刚体的转动

第四章 刚体的转动

刚体的转动：刚体中所有的点都绕同一直线（转轴）作圆周运动刚体的转动：刚体中所有的点都绕同一直线（转轴）作圆周运动刚体的定轴转动：轴为固定的转动一、刚体的定轴转动 1、刚体的转动刚体的平动：刚体的一般运动：平动和转动的合成运动

角坐标θ、角位移d 角速度ω=d/dt 角加速度=d/dt 说明：角速度、角位移、角加速度都是矢量（如角速度矢量的方向，由右手法则确定为沿转轴方向），但在刚体定轴转动时，角速度等矢量方向与轴平行，则它们可以用代数量来表示 2、描述刚体定轴转动的物理量

3、匀变速转动公式

4、角量与线量关系 二、刚体的转动定律转动惯量 1、力矩复习：力对转轴的力矩刚体转动：

截取参考平面：平面上有力，其对轴的力矩 回顾：方向：右手法则所以方向：右手法则确定

（1）是力矩定 义式（对点、对轴），在定轴转动中，力矩可以表示代数量是（2）力矩大小由大小和两个因素确定，当力平行于转轴和力的作用线通过转轴时，力对轴的力矩为零。讨论：

（3）定轴转动中，式中 是指在参考平面内的作用力，如果外力不在转动平面上，则上式理解为外力在该平面上的分力。（4）几个外力同时作用在刚体上，则它们对转轴的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。（5）一对内力对轴的力矩和等于零，则质点系对任一轴的内力矩之和必为零。

质点： 刚体：任取一质元，其绕轴作半径为r的圆周运动受力分析：切向乘以 2、刚体定轴转动定律设刚体绕定轴Oz转动由牛顿第二定律

对刚体 （为什么？）其中 —转动惯量刚体定轴转动，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比

或 3、转动惯量J：描述刚体在转动中的惯性大小的物理量转动惯量的大小：刚体内每个质点的质量与该质点到转轴距离平方之积的总和。 4、转动惯量的计算（一般的需用实验方法求出）

其中（质量体分布）（质量面分布）（质量线分布）例题1、质量为，长为的均匀细棒，计算（1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量（2）通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量

解：刚体质量的线分布 （1）取图示坐标系ox：取一质元（2）取图示坐标系

可见： ①转动惯量大小与转轴的位置有关刚体对某轴的转动惯量等于刚体通过质心与该轴平行的转动惯量与刚体质量和两轴间距离平方乘积之和。 ②平行轴定理

例题2、质量为m的匀质细圆环，半径为R，求通过中心o并与环面垂直的轴的转动惯量。例题2、质量为m的匀质细圆环，半径为R，求通过中心o并与环面垂直的轴的转动惯量。则解：取一质元dm

例题3、质量为m，半径为R的均匀薄圆盘，求通过中心o并与圆盘面垂直的轴的转动惯量例题3、质量为m，半径为R的均匀薄圆盘，求通过中心o并与圆盘面垂直的轴的转动惯量解：刚体质量面分布，设计算思路：将一复杂形体的刚体，分作为若干简单形体的组合，根据转动惯量的可加性，先算出简单形体转动惯量，然后再求和获得刚体的转动惯量

将圆盘分成一系列半径，宽度为，质量为 的细圆环“元”组成由圆环的转动惯量得“元”圆环的所以圆盘：

解：刚体质量体分布 由例3得到启示将球体分成一系列半径不同的质量为dm的 “元”薄圆盘组成例题4、质量为m，半径为R的均匀球体，求通过球心的轴的转动惯量

由薄圆盘的转动惯量式

转动惯量计算小结 （1）转动惯量的大小与刚体总质量、质量分布和转轴有关。（2）多种计算方法，要掌握每一种方法的思路和要点。（3）一般情况由实验求得。

5、刚体定轴定律 的应用举例基本方法和步骤分析力，确定外力矩列出转动定律和牛顿定律方程列出线量和角量之间的关系式求解联立方程

刚体例题1、图示物体质量mA、mB圆柱形滑轮质量mc ，半径R，若不计桌面和轮轴摩擦力，求：⑴两物体的加速度和绳的张力； ⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？解：分析力和力矩 ⑴列出方程

