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第 03 章 數位邏輯. 3 -1 符號邏輯與真值表 3 -2 布林代數與邏輯閘 3-3 邏輯電路簡化技巧. 目錄. 3-1 符號邏輯與真值表. 3-1.1 什麼是符號邏輯 3-1.2 布林函數的真值表 3-1.3 用真值表找出布林函數. 什麼是符號邏輯?. 符號邏輯 就是以 邏輯運算符號 和 邏輯運算元 組合而成的邏輯運算式,邏輯的常數分別以 0 和 1 來代表真和假。. 邏輯運算符號:. AND :代表「且」運算,以「 ‧ 」表示。 OR :代表「或」運算,以「 + 」表示。 NOT :代表「否」運算,以「,」或「 ̄」表示。. 邏輯運算元:.
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第03章 數位邏輯 GoTop--計算機概論(第二版) 吳權威 王緒溢編著
3-1 符號邏輯與真值表 3-2 布林代數與邏輯閘 3-3 邏輯電路簡化技巧 目錄
3-1 符號邏輯與真值表 • 3-1.1 什麼是符號邏輯 • 3-1.2 布林函數的真值表 • 3-1.3 用真值表找出布林函數
什麼是符號邏輯? • 符號邏輯就是以邏輯運算符號和邏輯運算元組合而成的邏輯運算式,邏輯的常數分別以0和1來代表真和假。
邏輯運算符號: • AND:代表「且」運算,以「‧」表示。 • OR:代表「或」運算,以「+」表示。 • NOT:代表「否」運算,以「,」或「 ̄」表示。
邏輯運算元: • 以英文字母A、B、C……來表示,而運算元的值可能為0或1,因此又可稱為二元變數。
(1) X‧Y (2) X OR Y • (4) A‧ +C • (4) A AND OR C 邏輯運算式所表示的意義: • (1) X AND Y • (2) X+Y • (3) X+Y‧Z • (3) X OR Y AND Z • (5) A‧B‧C‧D • (5) A AND B AND C AND D
AND(且)邏輯運算符號說明: • 需要兩個運算元,只有當運算元均為”真”時,其結果為”真”,否則為”假”。 • 在X‧Y式中,當X=1、Y=1時,邏輯運算式X AND Y的值為1,其餘的情況則為0。
OR(或)邏輯運算符號的說明: • 需要兩個運算元,只要有其中一個運算元為“真”時,其結果為“真”,只有當兩個運算元均為“假”時,其結果為“假”。 • 在 X+Y式中,當X=0、Y=0時,邏輯運算式X OR Y的值為0,其餘的情況則為1。
NOT(否)邏輯運算符號說明: • 只需要一個運算元,當運算元為“真”時,其結果為“假”,而當運算元為“假”時,其結果為“真”。
布林函數-1: • 布林函數(Boolean function)是指以邏輯運算式所構成的函數。例如: • (1)F(X,Y)=X‧Y • (2)F(X,Y)=X+Y • (3)F(A,B,C)=A‧ +C • 上述三個布林函數的名稱均為F,這三個函數的邏輯運算式不同,其運算結果也就不一樣。
布林函數-2: • 在邏輯函數中,AND運算子必須優先運算,可以省略不用,例如: F(X,Y)=X‧Y 表示為 F(X,Y)=XY • 可使用括號來區別運算的先後次序,例如: F(X,Y,Z)=X(Y+Z) • 上面的函數中,Y、Z先進行OR運算,其結果再與X進行AND運算。
真值表: • 在邏輯運算式中每一個變數只有0和1兩種變化。 • 為了解布林函數的邏輯值,可以列出函數的真值表(True Table)。
函數的真值表-1: (1) (2)
用真值表找出布林函數: • 已知某一邏輯函數的真值表內容,也可以透過真值表,寫出相對於真值表的布林函數。 • 例如:真值表 。 • 在上列真值表中顯示,當A、B的邏輯值同為0或同為1時,邏輯函數值為1,因此邏輯函數可表示為 。
按一下滑鼠或鍵盤檢查答案 用真值表找出邏輯函數的另一個例子:
3-2 布林代數與邏輯閘 • 3-2.1 布林代數運算定理 • 3-2.2 邏輯閘 • 3-2.3 布林函數與邏輯電路 • 3-2.4 推算邏輯電路的真值表
布林代數運算定理: • 布林(George Boole)先生於1854年,發表布林代數理論。 • 建立了符號邏輯以及研究計算機基本原理的基礎。
