Б.И. Вольфсон, Л.И. Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ И ГИА-9: учимся решать задачи. ―

1. Б.И. Вольфсон, Л.И. Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ И ГИА-9: учимся решать задачи. ― Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. ― 224 с. В книге излагается технология, позволяющая структурировать и тем самым облегчить процесс решения геометрических задач, приводятся примеры ее применения, проанализированы задания ЕГЭ и ГИА-9. Имеется справочный теоретический материал и задачи для самостоятельного решения.

2. КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ИДЕИ: 1. ОСВОЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Этот подход позволяет структурировать решение задачи и последовательно преодолеть возникающие трудности по аналогии с поэтапной сборкой сложного изделия на конвейере. ЗАМЕЧАНИЕ. Знание, а главное, понимание алгоритмов решения стандартных задач не отменяет самостоятельное творчество. Оно экономит время и дает инструмент, который позволяет осуществлять творческий процесс на качественно более высоком уровне.

3. 2. Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М. Эрдниева. Применение разработанного П. М. Эрдниевым метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ) базируется на одновременном рассмотрении логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Такой подход позволяет сформировать «стереоскопический» образ изучаемого объекта. Он стимулирует образование в мозгу функциональных систем, т.е. ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных познавательных задач. Отказ при использовании УДЕ от традиционного «квантования» учебного материала способствует тому, что его запоминание приобретает не механический (эрудиционный), а ассоциативный характер. Таким образом, наряду с накоплением знаний (накоплением информации) идет процесс обогащения мышления связями между знаниями, то есть повышается качество переработки информации.

4. 3. Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач. Данная методика предусматривает создание модифицируемых многопараметрических заданий по математике, в которых осуществляется циклическая замена известных и неизвестных величин. Методика ориентирована на формирование целостного мировосприятия и интеллектуальное развитие школьников. Предложенный подход к формированию модифицируемых учебных заданий лежит в русле метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Вслед за создателем метода УДЕ П. М. Эрдниевым мы обращаем внимание на необходимость рассмотрения всего блока заданий, относящихся к данной проблеме, в компактном временном промежутке. В этом случае многообразные связи, возникающие в мозгу ученика в процессе работы, закрепляются в виде единой комплексной системы.

5. 4. Проблемный подход к организации повторения курса геометрии. Использование проблемного метода приводит ученика от пассивного потребления готовых истин, излагаемых учителем, к участию в их установлении. Это способствует лучшему запоминанию и, что особенно важно, формированию личностно-ценностного отношения к изучаемому материалу. ―Подумаешь, Америку открыл!Еще в пеленках это мы знавали!…А я один, как клад, ее отрылИ позабыть уже смогу едва ли. Как я добыл ее! Я смертный потСтирал ладонью. Рот был сух от жажды.Я рыл и рыл… Владеет ею тот,Кто сам, один, добыл ее однажды. Она во мне. Я жил, ее тая.Я, стиснув зубы, в муках, на пределеЕе добыл. Вот истина моя!..Вы ж до сих пор банальностью владели. Евгений Винокуров.

6. 5. Последовательное применение принципа «чайника». Этот принцип состоит в сведении данной задачи к той, решать которую мы уже научились.

7. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ: 1. ЧТЕНИЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ. 2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА С БУКВЕННЫМИ ОБОЗНАЧЕНИЯМИ. 3. КРАТКАЯ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ (ФОРМИРОВАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ). 4. ПЕРЕНОС ДАННЫХ УСЛОВИЯ НА ЧЕРТЕЖ; ВЫДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЧЕРТЕЖА РАЗЛИЧНЫМИ ЦВЕТАМИ. 5. 3АПИСЬ ТРЕБУЕМЫХ ФОРМУЛ И ТЕОРЕМ НА ЧЕРНОВИКЕ (ФОРМИРОВАНИЕ БАЗЫ ЗНАНИЙ).

8. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ: 6. «ДЕТАЛИРОВКА» — ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЧЕРТЕЖАХ. 7. АНАЛИЗ ДАННЫХ ЗАДАЧИ, ПРИВЯЗКА ИСКОМЫХ ВЕЛИЧИН К ЭЛЕМЕНТАМ ЧЕРТЕЖА.  8. «СИНТЕЗ» — СОСТАВЛЕНИЕ «ЦЕПОЧКИ» ДЕЙСТВИЙ (АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ). 9. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ. 10. ПРОВЕРКА правильности решения. 11. ЗАПИСЬ ОТВЕТА.

9. B A C D Е F

10. Дано: В треугольнике АВС АВ=с=13 см; ВС=а=14 см; АС=b=15 см. Найти: 1) площадь S; 2) hb − высоту BD; 3) радиус вписанной окружности r; 4) величину наибольшего внутреннего угла треугольника АВС; 5) радиус описанной окружности R; 6) mb− длину медианы BF; 7) Lb − длину биссектрисы ВЕ угла В (точка Е лежит на отрезке АС); 8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности (Оо); 9) расстояние между центрами вписанной (Ов) и описанной (Оо) окружностей. В 13 14 А С 15 D E F

13. B А D C

14. B А C

17. B c m a А bF C

18. B А F c m b/2

19. A a K c b m c F m B a C

20. B А E C

21. В c L a А х Е b-x С

22. у В c a h m G R Oо А D F b C x

23. у В c h m a G R Oо А D F b C x

24. у В c a G Oо А D F b C x

25. у В c a G Oо А D F b C x

26. у В c a Oв r A/2 А Н b C x

27. у В c a Oв r A/2 А Н b C x

36. Решение. 1. Пусть АМ = 2х, BN = 4 y , тогд а МВ = 3х, NC = 7у . Тогда АВ = 2х + 3х = 5х, ВС = 4у + 7у = 11у. 2. Площадь S =АВ·ВС =5х · 11у =5 5 ху. прямоугольника АВС D 3. 5 5 ху = 22 0 0, отсюда ху = 4 0 . 4. Учитывая, что AD = BC = 11у , найдем площадь треугольника МА D : 1 1 = × = × × = S АМ АD 2 x 11 y 11 xy . 1 2 2 площадь треугольника 5. Найдем М BN : 1 1 = × = × × = S B М BN 3 x 4 y 6 xy . 2 2 2 6. Площадь четырехугольника MNCD находим как разность площадей АВС D прямоугольника и треугольников МА D и М BN : = - - = = × = 2 S 55 xy 11 xy 6 xy 38 xy 38 40 1520 (см ). MNCD 2 Ответ: 1520 см .

37. В прямоу Задача части 2 ГИА. гольную трапецию вписана окружность, радиус которой равен 6 см. Косинус острого угла при основании трапеции раве н 0,8. Найдите площадь трапеции (ответ запишите в квадратных сантиметрах). A M B O D N K C Решение. 1. Построим диаметр окружности M N , перпендикулярный к ее основаниям. Так как радиус равен 6 см, то MN = 2·6 = 12 ( см). ^ 2. Проведем BK DC . Очевидно, BK = MN = 12 см. 3. Пользуясь основным тригонометрическим тождеством найдем синус угла Ð = - Ð = - = 2 2 sin C 1 cos C 1 0 , 8 0 , 6 С: . 4. И з прямоугольного треугольника ВКС находим: = Ð = = ВС ВК : sin C 12 : 0 , 6 20 (см). ^ 5. Так как, по условию, AD BC , то AD = MN = 12 см. По свойству сторон четырехугольника, описанного около окружности, AB + DC = AD + BC = 12 + 20 = 32 ( см ). + AB DC 32 = × = × = S AD 12 192 2 6. Площадь трап (см ). еции 2 2 2 Ответ: 192 см .