DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. gen. Dezyderego Chłapowskiego • Gimnazjum Nr 24 im. Władysława Orkana • ID grupy: 98/43_MF_G2, 98/86_MF_G1 • Kompetencja: Matematyka i fizyka • Temat projektowy MGP • Ile kosztują konstrukcje geometryczne • Semestr/rok szkolny: • III 2010/1011

3. Wstęp Konstrukcje geometryczne to rysunki wykonywane wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla. Nie używamy podziałki, nie korzystamy z papieru w kratkę. Rozwiązanie zadania konstrukcyjnego zawiera opis kolejno wykonywanych czynności oraz efekt końcowy w postaci rysunku. Żeby sprawnie poruszać się w świecie geometrii, trzeba znać konstrukcje podstawowe, takie jak np. symetralna odcinka, dwusieczna kąta, suma kątów czy odcinków itd. Duże znaczenie ma też znajomość własności figur geometrycznych. Jeszcze do niedawna do wykonania konstrukcji używano jedynie tradycyjnego cyrkla, linijki i zwykłej kartki papieru. Jeden błąd popełniony pod koniec rysowania powodował, że trzeba było rysować wszystko od początku, zwłaszcza gdy używano tuszu. Rozwój informatyki spowodował, że teraz większość rysunków wykonujemy przy pomocy programów komputerowych, dzięki którym efekt końcowy jest wyrazisty i estetyczny. Można nanosić poprawki bez obawy plam z atramentu.

4. Podstawowe konstrukcje geometryczne Na zajęciach projektowych mieliśmy okazję powtórzyć wiadomości o figurach i przypomnieć sobie kolejne kroki podstawowych konstrukcji. Wykonywaliśmy je najpierw w tradycyjny sposób, a potem przy pomocy programu GEOGEBRA. Komputerowe rysowanie dawało ciekawe możliwości i efekty. Dokonaliśmy też wyceny konstrukcji.

5. CENNIK OKREŚLAJĄCY KOSZT UŻYCIA POSZCZEGÓLNYCH NARZĘDZI UŻYCIE CYRKLA – 2 zŁ UŻYCIE LINIJKI – 1 zŁ WYBÓR PUNKTU – 0,50 zŁ

6. KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA Symetralna odcinka to prosta, która dzieli ten odcinek na dwie równe części i przecina go pod kątem prostym. - rysujemy odcinek AB - z końców odcinka kreślimy cyrklem łuki o rozwartości większej niż połowa odcinka - łączymy punkty przecięcia łuków

8. WYCENA KONSTRUKCJI SYMETRALNEJ ODCINKA

9. KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA Dwusieczna kąta jest to prosta, która przechodzi przez wierzchołek kąta i dzieli go na dwie równe części.

10. WYCENA KONSTRUKCJI DWUSIECZNEJ KĄTA

11. Proste prostopadłe to dwie proste przecinające się pod kątem prostym. Proste równoległe to dwie proste, które nie mają punktów wspólnych. Co to są proste prostopadłe i proste równoległe?

12. Konstrukcja prostej prostopadłej Rysujemy prostą k.

13. Konstrukcja prostej prostopadłej Z punktu A kreślimy łuki o tym samym promieniu, przecinające prostą k w dwóch punktach.

14. Konstrukcja prostej prostopadłej Z końców otrzymanego odcinka kreślimy przecinające się łuki o jednakowych promieniach.

15. Konstrukcja prostej prostopadłej Przez punkt przecięcia łuków oraz punkt A prowadzimy prostą.

16. WYCENA KONSTRUKCJI PROSTYCH PROSTOPADŁYCH

17. Konstrukcja prostej równoległej Rysujemy prostą k.

18. Konstrukcja prostej równoległej Z dowolnego punktu na prostej k kreślimy łuk przechodzący przez punkt A i przecinający prostą k.

19. Konstrukcja prostej równoległej Z otrzymanego punktu przecięcia łuku z prostą oraz z punktu A kreślimy, nie zmieniając rozwartości cyrkla, dwa przecinające się łuki.

20. Konstrukcja prostej równoległej Przez punkt A i punkt przecięcia łuków prowadzimy prostą.

21. WYCENA KONSTRUKCJI PROSTYCH RÓWNOLEGŁYCH

22. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Dane są dwa kąty α oraz β.

23. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Aby skonstruować sumę tych kątów rozpoczynamy od narysowania półprostej.

24. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Wybieramy dowolną rozwartość cyrkla i kreślimy nią łuki z wierzchołków obu kątów oraz z początku półprostej.

25. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Oznaczamy: punkty przecięcia łuków z ramionami kątów literami A, B, C, D punkt przecięcia łuku z półprostą literą P

26. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Przenosimy kąt α (mierzymy cyrklem łuk AB i kreślimy łuk z punktu P) Przenosimy kąt β (mierzymy cyrklem łuk CD i dokładamy do poprzedniego łuku)

27. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Przecięcie drugiego łuku oznaczamy literą R

28. KONSTRUKCJA SUMY KĄTÓW Łączymy początek półprostej z punktem R. Otrzymany kąt to suma kątów α + β.

29. WYCENA KONSTRUKCJI SUMY DWÓCH KĄTÓW

30. Tradycyjne dokumentowanie kolejnych kroków konstrukcji (zdjęcia i opis) okazało się bardzo żmudne i pracochłonne. Postanowiliśmy więc przedstawić kilka konstrukcji na filmach. Nasz aktorki zwierzyły się, że najtrudniej było zachować powagę podczas nagrywania 

31. Okrąg opisany na trójkącie

32. KONSTRUKCJA OKRĘGU OPISANEGO NA TRÓJKĄCIE Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Aby opisać okrąg na trójkącie, należy skonstruować symetralne co najmniej dwóch boków. Punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu opisanego. Film prezentuje konstrukcję okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. W tym przypadku wystarczy symetralna przeciwprostokątnej, ponieważ korzystamy z faktu, że: Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej.

33. FILM Jagoda opisuje okrąg na trójkącie prostokątnym.

34. WYCENA KONSTRUKCJIOKRĘGU OPISANEGO NA TRÓJKĄCIE

35. Styczna do okręgu

36. Styczna do okręgu Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny. Promień narysowany do punktu styczności jest prostopadły do prostej stycznej.

37. FILM Agnieszka konstruuje styczną do okręgu.

38. WYCENA KONSTRUKCJI STYCZNEJ DO OKRĘGU

39. Okrąg wpisany w trójkąt

40. KONSTRUKCJA OKRĘGU WPISANEGO W TRÓJKĄT Okrąg jest wpisany w trójkąt, gdy każdy każdy bok trójkąta jest styczny do tego okręgu. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Aby wpisać okrąg w trójkąt, należy skonstruować dwusieczne co najmniej dwóch kątów tego trójkąta. Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego. Film prezentuje konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

41. FILM Marta wpisuje okrąg w trójkąt równoboczny.

42. WYCENA KONSTRUKCJI OKRĘGU WPISANEGO W TRÓJKĄT

43. Zadanie Oblicz obwód pierścienia, który powstaje z koła opisanego i koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12 cm.

44. Rysunek pomocniczy

45. Etapy rozwiązania Obliczamy wysokość trójkąta

46. Etapy rozwiązania Obliczamy promień koła wpisanego

47. Etapy rozwiązania Obliczamy promień koła opisanego

48. Etapy rozwiązania Obliczamy obwód pierścienia

49. Etapy rozwiązania Obliczamy przybliżoną wartość tego obwodu Odp. Obwód pierścienia wynosi około 65,2 cm.

50. Wniosek Obwód pierścienia, który powstaje z koła opisanego i koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy obwodowi koła o promieniu równym wysokości tego trójkąta, a więc nie trzeba było obliczać poszczególnych promieni kół wpisanego i opisanego. h = R + r