邏輯閘: • 邏輯閘(Logic Gate)是一種表示與推算數位邏輯電路的基本元件,目的是為了簡化使用的邏輯閘和邏輯電路的運作效率。 • 根據邏輯函數中的邏輯符號,使用相對應的邏輯閘,就可以設計出完整的邏輯電路圖。
基本的邏輯閘名稱與圖形符號-4: 上述的邏輯閘是最基本的電子元件,積體電路(IC)就是以邏輯閘為基礎的電子元件所組成。例如積體電路編號7408的IC中,有四個AND閘,且每個閘有兩個輸入﹔而7432 IC中有四個OR閘,且每個閘有兩個輸入。
邏輯函數的邏輯電路圖-1: • 邏輯函數 F(X,Y,Z)=(X+Y)(Y+Z)的邏輯電路圖表示如下:
F(X,Y)= ()() F(X,Y,Z)= XY+YZ+XZ 邏輯函數的邏輯電路圖-2:
推算邏輯電路的真值表: • 我們可以將推算邏輯電路圖的真值表,轉換為邏輯函數,以驗證所設計的電路圖是否正確。
按一下滑鼠或鍵盤檢查答案 從邏輯電路圖推算真值表:
3-3 邏輯電路簡化技巧 • 3-3.1 最小項 • 3-3.2 最大項 • 3-3.3SOP與POS的轉換 • 3-3.4 什麼是卡諾圖 • 3-3.5 用卡諾圖化簡二變數邏輯函數 • 3-3.6 用卡諾圖化簡三變數邏輯函數 • 3-3.7 用卡諾圖化簡四變數邏輯函數
最小項-1: • 所謂最小項(Minterm),是指在邏輯函數中包含所有二元變數的積項(AND邏輯運算)。例如F(X,Y,Z)邏輯函數之最小項包括: • 下列的積項則不屬於F(X,Y,Z)邏輯函數的最小項: • F(X,Y)邏輯函數之最小項包括:
最小項-2: • 一個n個變數的邏輯函數共有2n個不同的最小項。 • 可用m0、m1、m2……mn-1等符號來代表各個最小項。 • 例如,兩個變數的最小項和符號表如下:
標準SOP形式: • 任何邏輯函數都可以使用最小項的邏輯和來表示,這種表示方法稱為標準SOP(Sum of Product ,簡稱為SOP)形式。 • 例如下面的邏輯函數:
簡化邏輯函數: • 為了簡化表示的方式,最小項可以使用符號來表示如下: • 再近一步簡化表示如下:
最大項-1: • 所謂最大項(Maxterm)是指在邏輯函數中包含所有二元變數的和項(OR邏輯運算)。
最大項-2: • 例如F(X,Y,Z)三變數邏輯函數之最大項包括: ++ 、 ++Z、 +Y+ 、 +Y+Z、 X++ 、X++Z、X+Y+ 、X+Y+Z • 而下列的和項則不是F(X,Y,Z)邏輯函數的最大項: X+Y、X+Z、Y+Z、 + 、 + 、 + • F(X,Y)二變數邏輯函數之最大項包括: + 、 +Y、X+ 、X+Y
最大項-3: • 一個n個變數的邏輯函數共有2n個不同的最大項。 • 可用M0、M1、M2……Mn-1等符號來代表各個最大項。 • 例如,兩個變數的最大項和符號表如下:
標準POS形式: • 使用其最大項的邏輯乘積來表示,這種表示方法稱為標準POS(Product of Sum ,簡稱為POS)形式。 • 例如:下面的邏輯函數
簡化邏輯函數: • 為了簡化表示的方式,最大項可以使用符號來表示如下: • 再近一步簡化表示如下:
SOP與POS的轉換-1: • 使用SOP和POS表示的邏輯函數可以相互轉換,每一個最小項都有一個對應的最大項。 • 下表是二變數邏輯函數之最小項和最大項的對應表。
SOP與POS的轉換-2: • 從上張投影片的表中可以看到, ,因為 邏輯函數 • SOP簡化形式為 • POS簡化形式為
SOP與POS的轉換-3: • 當三變數邏輯函數的SOP形式表示如下時: F(X,Y,Z)= • 則可以轉換為POS形式表示如下: F(X,Y,Z) =
什麼是卡諾圖? • 卡諾圖(Karnaugh Map)是一種非常實用的簡化邏輯電路的圖解法。 • 卡諾圖是由邏輯最小項(或最大項)所組成的二維矩陣,在矩陣中填入所對應最小項(或最大項)的值(1或0),然後藉由矩陣中的二元數值,進行簡化的工作。
兩個變數的卡諾圖表示方式: • 兩個變數的卡諾圖,以最小項表示如下: • 以最小項的符號表示:
三個變數的卡諾圖表示方式: • 三個變數的卡諾圖,以最小項表示: • 以最小項的符號表示:
四個變數的卡諾圖表示方式-1: • 四個變數的卡諾圖,以最小項表示: