13 장 . 균형 탐색 트리 and the pain you must suffer to learn them

1. 13장. 균형 탐색 트리and the pain you must suffer to learn them Internet Computing Laboratory @ KUT Youn-Hee Han

2. 1. AVL 트리 • AVL 트리 • G. M. Adelson-Velskii and E. M. Landis • 항상 균형을 유지하는 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree) • 삽입 삭제가 일어날 때마다 트리의 균형 상태를 점검하고 복원 트리 T가 왼쪽, 오른쪽 서브 트리 TL, TR을 가짐 TL과 TR이 높이 균형을 이룸 |hL – hR| <= 1 • 균형의 점검 • 균형 인수(Balance Factor)를 사용 • 노드마다 오른쪽 서브트리의 높이에서 왼쪽 서브트리의 높이를 뺀 것 Data Structure

3. 1. AVL 트리 • AVL 트리 • Non-AVL 트리 Data Structure

4. 1. AVL 트리 • AVL 트리의 Balance Factor의 조건 • 반드시 -1, 0, +1 중 하나. • 균형 트리 (Balanced Tree)의 정의 • 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1인 트리 • Balance Factor의 범위가 넘어선 노드 확인 • 삽입, 삭제가 일어나면 반드시 해당 위치로부터 루트까지 올라가면서 모든 노드에 대한 Balance Factor가 그 범위를 넘어섰는지 확인 왼쪽 트리로부터 노드 K를 삭제함에 따라 균형이 깨어진 것이 오른쪽 트리. Balance Factor Balance Factor 가 AVL 트리 조건에 맞지 않음 Data Structure

5. 1. AVL 트리 • AVL 트리의 선언 typedef struct { char Name[ ];        이름 필드 node* LChild;          왼쪽 자식을 가리키는 포인터 node* RChild;          오른쪽 자식을 가리키는 포인터 int balance_factor; } node;                  노드는 구조체 타입 typedef node* Nptr;  노드를 가리키는 포인터를 Nptr 타입으로 정함 Data Structure

6. 3 5 2 5 3 6 4 6 1 4 2 1 Node 4 attached to new parent 1. AVL 트리 • 회전(Rotation)에 의한 균형 회복 • What is Rotation? • Rotation with Re-attachment Data Structure

7. 1. AVL 트리 • 회전(Rotation)종류 • 불균형 노드 A 와 새 노드 Y의 위치를 기준으로 다음과 같이 분류 • LL (Left Left Rotation) • LR (Left Right Rotation) • RL (Right Left Rotation) • RR (Right Right Rotation) A Insert Y RL RR LR LL Data Structure

8. 1. AVL 트리 • LL 회전 • 불균형 노드 A의 왼쪽 서브트리의 왼쪽 서브트리에 새 노드 Y가 삽입된 경우 • LL의 RChild에 삽입되는 경우와, LChild에 삽입되는 경우 -2 -2 12 12 L L L 7 L 7 20 20 3 3 10 10 2 5 Data Structure

9. 1. AVL 트리 • LL 회전 원리 • Single Rotation (with or without) reattachment Data Structure

10. 1. AVL 트리 • LL 회전 Data Structure

11. 1. AVL 트리 • RR 회전 • 원리 • Single Rotation(with or without) reattachment • RR 회전 예 Data Structure

12. 1. AVL 트리 • LR 회전 • 불균형 노드 A의 왼쪽 서브트리의 오른쪽 서브트리에 새 노드 Y가 삽입된 경우 • 원리 – Double Rotation with Reattachment Data Structure

13. 1. AVL 트리 • LR 회전 • 예 Data Structure

14. 1. AVL 트리 • RL회전 • 불균형 노드 A의 오른쪽서브트리의 왼쪽서브트리에 새 노드 Y가 삽입된 경우 • 원리– Double Rotation with Reattachment Data Structure

