第九讲 : §3.1 － 3.3

1. 第九讲: §3.1－3.3 数学家集体 数学基础 抽象代数学

2. 克莱因(德, 1849-1925): 数学现状 国际数学家大会 世界哥伦布博览会:芝加哥1893

3. 国际数学家大会 瑞士苏黎世工业大学 （1897年第一届国际数学家大会在此举行）

4. 克莱因(德, 1849-1925) 国际数学家大会 国际数学家大会(1897 ) 庞加莱(法，1854-1912) 关于纯分析和数学物理的报告

5. 希尔伯特(德, 1862－1943)：数学问题 国际数学家大会 揭开隐藏在未来之中的面纱, 探索未来世纪的发展前景, 谁不高兴? 23个数学问题 外尔(德, 1885-1955): 希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手, 他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠, 跟着他跳进了数学的深河 魏伊(法, 1906-1998): 希尔伯特问题就是一张航图, 过去50年间, 数学家总是按照这张航图来衡量他们的进步 2000年国际数学年 国际数学家大会(1900)

6. 国际数学家大会 莫斯科1966

7. 国际数学家大会 赫尔辛基1978

8. 国际数学家大会 华沙1982/1983

9. 国际数学家大会 京都1990

10. 国际数学家大会 布达佩斯1996

11. 国际数学家大会 北京2002

12. 国际数学家大会 马德里2006

14. 数学家集体 布尔巴基学派(法, 1935- )

15. 数学家集体 布尔巴基学派(法, 1935- ) H. 嘉当(法, 1904- ) 狄多涅(法, 1906- 1992)

16. 数学家集体 布尔巴基学派(法, 1935- ) 谢瓦莱(法, 1909-1984) 德尔萨特(法, 1903-1968) 韦伊(法, 1906-1998)

17. 菲尔兹(加, 1863-1932) 数学奖 菲尔兹奖(1936- ) • 1924年多伦多国际数学家大会主席 • 1932年苏黎世国际数学家大会通过 • 1936年奥斯陆国际数学家大会颁发 • 1974年温哥华国际数学家大会规定只授予40岁以下的数学家

18. 菲尔兹奖章 (正面-阿基米德头像) 菲尔兹奖章 (反面-超越人类极限, 做宇宙主人) 数学奖 菲尔兹奖(1936- )

19. 1936年阿尔福斯(芬-美, 1907-1996 )关于复分析获奖 1936年道格拉斯(美,1897-1965)关于极小曲面获奖 数学奖 菲尔兹奖(1936- )

20. 数学奖 菲尔兹奖(1936- ) 1983年丘成桐(中-美, 1949- )关于微分几何获奖

21. 拉福格(法, 1966- ) 　　　 弗沃特斯基(俄, 1966- ) 数学奖 菲尔兹奖(1936- ) 2002年ICM

22. 数学奖 菲尔兹奖(1936- ) 2002年ICM江泽民主席与获奖者

23. 沃尔夫(以, 1887-1981) 沃尔夫基金会 数学奖 沃尔夫奖(1978- )

24. 1978年西格尔(德, 1896-1981)关于数论、多复变函数获奖 数学奖 沃尔夫奖(1978- ) 1978年盖尔范德(苏联, 1913- )关于泛函分析、群表示论获奖

25. 数学奖 沃尔夫奖(1978- ) 1984年陈省身(中-美, 1911-2004 )关于微分几何获奖

26. 阿贝尔(挪, 1802－1829 ) 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 为实现1898年挪威数学家李(1842-1899)明确表达的要求中形成的一项提议发展而来 挪威文理学院在阿贝尔诞辰200周年之际设立, 从2003年起每年颁发一次

27. 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖

28. 弗雷格(德, 1848-1925) 数学基础 数理逻辑 • 来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思维演算的思想 • 德 •摩根(英, 1806-1871)和布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年布尔出版《逻辑的数学分析》 • 1879年《概念语言》提供数理逻辑的体系, 一切数学可以化归为逻辑, 成为数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人 • 1884年《算术基础》作为逻辑的延展建立数学, 从逻辑推出算术 • 由于罗素(英, 1872-1970)的工作, 弗雷格的工作受到重视

29. 数学基础 数理逻辑 • 以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面 • 1889年《算术原理新方法》完成了整数的公理化处理, 给出了自然数公理 • 1895-1908年5卷本的《数学公式汇编》试图从逻辑记号的若干基本公理出发, 建立整个数学体系, 希望将数理逻辑的概念应用在数学各分支的所有已知结果上 • 对罗素(英, 1872-1970)及布尔巴基学派的工作产生影响 皮亚诺(意, 1858-1932)

30. 1903年罗素悖论: 把集合分成两类 ： 凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．若M是第一类集, 则M M, 由M的定义, M M, 矛盾; 若M是第二类集, 则M M, 由M的定义, M M, 矛盾. 罗素(英, 1872-1970) 数学基础 • 康托(德, 1845-1918)意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾 . 公理集合论 • 集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机，动摇了整个数学的基础, 导致罗素类型论和策梅罗系统的诞生

31. 数学基础 公理集合论 • 公理集合论的主要开创者 • 1904年发表“每一集合都能够被良序地证明”, 提出了良序定理, 选择公理 • 选择公理是平行公理之外, 最引人注意的一条数学公理 • 1908年给出策梅罗系统 • 1921-1923年费兰克尔(德 , 1891-1965)和斯克朗(挪, 1887-1963)独立提出“替换公理”, 1925年冯 •诺伊曼(匈-美, 1903-1957)提出“正则公理” • 1929-1930年策梅罗确定为“策梅罗-费兰克尔公理系统”(ZF系统, ZFC系统) 策梅罗(德, 1871-1953)

32. 数学基础 公理集合论 费兰克尔(德 , 1891-1965) 斯克朗(挪, 1887-1963) 冯•诺伊曼(匈-美, 1903-1957)

33. 希尔伯特(德, 1862-1943) 数学基础 形式主义纲领 • 1900年希尔伯特问题: 连续统假设；算术公理的相容性 • 1922年提出希尔伯特纲领: 将数学形式化, 构成形式系统, 通过有限的证明方法, 借助超限公理, 导出无矛盾的数学系统 • 1928年提出4个实施步骤: • 分析的无矛盾性 • 选择公理的无矛盾性 • 算术及分析形式的完全性 • 一阶谓词逻辑的完全性

34. 数学基础 • 完全性定理: 1929年证明了一阶谓词演算的完全性 • 不完全性定理: 1930年证明了如果一个包括初等数论的形式系统是无矛盾的，那就是不完全的; 如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明 • 相容性定理: 1938年证明了选择公理、连续统假设的相容性 • 数理逻辑: 证明论、递归论、公理集合论及模型论 • 亚里士多德(希, 前384－前322)和莱布尼茨(德, 1646-1716)以来最伟大的逻辑学家 哥德尔时代 哥德尔(奥-美, 1906-1978)

35. 数学基础 • 1963年证明了连续统假设的独立性定理 • 1966年获得菲尔兹奖 科恩(美, 1934- )

36. 数学基础 《数学原理》 《论数学基础》 希尔伯特纲领

37. 抽象代数学 • 希尔伯特(德, 1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物 • 经典代数学: 求解代数方程和代数方程组 • 抽象代数学: 公理化方法研究具有代数结构的集合

38. 范•德•瓦尔登(荷, 1903-1996)《近世代数学》(1930-1931) 范•德•瓦尔登 诺特 阿廷 抽象代数学 • 诺特(德, 1882-1935)与阿廷(奥, 1898-1962)

39. 1830年伽罗瓦域(法, 1811-1832), 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域 • 1910年施坦尼茨(德, 1871-1928)《域的代数理论》 • 1908年亨泽尔(德, 1861-1941) 《代数数论》中p进域 施坦尼茨 亨泽尔 　　伽罗瓦 　　 韦伯 抽象代数学——域 • 有理数域、实数域、复数域

40. 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)发现四元数, 1845年凯莱(英, 1821-1895)引入八元数 • 1900年摩林(俄, 1861-1941)单结合代数定理, 1907年魏德本(美, 1882-1948)线性结合代数定理 • 1928年阿廷(奥, 1898-1962)环的结构定理 哈密顿 凯莱 魏德本 阿廷 抽象代数学——环 • 整数环

41. 1849年凯莱(英, 1821-1895)、 1882年戴克(德, 1856-1934)引入抽象群 • 弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)和舒尔(德, 1875-1941)的群表示论 • 1981年高林斯坦(美, 1923-1992)的有限单群分类问题 高林斯坦 戴克 弗罗贝尼斯 舒尔 抽象代数学——群 • 方程论, 1830年伽罗瓦(法, 1811-1832)置换群