Download
1 / 19
200 likes | 331 Views
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης. Μέση Ισχύς για νομοτελειακά σήματα ισχύος. Για νομοτελειακά σήματα ισχύος : Η μέση ισχύς ορίζεται ως:. Μέση χρονική τιμή αυτοσυσχέτισης. Για νομοτελειακά σήματα ισχύος : Η μέση χρονική τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης :
E N D
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης
Μέση Ισχύς για νομοτελειακά σήματα ισχύος. • Για νομοτελειακά σήματα ισχύος: • Η μέση ισχύς ορίζεται ως:
Μέση χρονική τιμή αυτοσυσχέτισης. • Για νομοτελειακά σήματα ισχύος: • Η μέση χρονική τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: • Αν το νομοτελειακόσήμα είναι περιοδικόμεπερίοδο Τ0, η χρονικήσυνάρτησηαυτοσυσχέτισηςυπολογίζεταικαιαπόμίαπερίοδοτουσήματος:
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος • Μπορεί εύκολα να δειχτεί ότι ο μετασχηματισμός Fourier της <RXX(τ)>ικανοποιεί: • Γι’ αυτό ο μετασχηματισμός Fourier SXX(f)ορίζεται και ως πυκνότητα φάσματος ισχύος
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος για WSS Τ.Σ. • Για στατικά τυχαία σήματα, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υπολογίζεται παίρνοντας το μέσο όρο όχι ως προς το χρόνο, αλλά ως προς τις πιθανές πραγματοποιήσεις του τυχαίου σήματος: • Η πυκνότητα φάσματος ισχύος (PSD) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης(Wiener-Khinchine): • Αντίστροφα:
Ιδιότητες PSD • Η συνάρτηση SXX(f)είναι πραγματική και μη αρνητική: • Η αναμενόμενη ισχύς του X(t)είναι:
Ιδιότητες PSD • Αν το σήμα Χ(t) είναι πραγματικό, τότε η Rxx(t) είναι άρτια συνάρτηση και επομένως η Sxx(f) είναι επίσης άρτια συνάρτηση
Βαθυπερατά και Ζωνοπερατά Σήματα • Η ισχύς ενός στατικού υπό την ευρεία έννοια τυχαίου σήματος σε μια ζώνη συχνοτήτων [f1, f2]: • Ένα βαθυπερατό σήμα έχει ισχύ (μη μηδενική πυκνότητα φάσματος ισχύος) στη ζώνη συχνοτήτων: | f | ≤ B • Β είναι το εύρος ζώνης (bandwidth). • Ένα ζωνοδιαβατό σήμα έχει ισχύ (μη μηδενική πυκνότητα φάσματος ισχύος) στη ζώνη συχνοτήτων:
PSD Τυχαίων Σημάτων διακριτού χρόνου • H PSD ενός Τ.Σ. διακριτού χρόνου X(nTs) με συχνότητα δειγματοληψίας Ts=1 ισούται με το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (Discrete-timeFourierTransform): • Όπου: • Από τον ορισμό προκύπτει ότι η Sxx(f) είναι περιοδική με περίοδο 1.
PSD Τυχαίων Σημάτων διακριτού χρόνου • Αντίστροφα: • Αν το σήμα Χ(n) είναι πραγματικό, τότε η Rx(n) είναι άρτια και επομένως:
Παράδειγμα (1) • Βρείτε και σχεδιάστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του τυχαίου σήματος Χ(t) = 10 cos(2000 πt + Θ), όπου Θ είναι Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. • Υπολογίζουμε την Αυτοσυσχέτιση: • Η PSD θα είναι:
Παράδειγμα (1) • Η PSD θα είναι: • και • Οπότε: • Ιδιότητα Μετασχηματισμού Fourier: • Τελικά:
Παράδειγμα (2) • Βρείτε και σχεδιάστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του τυχαίου δυαδικού σήματος που μελετήθηκε σε προηγούμενο παράδειγμα. • Είχαμε υπολογίσει την αυτοσυσχέτιση του σήματος: • Η PSD είναι:
Παράδειγμα (3) • Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας στατικής υπό την ευρεία έννοια διαδικασίας είναι Rxx(τ) = Αexp(-α|τ|), Α, α>0. Βρείτε την πυκνότητα φάσματος ισχύος. • Λύση:
Παράδειγμα (3) • οπότε:
Παράδειγμα (4) • Η πυκνότητα φάσματος ισχύος μιας κανονικής (Gaussian) στοχαστικής διαδικασίας με μηδενική μέση τιμή δίδεται από: • Βρείτε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και δείξτε ότι οι Τ.Μ. Χ(t) και X(t + 1ms) είναι ασυσχέτιστες και επομένως και ανεξάρτητες • Λύση: Έστω Β=500Hz. Η αυτοσυσχέτιση είναι:
Παράδειγμα (4) • • Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα: • Τελικά: • Για τ=1ms:
Παράδειγμα (5) • Το X(t) είναι ένα στατικό τυχαίο σήμα με πυκνότητα φάσματος ισχύος: • Το Χ(t) πολλαπλασιάζεται με το Τ.Σ. Y(t) = A cos (2πfct + Θ), fc>>B, όπου Θ είναι Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Χ(t), Y(t) είναι ανεξάρτητα, βρείτε την PSD του Z(t) = X(t)Y(t). • Από προηγούμενο παράδειγμα: • Διαμόρφωση εύρους: • Έχουμε δείξει ότιΖ(t) είναι WSS με αυτοσυσχέτιση:
Παράδειγμα (5) • Η PSD θα είναι: • όπου:
