Yd (mod n), siis on tarvis leida d d leidmine e põhjal eeldab aga, et on teada p ja q või osatakse arvutada diskreetset logaritmi

13. RSA turvalisus krüptoterminites Turvalisus on praktiline, matemaatika mõttes on kõik võimatuks peetav leitav (vaja on teha eksponentsiaalne arv tehteid) Privaatvõtmest saab avaliku võtme alati leida Avalikust võtmest privaatvõtit leida on võimatu Privaatvõtit omamata ei ole võimalik šifreerida nii, et avaliku võtmega dešifreerides asi lahti tuleks Kui teave on avaliku võtmega šifreeritud, ei ole võimalik seda avaliku võtmega enam lahti teha

14. RSA: termineid e on avalik eksponent(public exponent) don salajane eksponent(secret exponent) funktsiooni, mille väärtus on kergelt arvutatav, kuid selle pöördfunktsiooni ei ole praktikas arvutatav, nimetatakse ühesuunaliseks funktsiooniks (one-way function) Nt: kahe algarvu korrutamine vs teguriteks lahutamine; diskreetne eksponent vs diskreetne logaritm sellist ühesuunalist funktsiooni, mis on pööratav mingi täiendava teabekogumi põhjal nimetatakse salauksega ühesuunaliseks funktsiooniks (trapdoor one-way function). RSA ongi selline

15. RSA: algarvude leidmine On olemas efektiivseid praktikas kasutatavaid algarvude generaatoreid. Reeglina genereeritakse juhuslikud arvud, mille algarvuks olemist siis testitakse Mitmed neist põhinevad nt Euler-Fermat’ teoreemil: Kui a ja n on ühistegurita, siis aphi(n) = 1 (mod n) Φ(n) on nende n väiksemate arvude arv, millega tal puudub ühistegur, kui n on algarv, siis Φ(n) = n-1 Selle põhjal saab koostada testiseeria

16. RSA: algoritmi praktilisi detaile Ka e leidmiseks on testid olemas, mis tagavad, et tal ei oleks tegureid arvuga (p-1)(q-1) Suurimat ühistegurit saab kontrollida Eukleidese algoritmiga Kõik peale algarvude genereerimise ja e leidmise on pikkade modulaararitmeetika realiseerimise küsimus (on realiseeritav nii tark- kui ka riistvaras väga kiirelt)

17. RSA eripärad praktikas Šifreerimine ja dešifreerimine, kus kasutatakse modulaararitmeetikat, on küllalt kiired Siiski on need sümmeetrilistest krüptoalgoritmidest (DES, AES, IDEA jt) ca 2-3 suurusjärku (sadu kuni tuhandeid kordi) aeglasemad Võtmepaari genereerimine (sisaldab algarvude genereerimist) on šifreerimisest omakorda mitu suurusjärku aeglasem: kaasaja personaalarvuti leiab võtme siiski sekunditega või murdosadega

18. Näide (väikeste arvudega) p = 47, q = 71(algarvud) n = pq = 3337 (p-1)(q-1) = 46 x 70 = 3220 Valimee = 79, arvuga 3220 ei ole tal ühistegureid Leiame d = e-1 (mod (p-1)(q-1)) = 79–1 (mod 3337) = 1019 Avalik võti on(3337, 79) Privaatvõti on(47, 71, 1019) Šifreerimine, avatekst X = 688 Y = Xe (mod n) = 68879 (mod 3337) = 1570 Dešifreerimine: X=Yd (mod n) = 15701019 (mod 3337) = 688

19. RSA turvaline kasutus Võtmepikkus võib olla suvaline, see määrab ära p ja q suuruse. Kaasajal peetakse RSAd turvaliseks alates 1024 bitisest võtmest (pq väärtusest). Kasutatavaimad väärtused on (512, 768,) 1024, 1536, 2048, 3072 ja 4096 bitti (kahte esimest ei soovita kasutada) 1024 bitine võti: on vaja kaheks 155-kohaliseks algteguriks vaja jagada 310-kohaline kordarv

20. RSA krüptoanalüüs, I 70-kohalise arvu algteguriteks lahutamine nõuab kaasajal keskmiselt tööjaamalt ca 5 tundi 100-kohaline – samalt arvutilt ca pool aastat 140-kohaline arv lahutati 1996 teguriteks 5 aastaga, ühendades maailma paljude serverite jõupingutused Praegu on uusimatele matemaatilistele meetoditele tuginedes võimalik 150-kohalise arvu tagada kaheks algteguriks aastaga 50 miljonit krooni maksva arvutiga

21. RSA krüptoanalüüs, II 200-kohaline arv nõuab kümneid miljardeid kroone maksva arvuti korral aega ca 10 tuhat aastat 300-kohaline arv nõuab kogu praeguselt arvutivõimsuselt tööd kauemaks kui on Päikese eluiga (sajad miljardid aastad) On teada mitmeid kaasaja matemaatika eriteadmistel põhinevaid krüproanalüütilisi võtteid, kuid need ei ole RSAd oluliselt nõrgendanud, kui kasutada pikki võtmeid

22. RSA kasutamise praktilisi aspekte Pikka aega oli RSA USAs patenditud. RSAle anti 20. sept 1983 välja patent #4,405,829. Patent kaotas kehtivuse 20. sept 2000 Algoritmi kirjeldus on avalik, samuti mitmed tarkvararealisatsioonid Riistvaraversioonid on mõnikümmend kuni sada korda kiiremad

23. RSA koostöö sümmeetriliste krüptoalgoritmidega Pikkade andmekogumite krüpteerimiseks RSA ei sobi (on liiga aeglane) Need krüpteeritakse sümmeetrilise krüptoalgoritmiga, mille võti (sessiooni võti) spetsiaalselt genereeritakse ja vaid see võti vahetatakse avaliku võtmega krüptoalgoritmiga RSAga krüpteeritakse reeglina seega lühike sessiooni võti (jm lühikesi infokogumeid), ei enamat

24. Avaliku võtmega krüptoalgoritmi(RSA) kasutamine • Avaliku võtmega krüptoalgoritme saab kasutada salajaste võtmete turvalisel edastamisel üle liinide ilma füüsilise kokkusaamiseta. Ainus tingimus on siin avaliku võtme avalikkus • Avaliku võtmega krüptoalgoritme saab lisaks andmete konfidentsiaalsuse tagamisele kasutada ka nende tervikluse tagamisel. See ongi nende peamine kasutusvaldkond • Avaliku võtmega krüptoalgoritmidel põhineb digitaalallkirja (digitaalsignatuuri) idee

25. Avaliku võtmega krüptoalgoritmikasutamine šifreerimisel

26. Avaliku võtmega krüptoalgoritmikasutamine signeerimisel

27. Teisai avaliku võtmega krüptoalgoritme ElGamal DSS Diffie-Hellmann LUC XTR RSA on neist populaarsem