物体A 物体B 联系式联立求解得

解：分析：杆在运动过程中受到变力矩作用！则其角加速度为变值，由 求要用积分设杆在某一位置时，例题2、质量为m，长为l的匀质细杆，可绕其一端的水平固定轴转动，将杆从水平位置静止释放，求杆下落到竖直位置时的角速度。

由转动定律，

讨论力对时间的累积作用引出冲量和动量 质点：刚体：讨论力矩对时间的累积作用，将引出冲量矩和角动量 1、质点的角动量质点对某一点的角动量设质点m，具有速度三、角动量角动量守恒定律（一）质点角动量

其对空间某一点o的角动量 定义：大小： (1) 垂直和组成的平面。 (2) 与参考点有关，需指明对那一点的角动量。方向：右手法则（矢积法则）讨论：

⑶作为一个特例（常见）： 若质点在平面上作圆周运动，质点对圆心o的角动量又称为质点对过o点垂直于运动平面的轴的角动量大小：方向：垂直圆平面

2、质点的角动量定理 牛顿第二定律因代入上式即

或写成 作用于质点的合力对参考点o的力矩，等于质点对该点o的角动量随时间的变化率作用于同一参考点o所受的冲量矩（角冲量）等于质点角动量（动量矩）的增量—质点的角动量定理

若，则 3、质点的角动量守恒定律质点所受的对参考点o的合力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量实例：天体中行星绕太阳运动；演示实例

4、应用举例 例题1、我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心o为该椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km，卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384km，若卫星在近地点A1的速度v1=810km·s-1，求卫星在远地点A2的速度。

解：卫星运动过程， （为什么？） A1 A2 得

例题2、半径为 的光滑圆环置于竖直平面内，质量的小球由点静止下滑，求小球到时对环心的角动量和角速度（不计摩擦）。解：受力分析如图作用小球力矩方向垂直图面向里

设小球角动量为，方向垂直图面向里，则 式（2）代入式（1）得：讨论：该题用其它方法（功能原理）更为简单方便。

即（二）刚体的角动量 1、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动对转轴的角动量就是刚体上各质点对定轴的角动量之和。任一质点都绕轴作圆周运动，所以

设作用于刚体中某质点 的力矩，中含有外力矩和内力矩，则 2、刚体定轴转动的角动量定理对定轴转动的刚体

若物体内各质点相对转轴位置发生变化 作用于物体上的冲量矩（角动量）等于其角动量（动量矩）的增量。

若，则恒量 3、刚体定轴转动的角动量守恒定律如果物体受到合外力矩等于零，物体角动量保持不变。讨论：（1）守恒定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。（2）定律推广到非刚体

（3）几个角动量守恒的实例 花样滑冰、跳水运动、体操运动、猫从高处掉下来、地球自转周期的变化

4、应用 例题1、杂技演员M、N的质量均为m。均匀细跷板长l，质量为m′,支撑于中点o,若M 从高h自由下落与板作完全非弹性碰撞，求N可弹的高度。解：取演员M、N和跷板为系统，以通过 o点轴为转轴，演员M与跷板碰撞的过程，系统角动量守恒（为什么？）

式中为碰撞后演员和跷板c的角速度，u为碰撞后演员M、N 的线速度，解得碰撞前碰撞后由角动量守恒

例题2、静止水平转台边缘上一质量为 的人，当人沿边缘以速率行走时，问转台得角速度为多大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转动惯量为，半径为所以演员达到高度解：取人和转台为系统，则人走动时，系统角动量守恒（为什么？）

设平台角速度为，人相对转轴角速度为 。其中（负号意义）

设刚体定轴转动中，刚体在切向力 的作用下，绕轴转过即所以四：刚体绕定轴转动的功能关系 1、力矩的功讨论：（1）力矩的功（力的功）

（2）外力作用下（ ），与上结果相同。（3）指合外力矩 2、刚体定轴转动的动能

因 3、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能的增量。

—刚体质心位置 4、刚体的势能 5、功能原理和守恒定律的应用对于刚体和质点组成的系统中，原理同样适用。动能：质点和刚体转动动能势能：质点和刚体的势能

例题1、图示滑轮上绕 有轻绳，一端挂质量为的物体。求当物体由静止下落高度时的速度大小。解：分析受力：图示外力矩对滑轮作功，由刚体动能定理得外力对物体作功，由质点动能定理得

刚 体 的 转 动