Wykład 4

1. Wykład 4 Relacje równoważności Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

2. R P M 1500 600 2001 2000 1999 1998 F 2000 Relacja Równoważności Przykład. Niech X oznacza zbiór samochodów oraz x,y X. 1. x  y wttw x i y są samochodami tej samej marki 2. x  y wttw x i y mają tę samą pojemność, 3. x  y wttw x i y zostały wyprodukowane tego samego roku Zwrotność + symetria + przechodniość Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

3. UW SGGW PW kobiety mężczyźni SGPiS PJWSTK Przykłady X zbiór studentów studiujących w Warszawie. Przyjmijmy, że każdy x X jest studentem tylko jednej Uczelni. 1. x y wttw x i y są studentami tej samej Uczelni. 2. x y wttw x i y są kobietami lub x i y są mężczyznami 3. x  y wttw zarówno x jak i y śpią na wykładzie Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

4. Definicja Relacja binarna  w zbiorze X,  X  X jest relacją równoważności wttw  jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Każda relacja równoważności  w zbiorze X wyznacza pewną funkcję zwanąodwzorowaniem kanonicznym f : X  P(X) taką, że f(x) = [x]. tzn. dla dowolnych x, y, z X,x  x jeżeli x  y, to y  x jeżeli x  y i y  z, to x  z Uwaga Każda funkcja f : X  X wyznacza w zbiorze X relację równoważności  taką, że x y wttw f(x)= f(y). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

5. Przykład Relacji Równoważności Przykład Dany jest graf niezorientowany <V,E>, gdzie V jest zbiorem wierzchołków a E zbiorem krawędzi grafu. Definiujemy x  y wttw y jest osiągalne z x, tzn. istnieje droga łącząca wierzchołki x i y w grafie G. Uwaga Tak zdefiniowana relacja jest tranzytywnym (przechodnim) domknięciem relacji sąsiedztwa E i jest relacją równoważności. Przykład Relacja inkluzji w zbiorze P(X) nie jest relacją równoważności. Dlaczego? Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

6. Lemat Gdyby w zbiorze [x]  [y] był chociaż jeden element z, to byłoby zx oraz zy. Zatem z przechodniości mielibyśmy x  y, co oznaczałoby, że [x]=[y]. Sprzeczność. Klasa abstrakcji (równoważności) elementu x Jeśli x  y, to dla dowolnego z [x] mamy z  x, zatem z przechodniości relacji  mamy z  y, tzn. z [y]. Zatem [x]  [y]. Podobnie [y]  [x]. Oznaczenie Niech  będzie relacją równoważności w zbiorze X, wtedy dla dowolnego x X, [x] = {y  X : x  y}. Jeżeli  jest relacją równoważności w zbiorze X, to dla dowolnych x,y  X, x [x][x] = [y] wttw x  yJeżeli [x]  [y] , to [x]  [y] =  Bo relacja jest zwrotna. Jeśli [x]=[y], to w szczególności x  [y], czyli x  y. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

7. Podział Zbioru w1 Definicja Podziałem zbioru X nazywamy taką rodzinę (X i) i I niepustych podzbiorów zbioru X, że Xi Xj =  oraz Xi = X. Zasada abstrakcji Każda relacja równoważności  w niepustym zbirze X wyznacza podział zbioru X na niepuste i rozłączne podzbiory, a mianowicie na klasy abstrakcji relacji , w taki sposób, że dwa elementy x,y należą do tego samego zbioru podziału, gdy x  y. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

8. Zastosowanie 1 To jest relacja równoważności Rozważmy relację binarną  w zbiorze N: (n,m)  (k,l) wttw n+l = m+k. Klasy abstrakcji tej relacji wyznaczają liczby całkowite. Oczywiście jest relacją zwrotną i symetryczną. Ponadto jest to relacja przechodnia, bo Jeśli(n,m)  (k,l) oraz (k,l)  (u,w), to n+l = m+k oraz k+w = l+u . Stąd n+w = m+u. Np..: [(1,1)] = [(4,4)] wyznacza liczbę całkowitą 0. Klasa [(2,1)] wyznacza liczbę 1. Ogólnie: klasa [(m,n)] wyznacza liczbę 0 gdy m=n, liczbę całkowitą k, gdy m>n i m = n+k oraz liczbę całkowitą –k, gdy m<n i n = m+k. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

9. Zastosowanie 2 To jest relacja równoważności Rozważmy relację binarną   Z  Z\{0} (n,m)  (k,l) wttw n * l = m * k. Zbiór klas abstrakcji tej relacji, to zbiór liczb wymiernych Q. Oczywiście jest relacją zwrotną i symetryczną. Klasie [(m,n)] charakteryzuje liczbę wymierną m/n. Relacja jest przechodnia, bo Jeśli(n,m)  (k,l) oraz (k,l)  (u,w), to n*l = m*k oraz k*w = l*u . Stąd n*(k*l)*w = m*(k*l)*u. O ile k*l 0, to otrzymujemy n*w = m*u..Jeśli k*l = 0, to k=0. Ale wtedy n=0 i u=0, czyli n*w = m*u.. Co więcej, na klasach abstrakcji można określić operacje odpowiadające działaniom arytmetycznym. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

10. Zastosowanie 3 To jest relacja równoważności Rozważmy relację binarną  w zbiorze ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego, określoną następująco(an)  (bn) wttw lim n  (an-bn) = 0. . Metoda Cantora konstrukcji liczb rzeczywistych Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem klas abstrakcji tej relacji a liczbami rzeczywistymi. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

11. Przykład W3 Notacja asymptotyczna Niech X klasa funkcji f : N R+. f  g wttw istnieją stałe c1, c2, n0 N takie, że g(n) c1*f(n) i g(n)  c2*f(n) dla n>n0 Wtedy klasą abstrakcji funkcji f jest (f), czyli wszystkie funkcje, mające ten sam rząd co f. Funkcje lg n, n, n, n log n, n2, n3 , nk dla k>3, 2 n, 3n, nn wyznaczają różne klasy równoważności ze względu na relację . Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK