Probabilità

1. Probabilità

2. obiettivi • dare all’alunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza cheanche l’ambitodel fortuito può essere analizzato razionalmente; • far valutare quantitativamente la probabilitàdi un evento secondo la definizione classica di probabilità come rapporto; • far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventialeatori composti; • -  studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemidelle scienze sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);

3. obiettivi • avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri, facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali,al crescere del numero delle prove, seguono una “ crescente regolarità” • recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concettimatematici:frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.

4. Contenuti Probabilità di eventi semplici Probabilità di eventi composti Applicazione della Probabilità alla genetica

5. Metodo Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su schede. La presentazione propone varie situazionilegate a giochidi fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):

6. metodo si chiederà di congetturare il risultato, di indovinare l’esito delle prove aleatorie e poi si passerà al tentativo dispiegazione, mediante il ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono “più facilmente” di altre Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortunainvece che in situazioni più legate alla vita reale, le situazioni reali sono troppo complesse

7. metodo Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili, come in alcuni libri di testo Neppure considerando le frequenze di un evento su di un certo numero di prove ma il metodo seguito è quello di far scoprire dagli alunni le proprietà della probabilità a partire da esempi opportuni.

8. Probabilità di eventi semplici Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventielementarisiano un numero finito N e tutti ugualmente possibili: ogni evento elementare ha probabilità 1/N se un evento Aè costituito da m eventi elementari la sua probabilità è m/N

9. Proprietà della probabilità: • P(AB)= P(A)+P(B) se AB= • Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilitàdell’evento unione è la somma della loro probabilità. • P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB) • Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilitàdell’evento unione è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione. • P()=0 • Probabilitàdell’evento impossibile.

10. Probabilità dell’evento certo P()=1 Probabilità dell’evento certo. P(CA)=1- P(A) La probabilitàdell’evento Aequello dell’eventocontrario (non A) danno somma 1. Dove A, B indicano eventi,  indica l’evento certo, l’evento impossibile e CA l’evento contrario di A.

11. Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenentidelle pallineperfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella 1°urna ci sono unapallina bianca e una nera, nella 2°urna unabianca e nove nere. URNE Prima urna Seconda urna

12. Vinci un premio • Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da una delle due urne. • Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione. • In quale urna ti conviene pescare? • E se le urne fossero cosìcomposte? • In quale pescheresti? Prima urna Seconda urna

13. Scheda 1. Per rispondere alla prima domanda notiamo che con nessuna delle due urne la vincita è sicura, con nessuna è impossibile,è tuttavia ovvio scegliere la prima urna, perché entrambe le urne contengono 1 pallina bianca, ma laseconda contiene moltepiù nere della prima Per rispondere allaseconda domandanotiamo che l’uscitadella biglia vincentenon è sicura, è chiaramente incerta, ma è più facile estrarre la bianca dalla seconda urna: cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i casi, l’estrazione della biancaè più probabile dalla seconda urna che dalla prima. Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di probabilità.

14. Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere: Considera, ora, la seguente situazione Scheda tre 2B 5N 1B 2N • 1°urna 2°urna • 1)In quale urna pescheresti? • Scegli e completa una di queste risposte: • Pesco nella prima perché......... • Pesco nella seconda perché.........

15. Scheda 3 • Nelle risposte alle domande della prima scheda l’intuizionesuggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il confronto non è così immediato • è richiesto il confronto tra due rapporti, • non è più così intuitivo • nella scheda tre deve essere calcolatoil rapporto

16. misura Si giunge all’idea di misurareo meglio di esprimerequantitativamente la probabilità dell’estrazione mediante unrapporto tra le pallinebianche e il totale delle biglie. Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare facilmente la probabilità di eventi diversi non immediatamente confrontabili tra loro

17. Definizione di probabilità di un evento Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili; si richiede il numero dei casi possibili sia finito gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili

18. definizione Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casipossibili è la “misura” della possibilità che si verifichi un certo evento. La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme. I sottoinsiemi di questo vengono detti eventi; gli elementi dell’insieme vengono detti eventi elementari. La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della probabilità.

19. Problemi didattici può succedere, che rispondendo alle domande di queste prime schede, gli alunni possano essere indotti a considerare il rapporto tra le palline bianche e quelle nere, invece di costruire un rapporto tra le palline bianche (o nere) e il totale delle palline. Si può, attraverso una discussione in classe con gli alunni, fare presente che per convenzione la frazione, che si utilizza per misurare la probabilità, ha come denominatore il totale dellepalline dell’urna, e che la frazione così costruita è piùopportuna perché in questo modo si evita di poter avere lo zeroa denominatoreo frazioni improprie. (Se, nell’introduzione della probabilità, dovesse apparire poco opportuno far sorgere questo problema, esso può essere evitato presentando altri esempi.)

20. Esempio ci sono due insiemi di buste : nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenentiun premio, nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenentiun premio. Se dovessi pescare a casouna busta per trovare un premioin quale pescheresti? (Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel lancio di un dado.)

21. Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per interrogare un ragazzo. • Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti. • Qual è la probabilità che tu sia interrogato? • Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il cui cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...? • E’ più facile che sia interrogato un maschio o una femmina? • Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi ancora lo stesso modo di interrogare. • Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà cambiare? Giustifica la tua risposta. Scheda sei

22. Scheda 6 si vuole far scoprire P()=0. La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso evento può cambiare se si modifica l’esperimento. Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere che la probabilità di un evento è un numero tale che 0p1, e si cerca di chiarire il significato della parola “evento”.

23. Esercizi • 1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre: • il fante di cuori • un fante • una figura • 2) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come probabilità di un evento il numero 4/3. • Ti sembra un risultato possibile? • 3) In un’urna ci sono 5 palline nere. Quantepalline bianche devi aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?

24. Scheda 8 la situazione viene rappresentata con un grafoad albero, dove alla fine di ciascun ramo è scrittol’evento considerato lungo ogni ramo si develeggere la probabilità dell’evento corrispondente. La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essereuguale a uno. Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.

25. In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse, Grafo ad albero 2 nere e 1 verde. Come puoi facilmente verificare la probabilità di estrarre una palina bianca è 2/5.Rappresentiamo la situazione con il seguente schema che si chiama”grafo ad albero: Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità . 2/5 …. …. …. Bianca Rossa Nera Verde

26. Lancio di un dado Un dado ha tre faccerosse, due blu e una bianca. Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu? Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.

27. scheda 9 fa scoprire “la regola della somma “ nel caso di eventi disgiunti.

28. Scheda nove • A una lotteria si vendono150biglietti. • Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi15. Nessun altro nella loro famiglia ha acquistato biglietti. • Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)= • Qual è la probabilità che lo vinca Luigi? P(L)= • Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro famiglia?(Scrivi il calcolo)P(F)= • Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati ottenuti rispondendo alle domande precedenti: • P(G)+P(L)=P(F)

29. Scheda dieci • In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5 al miele. • 1) Qual è la probabilità di estrarre: • Una caramella alla ciliegia; • Una caramella alla arancia; • Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)? • 2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad albero: Osserva che la somma delle probabilità dei primi due rami è uguale al numero ottenuto rispondendo alla domanda1 c .... ... ..... C A M

30. Somma la probabilità di tutti i rami del grafo • Quale numero ottieni? • Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità? • c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di probabilità? Perché?

31. scheda 10 si arriva al concetto di eventiincompatibilie si vuole anche far riflettere sull’uso di “o” nel senso latino “vel” e dell’unione fra insiemi.  Se indichiamo con C,l’evento “uscita di una caramellaalla ciliegia”, con A, l’evento “uscitadi una caramella alla arancia”,  calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”, cioè alla ciliegia o alla arancia,  la probabilità è P( CA)=P(C)+P(A)=7/12 Con il gruppo di domande al punto 3si vuole farscoprire che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P()=1).

32. Riflettere su eventi compatibili o non si possono richiamare, con opportune domande e presentando esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e riprendere in considerazione i connettivi logici “o” e “e”.

33. Scheda undici Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle Verifica che: P3 = P1+P2

34. Verifica che P6 P4 +P5 Sai spiegare perché, in questo caso, non si possono sommare P4 e P5 ?

35. Scheda 11 Si formula la regola della probabilitàdell’unione di eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sianel caso più generale. A: uscita di un numero <3 B: uscita di un numero >4 AB: uscita di un numero <3 o >4 Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6, quindi: P(B)=2/6=1/3

36. P(AB) Gli eventi elementari di AB sono: uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6,quindi si ha: P(AB)=4/6=2/3=1/3+1/3

37. P6P4+P5 A:uscita di un numero primo B: uscita di un numero >3 AB:uscita di un numero primo o >3 Gli eventi elementaridi A sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si ha: P(A)= 3/6=1/2

38. P(B) Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: P(B)= 3/6=1/2 Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha: P(AB)=5/61/2+1/2 l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi di B i casi AB non possono essere la somma dei rispettivi casi, l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta.

39. Queste considerazioni hanno validità generale: se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio dei casi di AB occorre fare attenzione a contare una volta sola gli eventi in comune. Eventi elementari di AB= eventi elementari di A + eventi elementari di B eventi elementari AB. In termini di Probabilità P(AB)= P(A)+ P(B) - P(AB).

40. Scheda dodici • Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità dell’evento”vincita della famiglia 1/60. • Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella famiglia cioè la probabilità dell’evento contrario. • Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza • 1-P(F) • In un’urna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse e 4 nere. • La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35. • Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad ogni ramo la probabilità di ciascun evento • Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.

41. Scheda 12 Si giunge al concetto della probabilità dell’evento complementare. Se si prendono in considerazione due eventi che sono “uno ilcontrario dell’altro” cioè due eventi che sono uno complementare dell’altro, le loro probabilità hanno somma 1.

42. Probabilità dell’evento complementare Se indichiamo con A un evento e conCA il suocomplementare si scrive allora: P(A)+P(CA)=1 da cui P(CA)= 1 - P(A)

43. Esercizi • Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità di estrarre: • una carta di fiori; • una figura; • una carta di fiori o una figura; • una carta di fiori o di cuori. • 2) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti, 4 sonodifettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso questa non sia difettosa?

44. Esercizi • 3)Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto). Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto: • il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; e) unn°multiplo contemporaneamentedi 2 e di 7 • 3) Hai a disposizione due urne: nella prima sono contenute 12 pallinebianche e 8 nere, nella seconda15 palline bianche. Quante palline nere devi aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più probabile estrarre una pallina nera dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?

45. Probabilità eventi casuali composti Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente.  due eventi A e B si dicono indipendenti se P(AB)=P(A)P(B) P(AB) P(A/B)=_______=P(A) P(B)

46. Lancio di due dadi Consideriamo il lancio di due dadi, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili? Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si riferisce all’esito del primo dado e il secondo n° si riferisce all’esito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)

47. Casi possibili 2°dado 1°dado

48. Somme gli esiti possibili nel gioco sono 36: la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36. Supponiamo di sommare , ad ogni lancio, i punteggi dei due dadi; utilizziamo una tabella a doppia entrata; in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi rispettivi:

49. Tabella 2° dado 1° dado

50. Commento E’ chiaro che gli esiti non sono equiprobabili Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi ”equidistanti“dalla diagonale disegnata: P(2) =P(12)=1/36 P(3) =P(11) =2/36=1/18 Infine P(7))=6/36=1/6