15. 1. AVL 트리 • RL회전 • 예 Data Structure

16. 1. AVL 트리 • 4개의 회전 종류에 없는 간단한 회전 • L회전, R회전 Data Structure

17. 1. AVL 트리 • AVL 트리 • 가장 먼저 시도된 균형 트리 이론 • 균형을 잡기 위해 트리 모습을 수정 • 실제 코딩면에서 볼 때 AVL 트리는 매우 까다롭고 복잡 • 트리의 균형 • 탐색효율 O(lgN)을 보장 • 삽입과 삭제 시간이 많이 걸림 • 삽입, 삭제 될 때마다 불균형 여부 검사하는 시간이 필요 • 트리를 재구성(Rebuilding)하는 시간이 필요 • 통계적으로 삽입, 삭제 이후… • 회전이 필요없는 경우: 54% • LL/RR 회전이 필요한 경우: 23% • LR/RL 회전이 필요한 경우: 23% Data Structure

18. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 일반적인 균형 트리 (Balanced Tree)의 특징 • 균형트리는 최악의 경우에라도 무조건 lgN 시간에 탐색하기 위함 • 루트로부터 리프까지 가는 경로를 최소화하기 위함 • 하지만, 모든 노드가 동일한 빈도(Frequency)로 탐색되는 것은 아님 • 자체 조정 트리 (Self-Restructuring Tree) – Splay Tree • Sleator and Tarjan • 탐색의 빈도를 기준으로 스스로 트리 모습을 재 구성하는 트리 • 무조건 균형을 유지할 것이 아니라 자주 탐색되는 노드를 루트 근처에 갖다 놓는 것이 더욱 유리 A splay tree is a self-balancing binary search tree with the additional unusual property that recently accessed elements are quick to access again. – [wikipedia] Data Structure

19. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 조정방법 I • 어떤 노드가 탐색될 때마다 그 노드를 바로 위 부모 노드로 올리는 방법 • 한번의 회전만으로 충분함. • 예: 아래 그림에서 키 3인 노드 탐색결과 • 탐색될 때 마다 부모로 올라가므로 탐색 빈도가 높은 노드들은 점차 루트 주위로 모인다. Data Structure

20. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 조정방법 II • 어떤 노드가 탐색되면 그 노드를 전체 트리의 루트로 옮김 • 한번 탐색된 노드는 이후에 탐색될 가능성이 높다고 간주 • 연속적인 회전이 필요 • 예: 노드 3의 탐색결과. • 회전시마다 자식노드의 오른쪽 서브트리는 부모노드의 왼쪽 서브트리로 연결됨 Data Structure

21. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 조정방법 II의 단점 • 트리의 균형 면에서 불리 • 노드 1의 탐색결과. 트리의 높이는 줄지 않고, 그대로 유지됨 Data Structure

22. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 스플레이(Splay, 벌림) • 조정방법 II를 개선 • 탐색된 노드를 루트로 올리되, 한번에 두 레벨씩 위로 올림. • Zig-Zig step • 두 번의 step • 1st 올림: 탐색된 노드의 부모 노드를 기준으로 올림 • 2nd올림: 탐색된 노드 자체를 기준으로 올림 • AVL에서의 Single/Double Rotation회전 원리와 다른 방법임에 유의 Data Structure

23. 2. 스플레이(Splay) 기법 • Zig-Zig step 예 • 키 3인 노드를 탐색. 루트에서 키 3까지는 Zig-Zig. Data Structure

24. 2. 스플레이(Splay) 기법 • Zig-Zag step • AVL의 LR 또는 RL회전과 완전 동일 • Zig-Zag step 예 Double Rotation Data Structure

25. 2. 스플레이(Splay) 기법 • Zig step Data Structure

26. 2. 스플레이(Splay) 기법 • 스플레이 트리 (Splay Tree) 의 특징 • LChild, RChild 링크가 벌어지는 (Splay) 효과로 인해 균형에 유리. • 하지만, 트리의 균형보다는 노드 자체의 탐색빈도를 더 중시함. • 어떤 노드가 상대적으로 다른 노드보다 자주 사용된다면 유리한 구조 • 모두 동일한 빈도로 사용된다면 Splay의 장점은 없음 Zig-Zig Zig Zig-Zig Data Structure